Вопрос 12. Арифметические операции над числами с плавающей запятой.

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N=M*p^q , где M – множитель (мантисса), а p – целое число, называемое порядком. – Представления числа с плавающей точкой.

|M|<1, P-целое. Если 0,1≤ |M| < 1, то число нормализованное, иначе ненормализованное.

Операции выполняются над мантиссами и над порядками. Обязательна проверка нормализованности результата. Если произошло нарушение нормализации (нарушение влево при сложении – переполнение или нарушение вправо при умножении), то результат необходимо нормализовать (при нормализации изменяется порядок числа).

Сложение и вычитание.

1) выравнивание порядков (одинаковый порядок)

2) Сложение или вычитание (по правилам с фиксированной запятой).

3) проверка нормализованности результата.

Умножение.

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

(0.11101 ^. 2¹⁰¹) ^. (0.1001 ^. 2¹¹) = (0.11101 ^. 0.1001) ^. 2^(101+11) = 0.100000101 ^. 2¹⁰⁰⁰.

Деление.

При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

0.1111 ^. 2¹⁰⁰: 0.101 ^. 2¹¹ = (0.1111: 0.101) ^. 2^(100–11) = 1.1 ^. 2¹ = 0.11 ^. 2¹⁰

Вопрос 13. Основные операции алгебры логики.
Таблицы истинности

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Операции: унарные и бинарные.

НЕ Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание (А отриц) истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" (А отриц).

not A – Basic;! A – C#.

И Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией или логическим умножением и обозначается точкой " " (может также обозначаться знаками ^ или &). Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — ложны.

A and B – Basic; A && B – C#.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" — истинны.

A or B – Pascal и Basic; A || B – C#.

ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками "если..., то", "из... следует", "... влечет...", называется импликацией и обозначается знаком (). Высказывание (А В) ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

A IMP B – Basic.

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком () или ~. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

A EQV B – Basic; not (A XOR B) – Pascal;! (A ^ B) – C#.

Сложение по модулю 2 — булева функция, которая соответствует логическому «исключающему ИЛИ». Это означает, что результат выполнения операции является истинным только при условии, если является истинным в точности один из аргументов. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

В естественном языке операция "сложение по модулю 2" эквивалентна двум выражениям:

1. "результат истинен (равен 1), если A не равно B (A≠B)";
2. " если A не равно B (A≠B), то истина (1)".

истинно, если истинно или , но не оба сразу.

A XOR B – Pascal; A ^ B – C#.

Таблица истинности - это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Логические операции производятся побитово, без переносов.

Вопрос 14. Основные операции алгебры логики.
Таблицы истинности

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Закон	Для ИЛИ	Для И
Переместительный
Сочетательный
Распределительный
Правила де Моргана
Идемпотенции
Поглощения
Склеивания
Операция переменной с ее инверсией
Операция с константами
Двойного отрицания