Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Прямое произведение множеств. Отношения, бинарные отношения. Операции над отношениями.↑ Стр 1 из 3Следующая ⇒ Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Прямое произведение множеств. Отношения, бинарные отношения. Операции над отношениями. Прямым произведением множеств X u Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первая компонента которой Х, а вторая Y. X*Y Пример: X = {a,b} Y = {1,2,3} X*Y={<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>} X*Y Y*X (*) X1,X2,…Xn Прямым произведением множества (*) называется множество, состоящее из всех тех и только тех картежей длины l, первая компонента которой Х1, вторая Х2... и n Xn,Это множество обозначается: X1*X2*…*Xn = {<x1,x2,…xn>| x1 X1……} Отношения, бинарные отношения. Рассмотрим вспомогательное понятие картеж. Упорядоченная пара <x,y> интуитивно определяется, как совокупность, состоящая из 2-х элементов х Х и y Y, расположенных в определённом порядке. Две пары <x,y> u <U,V> равны тогда и только тогда, когда x=U, y=V <1,z> <z,1> Картеж или упорядоченный набор n элементов x1 X1, x2 X2…. xn Xn обозначается <x1,x2,x3…xn> и по определению есть <<x1,x2,x3….xn-1>,xn>. Два картежа и : =<x1,x2…..xn> =<y1,y2….ym> равны тогда и только тогда, когда n = m и (x1=y1 X1 x2=y2 X2) Число n – называется длинной картежа, а элементы xi – итой проэкцией (координата компоненты картежа). Операции над отношениями. 1. Для бинарных отношений обычным образом определены все теоретико-множественные операции: , ,\, ,+,* 2. Обратное отношение: обратным (инверсным) отношением называется отношение ={<x,y>| <y,x> } 3. Композиция отношений: а) X*Y Z*Y Композицией двух бинарных отношений и называется отношение X*Y, которая определяется следующим образом: = ={<x,y>| x X, y Y и Z x y и z y} б) Композиция отношений на множестве X:
= ={<x,y>| , что x z и z y} Замечание: Композиция отношений на множестве X порождает понятие: степень отношения = ^2 = ^3 ^n= ^n-1
Понятие функции. Инъективные, биективные, суръективные функции. Композиция и обращение функций. Бинарное отношение f называется функцией, если <x,y> f и <x,z> f y=z. Замечание: 1) Если Df=X,а Rf Y, то говорят что функция f задана на множестве Х со значениями во множестве Y и осуществляет отображение X в Y. f:X Y 2)Если f функция, то вместо <x,y> f пишут y=f(x), где y-образ элемента x, при отображении f, а x-прообраз элемента y. Lx={<x,x>| x X} Lx: x X Lx(x)=x Пусть задана f: x y: -Функция (отображение f) называется инъективной, если х1,х2, y из того, что y=f(x1), y=f(x2) x1=x2 -Функция называется суръективной, если для всякого y существует такое х, что y=f(x) -Функция называется биективной, если f одновременно: инъективна и суръективна. Замечание: Если существуeт функция f: x y, то говорят, что f – осуществляет взаимное однозначное соответствие, между множествами X и Y, а f: x X называется подстановкой. Можно доказать следующие утверждения: - композиция 2-х функций, есть функция. - композиция 2-х биективных функций, есть биективная функция. - отображение f: x y имеет обратное отображение f : y x тогда и только тогда, когда f – биекция.
Бинарные отношения на множестве Х. Рефлексивность, симметричность, транзитивность бинарных отношений на множестве Х. n – арным отношениями между элементами множеств x1,x2,x3…..xn называется произвольное подмножество их прямого произведения x1*x2*…..*xn x1*x2*x3….xn Бинарным (двуместным) отношением между 2 множествами x и y, называется произвольное подмножество их прямого произведения. x*y Замечания: 1. Если x=y, то говорят, что -есть отношение на множестве Х. x*х 2. Множество х называется множеством области отправления, а y множеством области прибытия бинарного отношения. 3.Тот факт, что x X, y Y находиться в отношении , т.е <x,y> будем записывать в виде x y Свойства: 1. Рефлексивонсть: x*х называется рефлексивным, если x X x х или (<x,x> ) 2. Симметричность: x*х называется симметричной, если x,y X x y y x или (<x,y> <y,x> ) 3.Транзитивность: x*х называется транзитивным, если x,y,z X из того, что x y и y z – x z (<x,y> и <y,z> след <x,z> ) Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Отношение рефлексивное, симметричное и транзитивное одновременное на множестве Х называется отношением эквивалентности. Классом эквивалентности порождённым элементом «х» называется подмножество множества Х, которое состоит из тех «у є х», которое состоит из «у є х» для которых «х ро у».
Двойственность. Закон двойственности. Пример. Замечание: будем рассматривать формулы, которые содержат только логические связки ͞, V, & Связки V, & назовем двойственными друг к другу. Формулы А и А˟ называются двойственными, если одна получена из другой одновременной заменой связок V, & на двойственную к ним. Утверждение: ) – высказывательная переменная (или отрицание высказ. Переменной) Закон двойственности Если формулы А и В равносильны, то и двойственные к ним А˟ и В˟ равносильны тоже. А=В => А*=В* Пример. А= (͞х1&х2& х3)V(х1 & ͞х2) V х3 А*= (͞х1Vх2V х3)&(х1 V ͞х2) & х3
Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы. Выполнимость и опровержимость формул. Пример. Правильные рассуждения. Пусть формула А зависит от списка переменных <х1, …, хn> Формула А называется тождественно-истинной (ложной), если на любых оценках списка переменных формула А принимает значение И (Л). Формула А называется выполнимой (опроверженной), если существует такая оценка списка переменных, на которой формула А принимает значение И(Л). 1)АV ͞А 2)А>A 3)A>(B>A) 4)A~A 5)((A>B)&A)>B 6)((A>B)& ͞B)> ͞A 7)((A>B)&(B>C))>(A>C) 8)(A>B)~(͞B > ͞A)
Отношение логического следования. Правильные рассуждения. Примеры. Пусть формулы А и В зависят от списка переменных <х1, …, хn>. Говорят, что формула В логически следует из формулы А тогда, когда их импликация – тождественная формула. А | = В <=>A>B = И Замечание: 1)Если В| = А, то говорят, что В выводима из А (А|- В), А\В) 2)Тождественно-истинная формула всегда выводима. Правильные рассуждения. В рассуждения, выводя одно высказывание из другого, мы пользовались законами логики. Тождественно истинные формулы логики высказываний выражают законы логики. Разумеется законы логики выражающиеся средствами логики высказываний не исчерпывают все законы логики использующиеся в рассуждениях. Законы логики высказываний могут служить основой лишь для тех выводов, в которых учитывается структура элементарных высказываний. Отвлекаясь от такого рассуждения, т.е. заменяя в нём элементарные высказывания высказывательными переменными мы получаем следующую схему вывода(умозаключения):
Формула ,причем различные значения n соответственно различные кортежи i(Ɛi1 … Ɛin) Формулы Любая булева функция представлена СДНФ т.е. виде f(х1, х2 … хn) = V (x1Ɛi & x2Ɛi &… & xnƐi) <Ɛi1, Ɛi2 …Ɛin> F(Ɛi1, Ɛi2 …Ɛin) =1
Представление булевых функций формулой логики высказываний в СДНФ и в СКНФ. Примеры. Рассм кортеж из нулей и единиц <ε1,ε2,...,εn> Xiεi = xi, если εi=1; xi, если εi=0; Xiεi = 1 тогда и только тогда, когда Xi = εi; Теорема(о разложении булевой ф-ции): каждая булева функция f(x1,x2,...,xn) (n≥1), не равная тождественно нулю может быть представлена в виде: f(x1,x2,...,xn)=∨i=12^n(&j=1nXεij&f(εi1, εi2,..., εin)) причем различным значениям i соответствуют различные кортежи < εi1, εi2,...,εin)) Следствие: любая булева функция представима в СДНФ, т.е. в виде f(x1,x2,...xn)= ∨(Xεi11& Xεi22&... Xεinn), где <εi1,εi2,...,εin> - оценка <f(εi1,εi2,...,εin)> - значение оценки Замечание: Аналогично доказывается теорема о представлении булевой функции в виде: &i=12^n(∨j=1nxj1-εij∨f(εi1,εi2,...,εin)) следствием из которой является формула &(x11-εi1∨x21-εi2∨...xn1-εin), где <εi1,εi2,...,εin> f(εi1,εi2,...,εin) =0 Рассм пример булевой функции и найдем СДНФ и СКНФ Для СДНФ - выделяем участки списка, где функция приняла значение 1 f(x1,x2)=(x1&x2)∨(x1&x2)∨(x1&x2) - СДНФ Для СКНФ - берем оценку и вычитаем из единиц 11-10=01, возводим в степень оценки(более подробно см семинар 8-ое задан
f(x1,x2)=x1∨x2 - СКНФ К слову f(x1,x2)=x1⊃x2
Полные системы булевых функций. Теорема о сведении полноты одной системы булевых функцийк другой. Примеры полных систем. О: Система булевых функций {f1,f2,...,fm} из множества всех булевых функций называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции с помощью суперпозиций (подстановки функций в функцию)
k0={f1(x1,....,xn),f2(x1,...,xn),....,fm(x1,...xn)}
Функция f называется суперпозицией ранга 1(элементарной суперпозиций) функции f1,...,fm, если f может быть получено одним из след. способов: 1) из какой нибудь функции fi, переименованием переменной xj. f(x1,x2,...,xj,...xn) 2) подстановкой некоторой функции fl, где l=1,2,...,n вместо какого нибудь аргумента xj, взятого из множества k0 f(x1,x2,...,fl(x1,...,xn),...xn) Суперпозиция ранга 1 образует класс функций k1. Суперпозиция ранга r образует класс функций kr. Класс kr строится с помощью элементарных суперпозиций над классом kr-1 Суперпозициями функциями из k0 называются функции входящие в один из классов k0,k1,k2,...,kr. Теорема: Пусть даны 2 системы булевых функций: 1) F={f1,f2,...fm) ① 2) G={g1,g2,...,gl) ② относительно которых известно, что 1ая система полна и каждая её функция fi выражается через функции системы ② в виде формулы, тогда и вторая система полна. z=z(f1,f2,...,fm)=z(f1(g1,...,gl),...fm(g1,....,gl))=R(g1,...,gl) Примеры 1. {,&} - испытуемая ② {,∨,&} - ① Выразим x1∨x2=(x1∨x2)=(x1&x2)
2. {, ∨} ② x1&x2=(x1&x2)=(x1∨x2) {∨,&} - не выйдет
3. {|} - ② {,&} - ① x=x|x x1&x2=(x1|x2)|(x1|x2)
30. Полнота системы {+, ∙, 1}. Многочлены Жегалкины. Приведение любой булевой функции к многочлену жегалкина. {+, ∙, 1}, где ∙=& О: Булевы функции записанные в этой системе в виде многочлена называются многочленами Жегалкина. Приведение произвольной булевой функции к многочлену Жегалкина производится на основе правил обычной алгебры: 1) Законы коммутативности x1+x2=x2+x1; x1∙x2=x2∙x1; 2) Законы асоциативности x1+(x2+x3)=(x1+x2)+x3 x1(x2∙x3)=(x1∙x2)x3 3) x1(x2+x3)=x1x2+x1x3 - закон дистрибутивности 4) 0+х=х 5) 0∙х=0 6) 1∙х=х - действие с единицей и двух специальных правил: 7) х+х=0 8) х∙х=х СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ ЖЕГАЛКИНА. 1 способ 1. Преобразуем булеву функцию в булеву функцию заданную в системе {,&} 2. Заменяем х=х+1, &=∙ 3. Применяем 8 правил алгебры Жегалкина, находим его многочлен. 2 способ 1. Находим СДНФ 2. Заменяем дизъюнкцию на f=∑⊕(x1εi1∙....∙xnεin)=Fi+Φi^ 3. Применяем 8 правил и находим многочлен Жегалкина Пример 1-ого способа: x1∨x2=(x1∨x2)=(x1&x2)=(x1+1)(x2+1)+1=x1x2+x2+x1+1+1=x1x2+x1+x2. Пример 2-ого способа: х1∨х2=(x1&x2)∨(x1&x2)∨(x1&x2)=(x1&x2)+(x1&x2)+(x1&x2)=(x1+1)x2+x1(x2+1)+x1x2=x1x2+x2+x1x2+x1+x1x2=x1x2+x2+x1
Ориентированные и неориентированные графы. Основные понятия. ОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ.(ОРГРАФЫ) Пусть Х не пустое множество, а Х2=Х×Х - множество всех его пар. О: Пара <Г,Х>=G называется ориентированным графом (орграфом), где Г-произвольное подмножество множества Х2 (Г⊆Х2) Элементы х∈Х называются вершинами, а пара <X,Y>∈Г дугами орграфа. Замечание: тройку множеств <Г,Х,Y>, где Г⊆Х,Y называют многозначным отображателем из множества Х во множестве У. Обозначают Г:Х+Y. При этом, если х∈Х, то множество Г(х)={y∈Y|<x,y>∈Г}⊆Y называют образом элемента х, а Г-1(y)={x∈X|<x,y>∈Г}⊆X называют прообразом y. Если А⊆Х, то Г(А)=∨х∈АГ(х) - это образ множества А А⊆Y, то Г-1(А)=∨y∈AГ-1(А) - это прообраз мн-ва А Пусть задан орграф G=<Г,Х> 1. если y∈Г(х), т.е. <x,y> дуга, то говорят что она исходит из вершины х и заходит в у. 2. Дуга называется инцидентной в вершине х, если она заходит в х или исходит из х. 3. Дуга <x,х> называется петлей. 4. Вершина, не имеющая инцидентных дуг называется изолированной. Две вершины называются смежными, если существует дуга инцидентная им обоим. Пути в орграфе. О1: Последовательность дуг орграфа такая что начало каждой последующей дуги совпадает с концом предыдущей называется путем. О2: Путь у которого начало первой дуги совпадает с концом последней называется замкнутым путем, или контуром. О3: Путь (контур) называется элементарным, если все его вершины различны за исключением первой и последней. О4:Путь (контур) называется простым, если все его дуги различны. Примеры: 1) <x1,x2> <x2,x5> <x5,x4> - не контур, но простой эл-ый путь. 2) <x1,x2> <x2,x3> <x3,x1> - эл-ый простой путь, контур. 3) <x1,x2> <x2,x5> <x5,x4> <x4,x2> <x2,x3> <x3,x1> - контур, простой, не эл-ый 4) <x1,x2> <x2,x3> <x3,x1> <x1,x2> <x2,x3> <x3,x1> - не простой, не эл-ый, контур 5) <x1,x2> <x2,x5> <x5,x4> <x4,x2> <x2,x3> - не путь НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ ГРАФЫ Пусть Х-непустое множество. Х(2) - мн-во всех 2-х элементарных подмножеств множества Х. Пример: Х={1,2,3}. X(2)={{1,2},{1,3},{2,3}} О: Пара <Q,X>=G, где Q произвольное подмножество множества Х (Q⊆X) называется неориентированным графом. Элементы х∈Х - вершинами, а элементы {x,y}∈Q - (неупорядоченные пары) - ребрами. Замечание: неориентированные графы можно изучать как графы симметричных бинарных отношений. Подграфом графа G называется G’, если X’⊂X, Q’⊂Q (Г’⊂Г), а в случае если X’=X, то подграфом называют частичным графом. О1: Цепью неориентированного графа называется последотельность ребер, которая может быть перемещена в путь введением соответствующей ориентации на её ребрах. О2: Циклом называется цепь у которой 1-ая вершина совпадает с последней. О3: Цепь (цикл) называется элементарной, если некоторая вершина встречается в ней не более одного раза. О4: Цепь (цикл) называется простой, если некоторой ребро встречается в ней не более одного раза.
37.Матричное задание графа. Матрицы сложности и инциденций. Цикломатическая матрица. G=<Г,х>, |x|=n, x={ Пример:
Для вершины её полустепенью захода называется число , заходящих в неё дуг, а число полустепенью исхода исходящих дуг. – называется степенью вершины. Замечание: для неориентированных графов матрица смежностей является симметричными, а элементы определиться следующим образом: 1 – существует ребро. 0 – в остальных случаях. Степень – число инцыдентных вершине рёбер. Матрица инциденций: G=<Г,х>, |x|=n, |Г|=N, x={ Пусть граф не имеет петель.
Замечание: для неориентированного графа инциденты определяются следующим образом: Цикломатическая матрица: G=<Q,x> - неор. граф. n- вершины, N – ребра. - простые элементарные циклы, преобразуем в орграф: Алгоритм Форда Помечаем вершину xi индексом λi; Полагаем a=x6 и присваиваем ей λ6, причем λ0=0, а все остальные вершины помечаем λj=∞. Помечаем <xi,xj> для которой λi- λj˃l(xi,xj), затем заменяем индекс λj на индекс λ/J; λ/J= λi+ l(xi,xj)< λj Продолжаем процесс до тех пор пока не перестанут уменьшаться индексы. Предположим что алгоритм Форда выполним, тогда λn= λρ0. Среди дуг будет та по которой алгоритм Форда применим: λn- λρ1= l(x ρ1, xn) λ ρ1- λρ2= l(x ρ1, x ρ1) ………………… λ ρk- λ0= l(x 0, x ρk) ________________ (сложим все эти равенства) λ n= l(x 0, x ρk…………. x n). Возьмем x 0, x k1…………. x n предположим что он короче чем тот который мы нашли по алгоритму Форда: Λ0, λк1……………………………………………. λкn, -индексы присвоены по алгоритму Форда, где выполняется: Λk1- λ0≤ l(x 0, xr1) λ k2- λk1≤ l(x k1, x k2) ………………… λ n- λks≤ l(x ks, x n) ________________ (сложим все эти равенства) λ n≤l(x 0, x k…………. x n). значит метод Форда минимальный путь. Алгоритм Форда-Беллмана. Замечание: он позволяет по таблице значений λ(к)i (i=1…..n), (k=0,1……..n-1) и матрицы длин дуг нагруженного орграфа определить минимальный путь из вершины а в любую достижимую вершину, причем из всех возможных путей он выделяет путь с наименьшим числом дуг. λ(к)i= Замечание: к=0,1…………….n-1, λ1(к)=0; λ(0)i=∞, i=2,3…….n. Матрицу весов С опишем следующим образом Cij= алгоритм Форда-беллмана это модифицированный алгоритм Форда для матрицы весов дуг С, который может быть записан в виде: λ(к+1)j= Цикломатическая (контурная) матрица и матрица инциденций. Законы Киргофа. Уравнение контурных токов. Примеры. Матрица инциденций. Пусть задан граф G имеет N дуг и ребер и не имеет петель: G=<Г, х>; │х│=n; Х={x1………xn}; │Т│=N; =││Sij││; (-1 -если j дуга инцидентная i и вершина заходит в нее. Sij= (1 -если j дуга инцидентная i и вершина исходит из нее. (0 -если j дуга не инцидентная i и вершина. Замечание: для неориентированного графа Sij определяется:
Sij =
Цикломатическая матрица. G=<Q, х>;(n- вершины; N-ребра) граф в котором μ1, μ2,……………………,μк – простые элемент циклы графа. Преобразуем неориентированный граф в ориентированный задав произвольную ориентацию на его ребрах, введем матрицу .Элементы матрицы: Примеры. в - матрица инциденций.
Законы Киргофа 1 закон - SI=0; S= [I1…………IN}]T 2 закон- BU=0; B=[U1…………UN}]T Уравнение контурных токов.- метод сокращения размерности системы уравнений, описывающей электрическую цепь. Как известно, любая электрическая цепь, состоящая из Р рёбер (ветвей, участков) и У узлов, может быть описана системой уравнений в соответствии с 1-м и 2-м законами Кирхгофа. Число уравнений в такой системе равно Р, из них У–1 уравнений составляется по 1-му закону Кирхгофа для всех узлов, кроме одного; а остальные Р–У+1 уравнений – по 2-му закону Кирхгофа для всех независимых контуров. Поскольку независимыми переменными в цепи считаются токи рёбер, число независимых переменных равно числу уравнений, и система разрешима. Существует несколько методов сократить число уравнений в системе. Одним из таких методов является метод контурных токов. Метод использует тот факт, что не все токи в рёбрах цепи являются независимыми. Наличие в системе У–1 уравнений для узлов означает, что зависимы У–1 токов. Если выделить в цепи Р–У+1 независимых токов, то систему можно сократить до Р–У+1 уравнений. Метод контурных токов основан на очень простом и удобном способе выделения в цепи Р–У+1 независимых токов. Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом из Р–У+1 независимых контуров схемы циркулирует некоторый виртуальный контурный ток. Если некоторое ребро принадлежит только одному контуру, реальный ток в нём равен контурному. Если же ребро принадлежит нескольким контурам, ток в нём равен сумме соответствующих контурных токов (с учётом направления обхода контуров). Поскольку независимые контура покрывают собой всю схему (т.е. любое ребро принадлежит хотя бы одному контуру), то ток в любом ребре можно выразить через контурные токи, и контурные токи составляют полную систему токов.
Прямое произведение множеств. Отношения, бинарные отношения. Операции над отношениями. Прямым произведением множеств X u Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первая компонента которой Х, а вторая Y. X*Y Пример: X = {a,b} Y = {1,2,3} X*Y={<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>} X*Y Y*X (*) X1,X2,…Xn Прямым произведением множества (*) называется множество, состоящее из всех тех и только тех картежей длины l, первая компонента которой Х1, вторая Х2... и n Xn,Это множество обозначается: X1*X2*…*Xn = {<x1,x2,…xn>| x1 X1……} Отношения, бинарные отношения. Рассмотрим вспомогательное понятие картеж. Упорядоченная пара <x,y> интуитивно определяется, как совокупность, состоящая из 2-х элементов х Х и y Y, расположенных в определённом порядке. Две пары <x,y> u <U,V> равны тогда и только тогда, когда x=U, y=V <1,z> <z,1> Картеж или упорядоченный набор n элементов x1 X1, x2 X2…. xn Xn обозначается <x1,x2,x3…xn> и по определению есть <<x1,x2,x3….xn-1>,xn>. Два картежа и : =<x1,x2…..xn> =<y1,y2….ym> равны тогда и только тогда, когда n = m и (x1=y1 X1 x2=y2 X2) Число n – называется длинной картежа, а элементы xi – итой проэкцией (координата компоненты картежа). Операции над отношениями. 1. Для бинарных отношений обычным образом определены все теоретико-множественные операции: , ,\, ,+,* 2. Обратное отношение: обратным (инверсным) отношением называется отношение ={<x,y>| <y,x> } 3. Композиция отношений: а) X*Y Z*Y Композицией двух бинарных отношений и называется отношение X*Y, которая определяется следующим образом: = ={<x,y>| x X, y Y и Z x y и z y} б) Композиция отношений на множестве X:
= ={<x,y>| , что x z и z y} Замечание: Композиция отношений на множестве X порождает понятие: степень отношения = ^2 = ^3 ^n= ^n-1
|
|||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; просмотров: 326; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.10.18 (0.013 с.) |