Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Контрольная работа № 3. Комплексные числа.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
3.1. Даны комплексные числа и . Вычислить . 3.2. Даны числа: , . Изобразить числа на комплексной плоскости, найти модуль и аргумент, записать в тригонометрической и показательной форме. 3.3. Даны числа . Вычислить . 3.4. Решить уравнение .
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
Действия над комплексными числами В алгебраической форме
Выражение вида (1) где х и у – произвольные действительные числа, i – мнимая единица, удовлетворяющая условию , называется алгебраической формой записи комплексного числа. Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается , число у называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается . При число совпадает с вещественным числом х, если число называется чисто мнимым. Два комплексных числа называются равными, если у них равны соответственно действительные и мнимые части: . Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные части, а мнимые противоположны по знаку; сопряженные числа обозначают . Определим основные действия над комплексными числами и , заданными в алгебраической форме. Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число , т.е. при сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно. Разностью комплексных чисел называется комплексное число , которое удовлетворяет равенству . Очевидно: . При нахождении разности из действительной и мнимой частей уменьшаемого z 1 вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого z 2. Произведением комплексных чисел называется комплексное число . Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что . Частным от деления называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет уравнению . Для частного имеет место формула: Чтобы разделить число z 1 на z 2 , следует числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряженное знаменателю. Возведение комплексного числа z в степень n – это нахождение произведения n сомножителей, каждый из которых равен z, т.е. . При возведении в степень n используется правило возведения в степень двучлена , в общем случае применяется формула бинома Ньютона.
Пример Даны комплексные числа . Вычислить . Решение , , , , , Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Комплексное число изображается на плоскости Оху точкой М с координатами (х; у), либо вектором, начало которого находится в точке О (0;0), а конец – в точке (рис. 1).
у= Im z
М (х, у) r j
0 х= Re z Рис. 1
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох – действительной осью, ось Оу – мнимой осью. Число r – длина радиус-вектора точки (расстояние точки М от начала координат) называется модулем комплексного числа . (2) Угол j, который образован вектором с осью Ох и отсчитываемый от положительного направления оси Ох, называется аргументом комплексного числа и обозначается Arg z. Аргумент комплексного числа определен с точностью до слагаемого, кратного : где – главное значение аргумента, определяемое условием . Аргумент числа неопределен. Если вектор расположен в верхней полуплоскости, то угол j отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки до направления вектора , в данном случае . Если вектор расположен в нижней полуплоскости, то угол j отсчитывается от положительного направления оси Ох по ходу часовой стрелки до направления вектора , в данном случае . Если , то будем считать, что . Существует несколько подходов к определению аргумента. Один из них состоит в следующем. Если , то аргумент , где . Учитывая, что , получим - (3) тригонометрической форма записи комплексного числа.
Используя формулу Эйлера , получим показательную форму комплексного числа: , (4) где – модуль, – аргумент комплексного числа. Пример Даны комплексные числа: , . Изобразить числа на комплексной плоскости, найти модуль и аргумент, записать в тригонометрической и показательной форме.
Решение (рис. 2) у
7 z 5 5,5 z 3 z 6 2 z 2 z 1 -7 -5,5 -3,5 0 2 6 12,1 х -2 z 8 -6 z 4
z 7 -12,1
Рис. 2.
1. Найдем модуль и аргумент для комплексного числа . Подставляя модуль и аргумент в формулы (3) и (4), получим . 2. Для имеем: Следовательно: .
3. Для имеем:
Следовательно: . 4. Для имеем:
Следовательно: . 5. Для имеем:
Следовательно: . 6. Для имеем: Следовательно: .
7. Для имеем: , Следовательно: . 8. Для имеем: . Следовательно: .
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 983; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.51.72 (0.007 с.) |