Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Линейные операции над векторами. Декартова прямоугольная система координат. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Скалярные и векторные величины. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Прямая на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Геометрический смысл линейных неравенств и их систем. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Аналитическая геометрияв пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Прямая в пространстве. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве. Преобразование координат. Полярная система координат.

 

Комплексные числа

Комплексные числа, изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Действия над комплексными числами. Формула Муавра. Формулы Эйлера.

 

Предел и производная функции одной переменной

Пределфункции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые функции, их свойства. Бесконечно большие функции, их свойства. Замечательные пределы. Непрерывность функции, точки разрыва функции и их классификация.

Производная функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность. Геометрический и механический смысл производной. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Производная функций заданных неявно и параметрически. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.

Теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование функций на возрастание и убывание. Исследование функций на экстремум. Исследование функций на выпуклость и вогнутость, нахождение точек перегиба. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Общий план исследования функции и построения графика функции.

 

Интегральное исчисление функции одной переменной

Первообразная. Неопределенный интеграл, простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функций.

Интегральная сумма и определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям. Замена переменной в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.

 

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Определение ФНП. Способы задания. Геометрический смысл при n =2. Предел и непрерывность. Частные производные первого порядка. Полное приращение и полный дифференциал. Частные производные высших порядков. Производная по направлению, градиент.

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения 1 порядка. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Размерно-однородные дифференциальные уравнения 1 порядка. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов. Системы линейных дифференциальных уравнений 1 порядка с постоянными коэффициентами.

 

Ряды

Числовой ряд. Необходимый признак сходимости ряда. Сравнение рядов с положительными членами. Признаки сходимости Даламбера и Коши (радикальный и интегральный). Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости ряда. Понятие функционального ряда. Степенные ряды. Область сходимости. Теорема Абеля, радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды.

 

Теория вероятностей

Элементы комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки). Основные понятия теории вероятностей. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей. Следствия из аксиом теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Следствия из формулы Бернулли. Формула Пуассона.

Понятие случайной величины (СВ) и ее закона распределения. ДСВ и НСВ. Ряд распределения. Многоугольник распределения. Функции распределения, ее свойства. Плотность распределения, ее свойства. Числовые характеристики СВ (математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, СКО). Начальные и центральные моменты СВ. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальный закон распределения и его параметры. Вероятность попадания СВ, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Функция Лапласа. Дискретные и непрерывные системы случайных величин (ССВ). Система 2-х СВ, матрица распределения. Функция распределения двумерной СВ, ее свойства. Числовые характеристики ССВ. Корреляционный момент, коэффициент корреляции, корреляционная матрица. Закон больших чисел. Предельные теоремы.

 

Математическая статистика

Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистический ряд распределения. Группированный статистический ряд. Полигон частот и относительных частот. Гистограмма частот и относительных частот. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Числовые характеристики выборки. Понятие точечной оценки. Критерии качества точечных оценок. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы. Основные этапы решения задачи о статистической проверке гипотез. Критерий согласия (Пирсона). Выборка из двумерной генеральной совокупности, ее характеристики. Функция регрессии. Метод наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров функции регрессии.

 

 

Приложение 1

Значения функции Лапласа

 

х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)
0,00	0,0000	0,30	0,2358	0,60	0,4515	0,90	0,6319
0,01	0,0080	0,31	0,2434	0,61	0,4581	0,91	0,6372
0,02	0,0160	0,32	0,2510	0,62	0,4647	0,92	0,6424
0,03	0,0239	0,33	0,2586	0,63	0,4713	0,93	0,6476
0,04	0,0319	0,34	0,2661	0,64	0,4878	0,94	0,6528
0,05	0,0399	0,35	0,2737	0,65	0,4843	0,95	0,6579
0,06	0,0478	0,36	0,2812	0,66	0,4907	0,96	0,6629
0,07	0,0558	0,37	0,2886	0,67	0,4971	0,97	0,6680
0,08	0,0638	0,38	0,2961	0,68	0,5035	0,98	0,6729
0,09	0,0717	0,39	0,3035	0,69	0,5098	0,99	0,6778
0,10	0,0797	0,40	0,3108	0,70	0,5161	1,00	0,6827
0,11	0,0876	0,41	0,3182	0,71	0,5223	1,01	0,6875
0,12	0,0955	0,42	0,3255	0,72	0,5285	1,02	0,6923
0,13	0,1034	0,43	0,3328	0,73	0,5346	1,03	0,6970
0,14	0,1113	0,44	0,3401	0,74	0,5407	1,04	0,7017
0,15	0,1192	0,45	0,3473	0,75	0,5467	1,05	0,7063
0,16	0,1271	0,46	0,3545	0,76	0,5527	1,06	0,7109
0,17	0,1350	0,47	0,3616	0,77	0,5587	1,07	0,7154
0,18	0,1428	0,48	0,3688	0,78	0,5646	1,08	0,7199
0,19	0,1507	0,49	0,3759	0,79	0,5705	1,09	0,7243
0,20	0,1585	0,50	0,3829	0,80	0,5763	1,10	0,7287
0,21	0,1663	0,51	0,3899	0,81	0,5821	1,11	0,7330
0,22	0,1741	0,52	0,3969	0,82	0,5878	1,12	0,7373
0,23	0,1819	0,53	0,4039	0,83	0,5935	1,13	0,7415
0,24	0,1897	0,54	0,4108	0,84	0,5991	1,14	0,7457
0,25	0,1974	0,55	0,4177	0,85	0,6047	1,15	0,7499
0,26	0,2051	0,56	0,4245	0,86	0,6102	1,16	0,7540
0,27	0,2128	0,57	0,4313	0,87	0,6157	1,17	0,7580
0,28	0,2205	0,58	0,4381	0,88	0,6211	1,18	0,7620
0,29	0,2282	0,59	0,4448	0,89	0,6265	1,19	0,7660
х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)
1,20	0,7699	1,50	0,8664	1,80	0,9281	2,50	0,9876
1,21	0,7737	1,51	0,8690	1,81	0,9297	2,55	0,9892
1,22	0,7775	1,52	0,8715	1,82	0,9312	2,60	0,9907
1,23	0,7813	1,53	0,8740	1,83	0,9328	2,65	0,9920
1,24	0,7850	1,54	0,8764	1,84	0,9342	2,70	0,9931
1,25	0,7887	1,55	0,8789	1,85	0,9357	2,75	0,9940
1,26	0,7923	1,56	0,8812	1,86	0,9371	2,80	0,9949
1,27	0,7959	1,57	0,8836	1,87	0,9385	2,85	0,9956
1,28	0,7995	1,58	0,8859	1,88	0,9399	2,90	0,9963
1,29	0,8029	1,59	0,8882	1,89	0,9412	2,95	0,9968
1,30	0,8064	1,60	0,8904	1,90	0,9426	3,00	0,9973
1,31	0,8098	1,61	0,8926	1,91	0,9432	3,10	0,9981
1,32	0,8132	1,62	0,8948	1,92	0,9451	3,20	0,9986
1,33	0,8165	1,63	0,8969	1,93	0,9464	3,30	0,9990
1,34	0,8198	1,64	0,8990	1,94	0,9476	3,40	0,9993
1,35	0,8230	1,65	0,9011	1,95	0,9488	3,50	0,9995
1,36	0,8262	1,66	0,9031	1,96	0,9500	3,60	0,9997
1,37	0,8293	1,67	0,9051	1,97	0,9512	3,70	0,9998
1,38	0,8324	1,68	0,9070	1,98	0,9523	3,80	0,9999
1,39	0,8355	1,69	0,9090	1,99	0,9534	3,90	0,9999
1,40	0,8385	1,70	0,9109	2,00	0,9545	4,00	0,9999
1,41	0,8415	1,71		2,05	0,9596	4,42	1-10^-5
1,42	0,8444	1,72	0,9146	2,10	0,9643	4,89	1-10^-6
1,43	0,8473	1,73	0,9164	2,15	0,9684	5,33	1-10^-7
1,44	0,8501	1,74	0,9181	2,20	0,9722
1,45	0,8529	1,75	0,9199	2,25	0,9756
1,46	0,8557	1,76	0,9216	2,30	0,9786
1,47	0,8584	1,77	0,9233	2,35	0,9812
1,48	0,8611	1,78	0,9249	2,40	0,9836
1,49	0,8638	1,79	0,9265	2,45	0,9857

 

 

Приложение 2

Таблица значений c² в зависимости от r = n -1 и p.

	р
n -1	0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
	0,000	0,001	0,004	0,016	0,064	0,148	0,455	1,074	1,642	2,71	3,84	5,41	6,64	10,83
	0,020	0,040	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,41	3,22	4,60	5,99	7,82	9,21	13,82
	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,37	3,66	4,64	6,25	7,82	9,34	11,84	16,27
	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	11,67	13,28	18,46
	0,554	0,752	1,145	1,610	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	13,39	15,09	20,5
	0,872	1,134	1,635	2,20	3,07	3,93	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	15,03	16,81	22,5
	1,239	1,564	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07	16,62	18,48	24,3
	1,646	2,03	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	18,17	20,1	26,1
	2,09	2,53	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	19,68	21,7	27,9
	2,56	3,06	3,94	4,86	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	21,2	23,2	29,6
	3,05	3,61	4,58	5,58	6,99	8,15	10,34	12,90	14,63	17,28	19,68	22,6	24,7	31,3
	3,57	4,18	5,23	6,30	7,81	9,03	11,34	14,01	15,81	18,55	21,0	24,1	26,2	32,9
	4,11	4,76	5,89	7,04	8,63	9,93	12,34	15,12	16,98	19,81	22,4	25,5	27,7	34,6
	4,66	5,37	6,57	7,79	9,47	10,82	13,34	16,22	18,15	21,1	23,7	26,9	29,1	36,1
	5,23	5,98	7,26	8,55	10,31	11,72	14,34	17,32	19,31	22,3	25,0	28,3	30,6	37,7
	5,81	6,61	7,96	9,31	11,15	12,62	15,34	18,42	20,5	23,5	26,3	29,6	32,0	39,3
	6,41	7,26	8,67	10,08	12,00	13,53	16,34	19,51	21,6	24,8	27,6	31,0	33,4	40,8
	7,02	7,91	9,39	10,86	12,86	14,44	17,34	20,6	22,8	26,0	28,9	32,3	34,8	42,3
	7,63	8,57	10,11	11,65	13,72	15,35	18,34	21,7	23,9	27,2	30,1	33,7	36,7	43,8
	8,26	9,24	10,85	12,44	14,58	16,27	19,34	22,8	25,0	28,4	31,4	35,0	37,6	45,3
	8,90	9,92	11,59	13,24	15,44	17,18	20,3	23,9	26,2	29,6	32,7	36,3	38,9	46,8
	9,54	10,60	12,34	14,04	16,31	18,10	21,3	24,9	27,3	30,8	33,9	37,7	40,3	48,3
	10,20	11,29	13,09	14,85	17,19	19,02	22,3	26,0	28,4	32,0	35,2	39,0	41,6	49,7
	10,86	11,99	13,85	15,66	18,06	19,94	23,3	27,1	29,6	33,2	36,4	40,3	43,0	51,2
	11,52	12,70	14,61	16,47	18,94	20,9	24,3	28,2	30,7	34,4	37,7	41,7	44,3	52,6
	12,20	13,41	15,38	17,29	19,82	21,8	25,3	29,2	31,8	35,6	38,9	42,9	45,6	54,1
	12,88	14,12	16,15	18,11	20,7	22,7	26,3	30,3	32,9	36,7	40,1	44,1	47,0	55,5
	13,56	14,85	16,93	18,94	21,6	23,6	27,3	31,4	34,0	37,9	41,3	45,4	48,3	56,9
	14,26	15,57	17,71	19,77	22,5	24,6	28,3	32,5	35,1	39,1	42,6	46,7	49,6	58,3
	14,95	16,31	18,49	20,6	23,4	25,5	29,3	33,5	36,2	40,3	43,8	48,0	50,9	59,7

 

 

Михайлов Николай Павлович

Прозоровская Светлана Дмитриевна

Черняк Татьяна Анатольевна

Пушкина Вера Павловна