Контрольная работа № 1. Элементы линейной алгебры.

 

1.1. Найти значение матричного многочлена , если , , .

1.2. Вычислить определитель двумя способами, по правилу треугольника и разложением по строке (или столбцу): .

1.3. Найти матрицу обратную к матрице и проверить выполнение равенства .

1.4. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса: .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач

 

Матрицы и действия над ними

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей размера m ´ n; здесь m – число строк, n – число столбцов.

Числа (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n) составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i означает номер строки, второй j – номер столбца.

Если число строк и столбцов матрицы одинаковое , то матрица называется квадратной, порядка n.

Квадратная матрица, в которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, а диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, называется единичной:

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например:

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О, например .

Прямоугольная матрица, в которой каждая строка заменена столбцом с тем же номером, называется транспонированной по отношению к данной матрице, обозначается . Например, если , то .

Очевидно, что .

Действия над матрицами

 

Две матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.

А = В, если = (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.

А + В = С, если + = (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

 

Пример 1

.

 

Произведением матрицы А на число α называется матрица αА или А α, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на α.

 

Пример 2

 

Матрица называется противоположной матрице А.

 

Умножение матриц.

 

Пусть дана матрица А размера m ´ n и матрица В размера n ´ p.

 

Для двух матриц А и В, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, определено понятие произведения матрицы А на В следующим образом:

С = А · В, где С есть матрица размера m ´ p,

,

если , где (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, p).

 

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i -той строке и j -том столбце произведения двух матриц, нужно элементы i -той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j –го столбца второй и полученные произведения сложить.

Таким образом, чтобы составить первую строку матрицы С нужно перемножить первую строку матрицы А поочередно на все столбцы В; чтобы получить вторую строку произведения С, нужно вторую строку А перемножить последовательно на все столбцы В и т.д.

Пример 3

 

Произведение двух матриц НЕ подчиняется переместительному (коммутативному) закону

,

в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.

В частных случаях, когда матрицы называются перестановочными.

Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

А Е = Е А = А.

Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.

Пример 4

Найти значение матричного многочлена , если , , .

Решение

.

 

 

Определители 2-го и 3-го порядков

 

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка:

Определение. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число

 

.

 

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя (они же элементы матрицы А).

Элементы а ₁₁, а ₂₂ составляют главную диагональ, а элементы а ₂₁, а ₁₂ – побочную диагональ.

 

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:

 

.

Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число D, которое определяется выражением:

 

Элементы а ₁₁, а ₂₂, а ₃₃ – расположены на главной диагонали, элементы а ₁₃, а ₂₂, а ₃₁ – на побочной диагонали.