Числовые ряды с положительными членами

 

Числовым рядом называется выражение вида

,

числа называются членами ряда, - общим членом ряда.

Сумму первых n членов данного ряда называют n -ной частичной суммой данного ряда и обозначают символом , т.е.

.

Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм , т.е. существует конечный предел ; числовой ряд называется расходящимся, если этот предел не существует или бесконечен. Этот предел S (в случае сходимости ряда) последовательности частичных сумм называется суммой данного ряда:

.

Если ряд сходится, то при . Это необходимый признак сходимости ряда. Если этот признак не выполнен, то ряд расходится.

Сходимость ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же число k, отличное от нуля, причем для сумм этих рядов выполнено равенство

.

Прибавление к ряду или отбрасывание от него конечного числа первых членов не влияет на сходимость ряда.

Ряд называется рядом с положительными членами, если все члены ряда неотрицательны, т.е. для любого n; если члены ряда строго больше нуля, т.е. для любого n, то такой ряд называется рядом со строго положительными членами.

Для рядов с положительными членами имеют место достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

Первый признак сравнения. Если члены ряда с положительными членами, начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда с положительными членами , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Второй признак сравнения. Если - ряд с положительными членами, - ряд со строго положительными членами и если существует конечный предел , то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по признакам сравнения часто используются следующие ряды:

1) натуральный ряд , расходится;

2) ряд , расходится;

3) гармонический ряд , расходится;

4) ряд , расходится;

5) обобщенный гармонический ряд , сходится при , расходится при ;

6) ряд , сходится при , расходится при ;

7) ряд геометрической прогрессии сходится, если , расходится, если .

 

Признак Даламбера. Если для ряда со строго положительными членами существует предел , то при ряд сходится, при ряд расходится (при вопрос о сходимости ряда остается открытым).

 

Радикальный признак Коши. Если для ряда с положительными членами существует предел , то при ряд сходится, при ряд расходится (при вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Интегральный признак Коши. Если при - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где , сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл .

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Сравним данный ряд, общий член которого с рядом , для которого общий член . Поскольку

и ряд сходится (ряд - обобщенный гармонический ряд, где , сходимость ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же число), то на основании первого признака сравнения исходный ряд также сходится.

 

Пример 2

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Применим признак Даламбера. Общий член ряда , -й член ряда .

Найдем предел:

.

Так как , то данный ряд расходится.

 

Пример 3

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Применим радикальный признак Коши, найдем предел

.

Так как , то данный ряд сходится.

 

Знакочередующиеся ряды

 

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

где при ., т.е. ряд, у которого любые рядом стоящие члены его имеют противоположные знаки.

Теорема (признак Лейбница). Пусть в знакочередующемся ряде числовая последовательность убывает, и . Тогда этот ряд сходится (по крайней мере условно), причем его сумма S положительна и не превосходит первого члена: .

Пример

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение

Так как данный ряд – знакочередующийся, то для решения вопроса о его сходимости можно применить признак Лейбница.

Члены ряда убывают по абсолютной величине

,

общий член ряда стремится к нулю при :

.

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, данный ряд сходится.

Чтобы решить вопрос о том, сходится ли ряд абсолютно, составим ряд из абсолютных величин его членов

.

Этот ряд расходится как обобщенный гармонический ряд, в котором , следовательно, абсолютной сходимости нет, данный ряд сходится условно.