Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

 

Рассмотрим два комплексных числа в тригонометрической форме

и .

При перемножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются, т.е.

.

Формула возведения комплексных чисел в натуральную степень:

.

Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, выполняется по формуле

.

Модуль частного равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

В результате умножения и деления чисел может получиться аргумент произведения и частного, не являющийся главным значением.

Пример

Даны числа .

Вычислить .

Решение

 

Решение уравнений

 

Пусть требуется извлечь корень n -ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.

Формула извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме имеет вид

.

Таким образом, для любого комплексного числа имеет n различных корней, точки им соответствующие расположены в вершинах правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса .

Задача извлечения корня степени n из комплексного числа равносильна решению уравнения вида

.

Для решения уравнения нужно найти и использовать формулу извлечения корня.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Задача равносильна нахождению всех значений корня из комплексного числа. В этом случае .

Определим модуль и аргумент комплексного числа :

Следовательно:

.

Используя формулу извлечения корня, имеем

Придавая k последовательно значения от 0 до 2, выписываем решения уравнения:

,

,

.

 

Контрольная работа № 4. Предел и производная функции одной переменной.

 

 

4.

4.1. Вычислить предел .

4.2. Вычислить предел .

4.3. Вычислить предел .

4.4. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва.

4.5. Найти производную функции .

4.6. Найти производную функции

4.7. Найти производную функции , применяя метод логарифмического дифференцирования.

4.8. Найти производную функции, заданной неявно: .

4.9. Найти производную функции, заданной параметрически: .

4.10. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

 

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 4 и решение типовых задач

 

4.1. Раскрытие неопределенности вида .

Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно большие функции (б.б.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида . Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность).

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.

 

Пример 1

,

так как при каждая из дробей стремится к нулю.

Пример 2

.

Пример 3

.

Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен ¥, если степень числителя больше степени знаменателя.

4.2. Раскрытие неопределенности вида

Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно малые функции (б.м.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида .

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него.

Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

 

Пример

Вычислить предел .

Решение

При числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму , а квадратный трехчлен разложим на множители, найдя для этого его корни:

,

тогда,

.

Таким образом, получим:

.