Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная

Формы комплексного числа

Модулем комплексного числа называется число

и обозначается

Угол , образованный вектором с положительным направлением оси Ох, называется аргументом комплексного числа и обозначается . Аргумент комплексного числа может быть найден из системы уравнений (см. рис. 8.1)

tg .

Очевидно, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Главное значение аргумента выбирается из условий:

или .

Подставим в алгебраическую форму комплексного числа формулы соотношения .

Получим формулу , или

, (8.2)

которая называется тригонометрической формой комплексного числа.

Обозначив символом комплексное число

,

запишем комплексное число (8.2) в показательной форме .

Таким образом, комплексное число имеет 3 формы записи:

1. – алгебраическая форма,
2. – тригонометрическая форма,
3. – показательная форма,

где – модуль комплексного числа, – аргумент комплексного числа, tg .

Формулы Эйлера

Заменяя в формуле

(8.3)

на – , получим

. (8.4)

Складывая и вычитая равенства (8.3) и (8.4), находим

.

Формулы (8.3) и (8.4) называются формулами Эйлера. Эти формулы связывают показательную и тригонометрические функции.

Пример 8.1. Следующие комплексные числа представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить точками и векторами на комплексной плоскости: а) , б) .

Решение. а) Действительная и мнимая части комплексного числа равны

Найдем модуль и аргумент :

Следовательно, представление комплексного числа в тригонометрической и показательной формах имеет вид:

и .

б) .

Таким образом,

Числа и изображены на рис. 8.2.

Действия над комплексными числами

Если комплексные числа заданы в алгебраической форме , , то операции сложения, вычитания, умножения и деления этих чисел выполняются по следующим правилам:

1. ,

2. ,

3. ,

4.

,

при этом .

Пример 8.2. Даны комплексные числа:

, , .

Вычислить: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) Последовательно вычислим :

.

Тогда .

2) Аналогично вычисляем :

Тогда .

3) Вычисляем :

.

Тогда .

Операции умножения и деления удобно проводить и над чис­лами, заданными в тригонометрической или показательной формах (см.[1], гл. VII, § 2,3).

 

Применение комплексных чисел в электротехнике

Рассмотрим синусоидальный ток, закон изменения которого во времени описывается формулой

,

где – амплитуда тока, характеризует максимальное значение тока, – угловая частота, – фаза, характеризует состояние колебания в момент времени , – начальная фаза.

График тока дан на рис. 8.3.

При расчете цепей синусоидального тока используется также по­нятие действующего значения тока

.

Для облегчения расчетов в электротехнике синусоидальный ток принято изображать вектором (или точкой) на комплексной плоскости

, (8.5)

который называется комплексной амплитудой (рис. 8.4). (обратите внимание на обозначения осей координат!). Модуль этого вектора равен амплитуде , а аргумент – начальной фазе тока.

Если комплексную амплитуду разделить на , то получим ком­плексное действующее значения тока

.

Зная комплексную амплитуду или комплексное действующее значение синусоидальной величины, можно осуществить обратный переход и записать выражение для мгновенного значения этой ве­личины.

Пример 8.3. Ток меняется по закону А. Найти комплексную амплитуду тока и изобразить ее на комплексной плос­кости.

Решение. Из условия находим ампли­туду и начальную фазу тока: .

По формуле (8.5) находим комплексную амплитуду:

 

Комплексная амплитуда изображена на рис. 8.5.

Пример 8.4. Задано комплексное действующее значение тока А. Записать выражение для его мгновенного значения.

Решение. Найдем действующее значение тока как модуль ком­плексного действующего значения тока:

А.

Амплитуда тока вычисляется по формуле

А.

Определим начальную фазу как аргумент комплексного числа из уравнения .

Поскольку число расположено в четвертой четверти, то . Записываем выражение для мгновенного значения синусоидального тока:

А.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Даны комплексные числа , , .

Найти число .

2. Представить в тригонометрической и показательной формах и изобразить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

а) ; б) ; в) .

3. Решить уравнения

а) ; б) .

4. Ток меняется по закону А.Найти комплексную амплитуду тока и изобразить ее на комплексной плоскости.