Обыкновенные дифференциальные

Уравнения второго порядка

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

, (9.14)

где х – независимая переменная, у – неизвестная функция, а у′, у′′ - первая и вторая производные этой функции.

Если уравнение (9.14) разрешимо относительно у′′, то его можно записать в виде

Общим решением ДУ 2-го порядка называется функция , которая при любых значениях постоянных является решением этого уравнения.

Решение, которое получается из общего решения при фиксированных значениях постоянных , называется частным решением ДУ.

Задача Коши для ДУ 2-го порядка: найти частное решение ДУ (9.14), удовлетворяющее начальным условиям , .

Геометрически задача Коши означает, что из множества интегральных кривых выбирается та, которая проходит через точку (х₀;у₀) и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной .

Теорема Коши (о существовании и единственности решения задачи Коши для ДУ 2-го порядка).Если в ДУ функция и ее частные производные непрерывны в некоторой области D пространства, то для любой точки существует единственное решение у (х) этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , .

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка

Рассмотрим некоторые частные случаи дифференциальных уравнений второго порядка .

1. ДУ второго порядка, не содержащие явно y и y′.

Рассмотрим уравнение

. (9.16)

Последовательно дважды интегрируя обе части уравнения (9.16), находим общее решение ДУ

.

Пример 9.7. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 1, у′ (0) = 1.

Решение. Дважды интегрируя, находим

,

Таким образом, получим общее решение ДУ:

.

Используя начальные условия, найдем частное решение уравнения

,

.

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

.

ДУ второго порядка, не содержащие явно функцию y.

Рассмотрим уравнение

. (9.17)

Применяя подстановку

,

получим дифференциальное уравнение первого порядка вида

.

Решив это уравнение, найдем функцию – общее решение.

Затем решаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

,

из которого находим искомую функцию .

Пример 9.8. Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Это неполное уравнение второго порядка, не содержащее явно искомую функцию y.

Порядок этого уравнения можно понизить, положив . Уравнение после подстановки примет вид:

.

Разделим переменные и найдем функцию :

, ,

.

Возвращаясь к переменной у, получим уравнение первого порядка

.

Прежде чем интегрировать это уравнение, целесообразно определить значение постоянной , используя заданные начальные условия .

Подставляя в уравнение , получимуравнение , откуда находим

.

Наконец, используя начальные условия , определим : .

Получаем искомое частное решение: .

Замечание. При отыскании частных решений уравнений высших порядков нет необходимости сначала находить общее решение, а лишь затем определять значение всех постоянных. Лучше определять значения каждой постоянной немедленно после того, как она появляется в процессе решения.

 

ДУ второго порядка, не содержащие явно независимую переменную.

При решении уравнения вида

(9.18)

применяем подстановку

. (9.19)

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Найдем общее решение этого уравнения и подставим . Затем решаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными , из которого находим искомую функцию: .

Пример 9.9. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Данное уравнение второго порядка не содержит явно независимую переменную. Применим подстановку где – новая неизвестная функция переменной .

Тогда и уравнение примет вид

Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: . Но это решение не удовлетворяет начальному условию , а значит является посторонним.

Приравняем к нулю второй множитель:

или

Используя начальные условия при , находим :

Далее решаем уравнение

Теперь определим значение из условия y = 4 при :

Тогда

,

откуда получаем искомое частное решение

.