Разложение основных элементарных функций



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Разложение основных элементарных функций



В ряд Маклорена

1. Запишем разложение в ряд Маклорена функции .

Так как , ,…, , то

, … ,

Таким образом, получаем следующее разложение:

Поскольку , радиус сходимости дан­ного ряда :

,

то есть ряд сходится при любых .

Аналогично можно получить разложения других функций в ряды Маклорена.

2. ,

.

3. ,

.

4. , .

5.

, .

 

6. , .

Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена используется, например, при вычислении приближенных значений функций, оп­ределенных интегралов, решении дифференциальных уравнений и др.

Пример 10.14.Функцию разложить в ряд Маклорена.

Решение.Воспользуемся формулой

,

в которой заменим на .

Получим следующее разложение в ряд Маклорена

.

Пример 10.15.Вычислить с точностью .

Решение.Воспользуемся разложением

, (10.5)

Так как , и , то полагая в формуле (10.5) находим

Так как четвертый член ряда , ограничимся первыми слагаемыми. Значит,

.

Ряды Фурье для периодических функций

В электротехнике широкое применение нашли функцио­нальные ряды Фурье.

Пусть периодическая функция f(x) с периодом T = 2l интегри­руема на отрезке [– l; l]. Рядом Фурьефункции f(x) с периодом T = 2l называется функцио­нальный ряд

(10.5)

коэффициенты которого находятся по формулам

, , . (10.6)

В частности, если T = 2π, то ряд Фурье функции f(x) имеет вид

где (10.7)

, , . (10.8)

Теорема о разложимости периодической функции в ряд Фурье.Если периодическая функция f(x) с периодом T=2l на отрезке [– l; l]

1) кусочно-монотонна,

2) имеет конечное число точек разрыва 1-го рода,

то ряд Фурье функции f(x) сходится для всех действительных х. При этом сумма ряда S(x) = f(x) в точках ее непрерывности и в точках разрыва.

Пример 10.16.Разложить периодическую с периодом T = 2π функ­цию в ряд Фурье.

Построить графики функции f(x)и суммы ряда S(x).

Решение.Найдем коэффициенты ряда Фурье по формулам (10.8):

.

Аналогично находим коэффициенты bn:

.

Подставив найденные значения a0, an, bn в формулу (10.7), запишем разложение функции f(x) в ряд Фурье:

Поскольку то придавая индексу n последовательно значения n=1,2,3,…,10, запишем сумму первых пяти ненулвых слагаемых ряда (сумму первых гармоник ряда):

.

Графики функции f(x) и суммы ряда S(x) изображены на рис.10.1 и рис. 10.2.

Заметим, что в точках разрыва 0, ±π, ±2π,… функция S(x) прини­мает значения, равные полусумме значений функции f(x) слева и справа от этих точек.

Если функция f(x) – четная на интервале (– l; l), т. е. f (– x) = f(x), то в формуле (10.5) коэффициенты bn = 0 и ряд Фурье имеет вид:

где , . (10.10)

Если функция f(x) – нечетная на интервале (– l; l), то есть f(–x) = – f(x), то в формуле (10.5) коэффициенты a0 = 0, an = 0 и ряд Фурье имеет вид

где . (10.12)

Пример 10.17.Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом T = 4 функцию , – 2 x 2.

Решение.Поскольку функция является нечетной на интер­вале , то при разложении ее в ряд Фурье воспользуемся фор­мулами (10.11), (10.12), где полагаем l = 2:

.

При вычислении последнего интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям

, положив u = x, dv= .

Тогда du dx dx,

v

Следовательно,

Разложение в ряд Фурье имеет вид

.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Исследовать сходимость ряда.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

Выяснить, сходится ли данный ряд абсолютно, условно или расходится.

8. . 9. .

Найти область сходимости данного ряда.

10. . 11. .

Разложить данную функцию в ряд Маклорена и указать область сходимости полученного ряда.

12. . 13. .

14.Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в сте-пенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

15. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом T=4 функцию

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ №10



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.239.179.228 (0.011 с.)