Разложение основных элементарных функций

В ряд Маклорена

1. Запишем разложение в ряд Маклорена функции .

Так как , ,…, , то

, …,

Таким образом, получаем следующее разложение:

Поскольку , радиус сходимости дан­ного ряда:

,

то есть ряд сходится при любых .

Аналогично можно получить разложения других функций в ряды Маклорена.

2. ,

.

3. ,

.

4. , .

5.

, .

 

6. , .

Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена используется, например, при вычислении приближенных значений функций, оп­ределенных интегралов, решении дифференциальных уравнений и др.

Пример 10.14. Функцию разложить в ряд Маклорена.

Решение. Воспользуемся формулой

,

в которой заменим на .

Получим следующее разложение в ряд Маклорена

.

Пример 10.15. Вычислить с точностью .

Решение. Воспользуемся разложением

, (10.5)

Так как , и , то полагая в формуле (10.5) находим

Так как четвертый член ряда , ограничимся первыми слагаемыми. Значит,

.

Ряды Фурье для периодических функций

В электротехнике широкое применение нашли функцио­нальные ряды Фурье.

Пусть периодическая функция f (x) с периодом T = 2 l интегри­руема на отрезке [– l; l ]. Рядом Фурье функции f (x) с периодом T = 2 l называется функцио­нальный ряд

(10.5)

коэффициенты которого находятся по формулам

, , . (10.6)

В частности, если T = 2 π, то ряд Фурье функции f (x) имеет вид

где (10.7)

, , . (10.8)

Теорема о разложимости периодической функции в ряд Фурье. Если периодическая функция f (x) с периодом T=2 l на отрезке [– l; l ]

1) кусочно-монотонна,

2) имеет конечное число точек разрыва 1-го рода,

то ряд Фурье функции f (x) сходится для всех действительных х. При этом сумма ряда S (x) = f (x) в точках ее непрерывности и в точках разрыва.

Пример 10.16. Разложить периодическую с периодом T = 2 π функ­цию в ряд Фурье.

Построить графики функции f (x)и суммы ряда S (x).

Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье по формулам (10.8):

.

Аналогично находим коэффициенты b_n:

.

Подставив найденные значения a ₀, a_n, b_n в формулу (10.7), запишем разложение функции f (x) в ряд Фурье:

Поскольку то придавая индексу n последовательно значения n =1,2,3,…,10, запишем сумму первых пяти ненулвых слагаемых ряда (сумму первых гармоник ряда):

.

Графики функции f (x) и суммы ряда S (x) изображены на рис.10.1 и рис. 10.2.

Заметим, что в точках разрыва 0, ± π, ±2 π,… функция S (x) прини­мает значения, равные полусумме значений функции f (x) слева и справа от этих точек.

Если функция f (x) – четная на интервале (– l; l), т. е. f (– x) = f (x), то в формуле (10.5) коэффициенты b_n = 0 и ряд Фурье имеет вид:

где , . (10.10)

Если функция f (x) – нечетная на интервале (– l; l), то есть f (–x) = – f (x), то в формуле (10.5) коэффициенты a ₀ = 0, a_n = 0 и ряд Фурье имеет вид

где . (10.12)

Пример 10.17. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом T = 4 функцию , – 2 x 2.

Решение. Поскольку функция является нечетной на интер­вале , то при разложении ее в ряд Фурье воспользуемся фор­мулами (10.11), (10.12), где полагаем l = 2:

.

При вычислении последнего интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям

, положив u = x, dv= .

Тогда du dx dx,

v

Следовательно,

Разложение в ряд Фурье имеет вид

.

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Исследовать сходимость ряда.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

Выяснить, сходится ли данный ряд абсолютно, условно или расходится.

8. . 9. .

Найти область сходимости данного ряда.

10. . 11. .

Разложить данную функцию в ряд Маклорена и указать область сходимости полученного ряда.

12. . 13. .

14. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в сте-пенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

15. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом T =4 функцию

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ №10

1^0. Какое выражение является числовым рядом? а) ; б) ; в) ;г) .

2^0.Ряд называется сходящимся, если а)сходится последовательность частичных сумм; б) ;в) ; г) остаток ряда при стремится к .

3. Укажите числовой ряд, для которого не выполняется необходимый признак сходимости а) ; б) ; в) ; г) .

4.Если для числового ряда (un 0) , то этот ряд а)сходится;б)монотонно убывает; в)расходится; г)условно сходится.

5.Если радиус сходимости степенного ряда равен , то интервалом сходимости этого ряда является интервал а) ; б) ; в) ; г) .

6*. Какой ряд сходится по признаку Лейбница? а) ; б) ; в) ; г) .

7*. Если периодическая с периодом T = 10 функция f (x) является нечетной, то ее ряд Фурье имеет вид: а) где ; б) где ;в) где ; г) где .