Модуль 14. Теория вероятностей

1. Элементы комбинаторики. [1], ч. 5, разд. 1, § 1.

2. Основные понятия теории вероятностей: события, классификация событий. Операции сложения и умножения событий. [1], ч. 5, разд. 1, § 1.

3. Вероятность события: статистическое, классическое и геометрическое определения вероятностей событий. [1], ч. 5, разд. 1, § 1, 2.

4. Основные аксиомы теории вероятностей. Непосредственное вычисление вероятностей событий. [1], ч. 5, разд. 1, § 1.

5. Теоремы сложения и умножения вероятностей.[1], ч.5,разд.1, §2.

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.[1],ч.5,разд.1,§ 3.

7. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. [1], ч. 5, разд. 1, § 3, 8.

8. Случайная величина. Закон распределения дискретной случай-ной величины, его свойства. [1], ч. 5, разд. 1, § 4.

9. Интегральная функция распределения случайной величины, ее свойства. [1], ч. 5, разд. 1, § 4.

10. Дифференциальная функция (плотность) распределения и ее свойства. [1], ч. 5, разд. 1, § 4.

11. Числовые характеристики распределения случайных вели­чин: математическое ожидание, дисперсия, их свойства. Среднее квадратическое отклонение. [1], ч. 5, разд. 1, § 5.

12. Законы распределения случайных величин: биномиальный, Пуассона, равномерный и экспоненциальный. Распределение Стью­дента. Их числовые характеристики. [1], ч. 5, разд. 1, § 6.

13. Нормальный закон распределения. [1], ч. 5, разд. 1, § 7.

14. Системы случайных величин. Закон распределения систем. Понятие условного закона распределения. [1], ч.5, разд. 1, § 10.

15. Числовые характеристики распределения двумерной случай­ной величины, корреляционный момент, его свойства. [1], ч. 5, разд. 1, § 10.

16. Закон больших чисел. [1], ч. 5, разд. 1, § 8.

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

11. Высшая математика для инженеров. В 2 т. Т.2: Учеб. пособие для вузов/ С.А. Минюк, Н.С. Березкина, А.В. Метельский; Под общ. ред. Н.А. Микулика. Мн.: ООО «Элайда», 2004 – 592 с.

12. Гусак А. А. Высшая математика. – Мн.: Тетра Системс, 1998.

13. Индивидуальные задания по высшей математике. 3 часть/ Под. ред. А.П. Рябушко. – Мн.: Вышэйшая школа, 2004 (второе издание).

14. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1985. – Т. 2.

15. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. – М.:Наука, 1985.

16. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – Мн.: Вышейшая школа, 1986. – Ч. 2.

17. Элементы теории поля. Методические указания для студентов агроэнергетического факультета. Мн.: БГАТУ, 1999.

18. Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Мн.: Вышейшая школа, 1976.

19. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятности и математической статистике. – Мн.: Вышэйшая школа, 1992.

20. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Общий курс высшей математики. – Орша, 1996.

 

Модуль 11. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Двойной интеграл и его свойства

Пусть функция определена в некоторой замкнутой об­ласти плоскости . Разобьем область произвольным обра­зом на частей с площадями . Внутри каждой элементарной области выберем произвольную точку и найдем значение функции в этой точке. Соста­вим сумму:

Эта сумма называется -й интегральной суммой для функции по области .

Диаметром области назовем наибольшее из расстояний ме­жду точками границы этой области и обозначим .

Определение. Если существует конечный предел последова­тельности интегральных сумм при стремлении к нулю наиболь­шего из диаметров частичных областей , не зависящий ни от спо­соба разбиения области , ни от выбора точек , то он называ­ется двойным интегралом от функции по области и обо­значается . Таким образом,

Теорема существования. Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема по этой области.

Свойства двойного интеграла

1.

2. .

3. Если область интегрирования разбить на две области и без общих внутренних точек, то

.

Вычисление двойного интеграла

В прямоугольных декартовых координатах

В прямоугольной системе координат элемент площади можно записать в виде произведения . Тогда

= .

Область называется правильной в направлении оси (или ), если любая прямая, проходящая параллельно этой оси, пересе­кает границу области не более, чем в двух точках.

Например, область на рис. 11.1 является правильной в направле­нии оси и неправильной в направлении оси (прямая пересекает границу области в четырех точках).

 

Рис. 11.1