Интеграла от линии интегрирования

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру и двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.

Теорема. Если функции непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой замкнутой области с границей , то справедлива следующая формула Грина:

где замкнутый контур обходится против часовой стрелки.

Теорема. Пусть функции непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области Для того, чтобы криволинейный интеграл не зави­сел от пути интегрирования, целиком лежащем в области , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области вы­полнялось равенство . Если выполняется это усло­вие, то выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции , т.е.

.

Эту функцию можно найти по одной из следующих двух формул

(12.1)

где – произвольная постоянная.

Начальную точку следует выбирать так, чтобы подын­тегральные функции и были определены в этой точке (удобно выбирать одну из точек , (0, 1), (1, 1) и т.д.).

Пример 12.3. Вычислить , где – контур тре­угольника с вершинами в точках А (–1, 0), В (0, 2), С (0, 1) (рис. 12.2).

Решение. Поскольку контур является замкнутым, применим фор­мулу Грина. В нашем случае

, ,

 

Следовательно, =

.

Пример 12.4. Найти функцию по ее полному дифференциалу:

Решение. Воспользуемся первой из формул (12.1), выбрав за на­чальную точку . Такой выбор вызван тем, что при функции и не определены. Получим

Поскольку также является постоянной, то окончательный ответ можно записать в виде .

 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Найти , если – дуга кривой , заключен­ная между точками и .

2. Показать, что выражение является полным дифференциалом функции . Найти функцию

3. Вычислить работу, производимую силой вдоль отрезка прямой от точки до точки .

4. Найти , где - дуга эллипса от точки до точки .

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО МОДУЛЮ №12

1^0.Если кривая в плоскости задана уравнением , , то находится по формуле: а) ; б) ; в) ;г) .

2^0.Криволинейный интеграл второго рода численно равен а) массе дуги; б) длине кривой; в) объему цилиндра; г) работе переменной силы при перемещении вдоль кривой.

3.Вычислить от т. до т. , если .

4. не зависит от пути интегрирования, если а) ; б) ; в) ; г) .

5.Если , то функция находится по формуле а) ; б) ; в) ; г) .

6.Работа, производимая силой вдоль дуги кри­вой от точки до точки , равна а)1; б) 6; в)3; г)0.

7*.Вычислить , если – первая четверть окружности , , пробегаемая против хода часовой стрелки. а)0; б) ; в) ; г) .

8*.С помощью формулы Грина криволинейный интеграл преобразуется в интеграл а) ;б) ;в) ;г) .

Модуль13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Скалярные и векторные поля.

Геометрические характеристики полей

Если в каждой точке некоторой области пространства (или плоскости) определена скалярная функция , то говорят, что в области задано скалярное поле .

Примерами скалярных полей являются: поле температуры внутри тела, поле потенциала электрического заряда, поле плотности тела и т.д.

Если в каждой точке некоторой области пространства (или плоскости) определен вектор

то говорят, что в области задано векторное поле

.

Примерами векторных полей являются: поле скоростей теку-щей жидкости, поле электрической напряженности , поле магнитной напряженности и т.д.

 

§ 2. Операторы теории поля:

Оператор Гамильтона

Важнейшими характеристиками скалярных и векторных полей являются градиент () скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля.

Определение. Градиентом дифференцируемого скалярного поля называется вектор

Определение. Дивергенцией (или расходимостью) дифференци-руемого векторного поля называется скаляр

.

Определение. Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор

который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

Операторы называются основными операторами теории поля.

В качестве примеров использования указанных операторов приведем формулу связи напряженности и потенциала электростатического поля: и систему уравнений Максвелла для стационарного электромагнитного поля:

1.	.	3.	.
2.	.	4.

Здесь и – векторы напряженности электрического и магнит-ного полей соответственно, – вектор плотности электрического тока, – вектор электрического смещения, – вектор магнитной индукции, – плотность электрического заряда.

В математической и особенно физической литературе наряду с вве-денными операторами широко используется символический вектор-ный дифференциальный оператор набла (оператор Гамильтона):

.

Правила работы с оператором такие же, как и с обычными векторами.

Выразим операторы поля через оператор . Вычисляя произведение вектора на скалярную функцию , скалярное и векторное произведения вектора на ветор , получим формулы

Пример 13.1. Для вектора найти и .

Решение. ,

,

Производная по направлению.

Физический смысл градиента

Пусть функция определена в некоторой области пространства.

 

 

Рис.13. 1

 

Из заданной точки проведем вектор . На луче, задаваемом вектором и точкой , отметим точку (рис.13.1).

Расстояние между точками и обозначим через . Поэтому

Тогда при переходе из точки в точку функция получит приращение

Определение. Если существует предел отношения , когда , то он называется производной функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е. по определению

Теорема 1. Если функция дифференцируема в области , то ее производная по любому направлению существует в каждой точке области и равна

где – направляющие косинусы вектора , т.е. .

С физической точки зрения производная по направлению характеризует скорость изменения функции в заданном направлении.

Физический смысл градиента

Вектор к каждой точке скалярного поля ортогонален поверхности уровня этого поля и указывает направление наиболее быстрого роста функции , а его величина дает скорость этого роста.

Пример 13.2. Вычислить производную функции по направлению вектора в точке .

Решение. Найдем частные производные функции и вычислим их значения в точке :

Вычислим длину и направляющие косинусы вектора :

.

Следовательно,

Производную по направлению найдем по формуле

Простейшие векторные поля

К простейшим векторным полям относятся: соленоидальное, потенциальное и гармоническое.

Определение. Векторное поле называется соленоидальным или трубчатым, если во всех точках поля

Соленоидальное поле не имеет ни источников, ни стоков, его векторные линии замкнуты. Поскольку , то поле вектора магнитной индукции является соленоидальным.

Определение. Векторное поле называется потенциальным или безвихревым, если во всех точках поля

Для потенциального векторного поля всегда найдется такая скалярная функция (потенциал векторного поля ), что .

Определение. Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля

и

т.е. поле является соленоидальным и потенциальным.

Пример 13.3. Проверить, является ли векторное поле гармоническим.

Решение. Векторное поле называется гармоническим, если оно является соленоидальным и потенциальным, то есть в каждой точке М поля выполняются равенства и .

Найдем операторы: ,

.

Следовательно, поле является соленоидальным, но не является потенциальным.

Таким образом, поле не является гармоническим.

 

Циркуляция векторного поля

Рассмотрим непрерывное векторное поле определенное в каждой точке гладкой замкнутой кривой .

Определение. Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой кривой называется криволинейный интеграл второго рода

В случае, когда векторное поле является силовым полем, циркуляция дает величину работы этого поля вдоль кривой .

Если кривая лежит в плоскости , то направление обхода против часовой стрелки считается положительным, а по часовой – отрицательным.

Пример 13.4. Материальная точка массой движется по эллипсу :

в положительном направлении под действием пере-

менной силы , где – угловое ускорение. Вычислить циркуляцию вектора вдоль контура

Решение. Запишем параметрические уравнения эллипса

Циркуляция вектора вдоль контура равна

где – работа силы вдоль контура .

Примеры циркуляций векторных полей

1. Циркуляция вектора напряженности элетрического поля вдоль контура равна э.д.с., возникающей в этом контуре

.

2. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль контура равна силе тока в этом контуре