Задачи математической статистики.

Первая задача – указать способы сбора и группировки статистических данных.

Вторая задача – разработать методы анализа и обработки полученных статистических данных в зависимости от целей исследований.

Определение. Совокупность N объектов, из которых производится выборка объектов для исследования, называется генеральной совокупностью.

Определение. Совокупность п объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой ().

Определение. Выборка называется бесповторной, если отобранный для исследования случайным образом объект в генеральную совокупность не возвращается.

Определение. Выборка называется повторной, если отобранный случайным образом объект перед отбором следующего объекта возвращается в генеральную совокупность.

Для того, чтобы выборка давала правильное представление о генеральной совокупности, она должна быть представительной или репрезентативной, т.е. для каждого объекта генеральной совокупности вероятность попасть в выборку одна и та же.

Пусть совокупность объектов исследуется по некоторому признаку Х. Произведем выборку объема п. Пусть в результате эксперимента случайная величина Х приняла значения раз, раз, …, раз, причем

Определение. Наблюдаемые значения называется вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Определение. Числа называется частотами, числа называются относительными частотами,

Определение. Статистическим распределением выборки называется задание вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Определение. Таблица

			…
			…

или

			…
			…

называется статистическим рядом.

Пусть изучается генеральная совокупность относительно некоторого признака Х. Пусть – возможные значения этого признака, причем все различные.

Определение. Генеральной средней называется среднее арифметическое возможного значения

Если же не все значения различны, а различные значения признака Х принимаются раз, раз, …, раз, тогда

.

Предположим, что все объекты генеральной совокупности объема имеют различные значения. Если взять один объект, то вероятность, что он обладает признаком, равна . Тогда

.

Итак, генеральная средняя есть математическое ожидание рассматриваемого признака Х.

Пусть требуется изучить генеральную совокупность объема относительно признака Х. Извлечем выборку объема п.

Определение. Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности

.

Если не все значения признака различны, то

.

Если из генеральной совокупности извлечена выборка, то она имеет выборочную среднюю, которая является определенным числом. Другая выборка, извлеченная из генеральной совокупности, будет иметь свою выборочную среднюю, которую можно рассматривать как случайную величину, а следовательно, можно говорить о распределении выборочной средней и о ее числовых характеристиках.

Замечание. В теоретических рассуждениях выборочные значения признака Х рассматриваются как случайные величины, имеющие то же распределение и те же числовые характеристики, что и признак Х.

Рассмотрим генеральную совокупность объема . Пусть - значения количественного признака Х – различны.

Определение. Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от генеральной средней .

.

Если же не все значения признака различны, т.е. раз, раз, …, раз, то

.

Средним квадратическим отклонением генеральной совокупности называется

Пусть требуется изучить генеральную совокупность объема относительно признака Х. Извлечем выборку объема п.

Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака выборочной совокупности от выборочной средней .

.

Если же не все значения признака различны, то .

Средним квадратическим отклонением выборочной совокупности называется

Пусть известно статистическое распределение некоторого признака Х:

			…
			…

Пусть х – некоторое действительное число. Обозначим - сумму частот, варианты которых меньше х.

Тогда – относительная частота события

Определение. Статистической (эмпирической) функцией распределения называется функция

.

Статистическая функция сходственна с интегральной функцией распределения , которую в математической статистике называют теоретической функцией распределения.

Различие между этими функциями состоит в том, что задает вероятность события , задает относительную частоту этого события

Функция обладает всеми свойствами функции .

1. .

2. – неубывающая функция.

3. Если то =0, если то =1.

В целях наглядности строят графики статистического распределения выборки.

Определение. Полигоном частот называется ломаная линия с вершинами в точках .

Полигоном относительных частот называется ломаная линия с вершинами в точках .

 

Пример 14.23. В магазине было продано за день 40 костюмов. Имеется вариационный ряд случайной величины Х- размера костюма.

хi
ni

Построить полигон относительных частот.

Решение. Составим ряд относительных частот.

 

хi

Проверка: .

хi

wi

 

Определение. Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниям которых служат отрезки длины , лежащие на оси Ох, а высотами –отрезки длиной .

Значения длин выбираются следующим образом. Интервал, на котором находятся все значения вариант, делят на т равных частей и через обозначают сумму всех частот, варианты которых оказались на -ом отрезке.

Если в генеральной совокупности признак имеет дискретное значение, то промежуток в котором находятся варианты разбиваем на части так, чтобы на каждом участке была одна варианта.

Пример 14.23. Стадо коров в 1000 голов обследуется на жирность молока. Для обследования случайным образом отобрано 50 коров. Объем генеральной совокупности Объем выборки п =50.

При этом получено статистическое распределение:

% жирности	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9		4,1	4,2	4,3

Составить ряд распределения относительных частот . Записать статистическую функцию распределения .

Решение. Так как нам известно, что,то статистический ряд распределения относительных частот имеет вид

% жирности	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9		4,1	4,2	4,3
	0,04	0,06	0,14	0,16	0,18	0,22	0,1	0,06	0,04

Составим статистическую функцию распределения =

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. В группе студентов, состоящей из 20человек, 12 юношей и 8 девушек. Для поездки на сельхозработы случайным образом отобрано двое студентов. Какова вероятность того, что среди них будет а) 2 юноши; б) один юноша и одна девушка?

2. Три стрелка производят выстрел по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что произойдет не менее двух попаданий.

3. Электрическая цепь состоит из пяти, работающих независимо друг от друга. Определить надежность работы цепи, если надежность работы каждого элемента p_i указана на рисунке

р₁ = 0,9, р₂ = 0,81, р₃ = 0,82, р₄ = 0,85, р₅ = 0,94.

4. На сборку поступают шестерни с 3-х автоматов. Первый дает 25%, второй – 30% и третий – 45% шестерен, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% брака шестерен, второй–0,2%. третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной шестерни.

5. В ремонтной мастерской имеются 4 мотора. Для каждого мотора вероятность того, что он включен, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент а) включено 3 мотора; б) включен хотя бы один мотор; в) включено не менее трех моторов.

6. Срок службы шестерен коробок передач зависит от следующих факторов: усталости материала в основании зуба, контактных напряжений и жесткости конструкции. Вероятность отказа каждого фактора в одном испытании не зависит от влияния остальных факторов и равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших факторов в одном испытании. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа отказов факторов.

7. Случайная величина Х задана интегральной функцией

Найти а) дифференциальную функцию распределения;

б) вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале .

8. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией

Найти числовые характеристики случайной величины Х.

9. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на интервале (-1, 1). Написать выражение для плотности вероятности, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

10. В каком случае верно составлен ряд распределения случайной величины Х?

а)	хi						б)	хi
	рi	0,1	0,1	0,1	0,8			рi	0,1	0,1	0,1	0,6

в)	хi						г)	хi
	рi	0,1	0,1	0,1	0,7			рi	0,1	0,1	0,1	0,5