Знакопостоянных числовых рядов

Рассмотрим числовые ряды с неотрицательными членами, т. е.

Признак сравнения. Если для членов рядов и справедливо неравенство для , то:

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда

2) из расходимости ряда следует расходимость ряда

Пример 10.2. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Применим признак сравнения.

Так как для , а ряд сходится как сумма бес­конечно убывающей геометрической прогрессии со знаменате­лем , то сходится и заданный ряд.

Предельный признак сравнения. Если для членов рядов и существует предел

,

то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

В частности, если то удобно воспользоваться знаком эквивалентности и писать при .

Например, многочлен степени

,

т.е. многочлен эквивалентен своей старшей степени при , так как

.

При применении признаков сравнения для исследования сходимо­сти числовых рядов удобно сравнивать с обобщенным гармониче­ским рядом , который сходится при и расходится при . При получаем гармонический ряд

Пример 10.3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак сравнения. Так как , а ряд как обобщенный гармонический с показателем сходится, то исходный ряд также сходится.

Здесь можно применить и предельный признак сравнения. По­скольку при , то исходный ряд схо­дится.

Пример 10.4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Попробуем применить признак сравнения: . Но ряд является гармоническим и расхо­дится. Поэтому признак сравнения в данном случае не решает во­прос о сходимости ряда.

Применим предельный признак сравнения:

при .

Ряд расходится как гармонический, а значит исходный ряд также расходится.

Пример 10.5. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Применим предельный признак сравнения:

при .

Ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показате­лем . Следовательно, исходный ряд также схо­дится.

Признак Д’Аламбера. Пусть для ряда существует предел Тогда:

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится;

3) при признак Д’Аламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуют с помощью других признаков.

Пример 10.6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим признак Д’Аламбера. Запишем -ый и -ый члены ряда:

, .

Вычислим предел

Так как , то данный ряд расходится.

Пример 10.7. Исследовать сходимость ряда

( и называется «эн-факториал»).

Решение. Применим признак Д’Аламбера. Запишем -ый и -ый члены ряда:

, .

Вычислим предел

.

Поскольку , то данный ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Пусть для ряда существует предел Тогда:

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится;

3) при радикальный признак Коши неприменим.

Пример 10.8. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как

то данный ряд расходитсяпо радикальному признаку Коши.

Интегральный признак Коши. Если функция на промежутке монотонно убывает и неотрицательна, то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 10.9. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда

.

Решение.

1) Если то для , а

Так как нарушается необходимое условие сходимости ряда, то в этом случае ряд расходится.

2) Пусть .

Обозначим и рассмотрим функцию Функция монотонно убывает и положительна на промежутке . Вычислим несобственный интеграл .

Если , то

,

то есть несобственный интеграл расходится.

Если и , то

Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при

Знакочередующиеся ряды

Определение. Числовой ряд , члены которого имеют разные знаки, называется знакоперемен­ным.

Рассмотрим ряд , который является знакоположительным.

Теорема. Если сходится ряд , то сходится и ряд .

В этой теореме сформулирован достаточный признак сходимости ряда . Обратное утверждение в общем случае неверно.

Определение. Если сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Определение. Знакочередующимся называется ряд, все члены которого поочередно меняют знак:

(10.1)

где , – числа одного знака.

При исследовании сходимости знакочередующихся рядов при­меняют признак Лейбница.

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) для ,

2)

то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, т.е.

Следствие: Остаток знакочередующегося ряда удовлетворяет неравенству .

Таким образом, знакочередующийся ряд сходится, если модуль общего члена этого ряда монотонно убывая стре­мится к нулю ( при ).

Пример 10.10. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как для и (т. е. монотонно убывая стремится к нулю при ), то данный ряд сходится по признаку Лейбница.

Пример 10.11. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд, состоящий из модулей – это расходящийся гармонический ряд.

Исследуем ряд на условную сходимость. Поскольку монотонно убывая стремится к нулю при , то по признаку Лейбница ряд сходится. Следовательно, исход­ный ряд сходится условно.

Степенные ряды

Рассмотрим теперь бесконечную последовательность функций

U₁ (х), U₂ (х),…, U_n (х),…

Выражение вида

называется функциональным рядом, а сумма первых n слагаемых

n-ной частичной суммой функционального ряда.

Функция

(если предел существует и конечен) называется суммой функцио­нального ряда.

Множество всех значений x, для которых ряд сходится, называ­ется областью сходимости функционального ряда.

Например, ряд при явля­ется суммой членов бесконечно убывающей геометрической про­грессии и, следовательно, сходится, причем сумма ряда . Таким образом, областью сходимости данного функ­ционального ряда яв­ляется интервал (– 1; 1).

Определение. Ряд вида

(10.2)

где , – действительные числа, называется степенным рядом по степеням , а числа – коэффициентами степенного ряда.

При получаем степенной ряд по степеням

Поскольку заменой ряд (10.2) можно свести к последнему ряду, то ограничимся рассмотрением таких рядов.

Степенной ряд всегда сходится в точке . При степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для степенных рядов справедлива следующая теорема.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любых x та­ких, что .

Следствие. Если в точке степенной ряд расходится, то он расходится для любых таких, что .

Из теоремы Абеля и следствия вытекает, что если степенной ряд сходится хотя бы в одной точке , то всегда существует число , такое, что степенной ряд сходится (абсолютно) для всех и расходится для всех . При ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение. Неотрицательное число такое, что степенной ряд сходится при и расходится при , называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал – интервалом сходимости степенного ряда.

Если ряд сходится только в точке , то ; если же он сходится для всех действительных , то .

Для определения радиуса сходимости степенного ряда используют формулы:

, (10.3)

Пример 10.12. Найти радиус сходимости ряда .

Решение. Запишем n -й и (n +1)-й коэффициенты ряда

Радиус сходимости найдем по формуле

,

т.е. ряд сходится в единственной точке .

Пример 10.13. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Найдем радиус сходимости степенного ряда по формуле

, где ,

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений x, для которых

, или , или .

Таким образом, мы нашли интервал сходимости степенного ряда:

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При получим числовой ряд

Полученный ряд является знакочередующимся, его общий член по абсолютному значению монотонно убывает и стремится к нулю при . По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

При получим числовой ряд

Это обобщенный гармонический ряд где который расходится. Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда.

Таким образом, – область сходимости исследуемого ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена

Если степенной ряд сходится и его сумма , то коэффициенты этого ряда определяются по форму­лам:

.

Степенной ряд вида

,

называется рядом Тейлора функции в точке .

Если , то ряд Тейлора имеет вид

и называется рядом Маклорена.

По определению полагаем .

Если для произвольной бесконечно дифференцируемой функции формально составить ряд Тейлора, то он может и не совпадать с са­мой функцией .Поэтому важно определить, когда ряд Тейлора сходится к функции , для которой он составлен.

Теорема. Если на интервале функция и все ее производные ограничены в совокупности одной и той же константой , то ее ряд Тейлора сходится к функции на интервале .