Формула полной вероятности. Формула Байеса

 

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , , … , образующих полную группу. Будем эти события называть гипотезами. Вероятность события А в этом случае вычисляется по формуле

,

которая носит название формулы полной вероятности.

Пример 14.10. В мастерской работают 5 станков 1-го типа, 3 станка 2-го типа и 2 станка 3-го типа. Детали, изготовленные на этих станках, могут быть различного качества. Станки 1-го типа дают 94% качественных деталей, станки 2-го типа дают 90% качественных деталей, а станки 3-го типа - 85% качественных деталей. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь качественная.

Решение. Пусть событие А – взятая деталь качественная.

Выдвигаем следующие гипотезы:

Н ₁ – деталь изготовлена станком 1-го типа;

Н ₂ – деталь изготовлена станком 2-го типа;

Н ₃ – деталь изготовлена станком 3-го типа.

По формуле полной вероятности имеем:

По условию задачи

.

где , - условные вероятности, что взятая деталь качественная, если она изготовлена на станке i -го типа.

Подставляем числовые значения в формулу полной вероятности и получаем:

Формула Байеса (вероятности гипотез).

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , , …, , образующих полную группу. Вероятности этих гипотез до опыта известны и соответственно равны , , … . Произведен опыт, в результате которого наступило событие А. Вероятность гипотезы , после того, как событие А наступило, определяется по формуле Байеса

, .

Пример 14.11. В трех ящиках находятся одинаковые детали. В 1-ом – 10 деталей, из них 3 нестандартных, во 2-ом –15 деталей, из них 5 нестандартных, в 3-ем – 20 деталей, из них 6 нестандартных. Из одного из ящиков извлечена деталь, которая оказалась нестандартной. Определить вероятность того, что деталь извлечена из 2-го ящика.

Решение. Основное событие А – извлечена нестандартная деталь. Вводим гипотезы:

- деталь извлечена из 1-го ящика,

-деталь извлечена из 2-го ящика,

- деталь извлечена из 3-го ящика.

По формуле Байеса следует найти , т.е.

,

где .

Гипотезы равновозможные, следовательно,

По условию задачи условные вероятности события А равны:

.

Тогда

 

Повторение испытаний

Формула Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность появления события А постоянна и равна , то вероятность того, что в независимых испытаниях событие А наступит ровно раз, определяется по формуле Бернулли

, где .

На практике формулой Бернулли удобно пользоваться, если не очень велико .

Пример 14.12. Вероятность изготовления на станке детали высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что из 6 взятых наудачу деталей 4 высшего качества.

Решение. Из условия задачи имеем, что n = 6, m = 4, p = 0,8, q = 1-0,8 = 0,2. Тогда, применяя формулу Бернулли, получаем

.

Формула Пуассона. Если производится достаточно большое число испытаний ( велико), в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна, но мала, то вероятность того, что в испытаниях событие А наступит раз, определяется приближенно формулой

, где .

Пример 14.13. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие в пути повредится Найти вероятность того, что в пути повредится только 3 изделия.

Решение. Применяем формулу , где .

По данным задачи ,

Тогда

Локальная теорема Лапласа. Если производится независимых испытаний ( - велико), и вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна , то вероятность того, что в независимых испытаниях событие А наступит раз, определяется по формуле

,

где , , причем результат тем точнее, чем ближе значение к и чем больше .

Функция – четная. Это означает, что .

Значения функции приведены в таблице 3 краткого справочника, помещенного в конце учебно-методического комплекса.

Замечание. В таблице 3 приведены значения функции при , при полагают

Пример 14.14. Производятся 400 независимых испытаний. Вероятности наступления события А в каждом испытании Найти вероятность того, что в 400 испытаниях событие А наступит 100 раз.

Решение. По условию задачи имеем: , q = 1-0,2 = 0,8, n = 400, m =100. Тогда, применяя локальную теорему Лапласа, находим

.

Из таблицы 3 находим значение функции Тогда

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие А наступит не менее чем раз и не более чем раза, определяется по формуле

,

где , , .

Функция - нечетная. Это означает .Значения функции приведены в таблице 4 краткого справочника, помещенного в конце учебно-методического комплекса. При полагают

Пример 14.15. Вероятность оказаться стандартным для данного изделия 0,8. Найти вероятность того, что среди 900 изделий число стандартных будет находиться в границах от 690 до 740.

Решение. По условию задачи: п = 900, т₁ = 690, т₂ = 740. Применяя интегральную теорему Лапласа, получаем

, где

и .

Находим значения функции по таблице 4

.

Тогда

Определение. Наивероятнейшим числом появления события А в независимых испытаниях называется число, для которого вероятность превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число определяется по формуле

,

где - число независимых испытаний,

- вероятность наступления события А в одном испытании,

- вероятность не наступления события А в одном испытании,

- наивероятнейшее число наступлений событий А.

Пример 14.16. При данном технологическом процессе 85% продукция высшего качества. Найти наивероятнейшее число изделий высшего качества среди 150 изделий.

Решение. По условию задачи . Подставим эти значения в формулу для нахождения наивероятнейшего числа и решим неравенство

,

,

Пример 14.17. Вероятность попадания в мишень для стрелка равна . Определить наивероятнейшее число попадания при 13 выстрелах.

Решение. По условию задачи . Тогда, подставляя эти значения в формулу для нахождения наивероятнейшего числа, получаем

,

Þ или .

Случайные величины

 

Определение. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно возможное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Например, посеяно 100 зерен пшеницы для определения ее всхожести. Число взошедших зерен есть случайная величина, которая может принять одно из значений: 0, 1, 2, …, 100.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные друг от друга возможные значения, которые можно перенумеровать.

Число взошедших зерен пшеницы есть дискретная случайная величина.

Определение. Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток, конечный или бесконечный.

Например, расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть непрерывная случайная величина. Возможные зна-чения этой величины принадлежат некоторому промежутку .

Случайные величины обозначаются: , , и т.д.

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения можно задать в виде таблицы

 

xi	x 1	x 2	x 3	…	xn
pi	p 1	р 2	р 3	…	рn

 

– возможные значения случайной величины ,

– соответствующие им вероятности.

Определение. Интегральной функцией распределения случайной величины называется функция , выражающая вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем :

Свойства интегральной функции

1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку :

.

2. - неубывающая функция, т.е. , если

3.

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале , равна приращению интегральной функции на этом интервале:

5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно конкретное значение, равна нулю, т.е. Поэтому для непрерывной случайной величины справедлива формула

Определение. Дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятностей случайной величины в точке называется отношение вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от до к длине этого участка, когда

Обозначается плотность вероятности через . По определению имеем:

.

Так как , то .

Таким образом, если существует , то существует и , что обычно и предполагают.

Интегральная функция выражается через дифференциальную формулой:

.