Формула Максвелла-Мора. Техніка обчислення переміщень.

Найзагальнішим методом обчислення переміщень у стержневих системах є метод Мора. Він випливає з принципу можливих переміщень і дає можливість визначити переміщення точок системи через зусилля в її елементах. Принцип можливих переміщень, який сформульовано Лагранжем для систем, складених з тіл, що не деформуються, є фундаментальним принципом механіки. Згідно з цим принципом для будь-якої зрівноваженої системи сума робіт всіх прикладених зовнішніх сил на віртуальних переміщеннях дорівнює нулю. Для пружних систем означений принцип може бути сформульований таким чином: в будь-якій пружній зрівноваженій системі сума робіт всіх зовнішніх і внутрішніх сил на будь-яких можливих нескінченно малих переміщеннях дорівнює нулю, тобто А+U=0 (1). У цьому виразі А- робота зовнішніх, а U- внутрішніх сил. Зовнішні сили – це навантаження, прикладенні до конструкції, та опорні реакції, внутрішні – це зусилля, які виникають в елементах споруди при її деформуванні. Можливими вважаються переміщення, які пропускаються наявними в’язями. Розглянемо два напружено-деформовані стани стержневої системи. Перший стан зумовлено зовнішніми навантаженнями, які, по суті, можуть бути довільними. Назвемо цей напружено-деформований стан стержневої системи вантажним, або станом Р. У другому стані на стержневу систему вздовж деякої довільної прямої і-і діє одна зосереджена сила, яка дорівнює одиниці. Такий стан (стан і) будемо називати допоміжним, або одиничним. Обидва ці стани є можливими і, згідно з принципом Лагранжа, сума робіт одного стану на переміщеннях іншого має дорівнювати нулю. Розглянемо можливу роботу сил стану і на переміщення стану Р: А_ір+U_ір=0 (2). Можлива робота зовнішніх сил дорівнює добутку одиничної сили стану і на відповідне переміщення стану

Р: А_ір= 1·▲_ір. (3). Можлива робота внутрішніх сил:

U_ip=-∑ (4) Підставимо роботу зовнішніх сил (3) і можливу роботу внутрішніх сил (4) у співвідношення (2). Маємо:

▲_ір=∑ (5). Ця формула є наближеною, оскільки переміщення реальних систем мають скінченні значення. Під час дії на споруду нерухомого зовнішнього навантаження деформації можуть бути виражені через внутрішні сили. Для фізично-лінійних систем:

ℇ_р= , k_p= = , Ɣ_p= , (6), де ŋ- безрозмірний коефіцієнт, що залежить від форми перерізу стержня і обчислюються за формулою: ŋ=А (7). (Зокрема, для прямокутного перерізу ŋ=1,2). З урахуванням (6).

▲_ір=∑ (8). Цей вираз називається формулою Максвелла-Мора, або інтегралом Мора. За допомогою цієї формули можна обчислити будь-яке переміщення в будь-якій стержневій системі через внутрішні зусилля двох її станів.

 

Застосування формули Максвелла-Мора для різних розрахункових схем.

 

Величини кожного з трьох доданків у формулі Максвелла–Мора характеризують внесок того

чи іншого виду внутрішніх зусиль в переміщення, що розшукується. На підставі аналізу цих

доданків можна дійти висновку, що для різного виду конструкцій нехтування деякими видами

зусиль мало позначається на величині переміщення. Так, для балок і рам, деформування яких відбувається переважно за рахунок згину, можна знехтувати впливом поздовжніх і поперечних сил. У такому разі формула Максвелла–Мора матиме вигляд:

(3.24)

Співвідношення (3.24) називають інтегралом Мора.

Для ферм, в стержнях яких існують поздовжні деформації, можна записати:

(3.25)

Для арок:

 

Правило Верещагіна

За правилом Верещагіна для обчислення інтеграла \MjMpdx достатньо помножити площу

епюри I на ординату епюри, що береться під центром тяжіння епюри (рис.3.8):

Якщо ордината y_t i площа А розташовані по один і той самий бік стержня, добуток береться зі знаком "плюс". Насправді, розглянемо обчислення інтеграла

на прикладі перемножения двох

епюр (рис.3.9), одна з яких мае довільний характер, а друга -обмежена прямою. Добуток є елементарною площею, яка береться на епюрі

 

Ординату на прямолінійній епюрі можна представити у вигляді М_і = xtg(3. Зрештою інтеграл набуває вигляду:

 

Інтеграл у правій частині співвідношення - це статичний момент Sp площі епюри стосовно осі у\, яка проходить через точку перетину епюри з прямою, що збігається з віссю стержня. Як відомо, статичний момент площі дорівнює добутку площі на координату центра її тяжіння . На цій під ставі маємо

Необхідно звернути увагу:

• принаймні одна з епюр, які перемножуються, має бути прямолінійною;

• ордината у_і повинна бути взята на прямолінійній епюрі.

I нарешті, помітивши, що остаточно одержуємо:

Формула Сімпсона–Корноухова

– це окремий випадок відомої з математичного аналізу формули Сімпсона (формули парабол) для обчислення визначених інтегралів, коли інтервал інтегрування розкладається на дві ділянки (рис.3.10):

При використанні формули Сімпсона–Корноухова необхідно, щоб обидві перемножувані епюри не мали зламів, розривів та точок перегину. В противному разі інтервал інтегрування треба розкласти на окремі підінтервали.

Приклад 3.1. Обчислити кут повороту в перерізі k рами (рис.3.11,а).

Процес розв’язання містить чотири етапи:

1. Визначення зусилля від зовнішнього навантаження. На ригелі: M _p = P(a - x), на стійці

M_p = Pa. Епюру M_p побудовано на рис.3.11,б.

2. Створення допоміжного стану. Допоміжний стан (стан i) зображено на рис.3.11,в.

3. Визначення зусиль в допоміжному стану: на ригелі M_i = 1, на стояку M_i = 1. Епюру M_i

побудовано на рис.3.11,г.

4. Обчислення переміщення за формулою Мора.