Тема: Обчислення коефіцієнта кореляції, побудова прямих регресій.

Приклад 1. Отримано вибіркові данні про ціни на квартири та загальну їх площу в місті N, січень 2009 р.

	13,8	13,8		22,5				20,9		21,5				37,9	27,5

- загальна площа квартири, кв.м; - ринкова ціна квартири, тис. у.е.

Необхідно:

1. Побудувати графік залежності між змінними, по якому необхідно підібрати модель рівняння регресії.

2. Розрахувати параметри рівняння регресії методом найменших квадратів.

3. Знайти коефіцієнт еластичності.

4. Оцінити тісноту зв’язку між змінними за допомогою показників кореляції та детермінації.

Розв’язання. Графік залежності змінних Х та Y будується у прямокутній системі координат. На осі абсцис відкладаються значення факторної ознаки Х, а по вісі ординат – результативної ознаки Y. Враховуючи невелике число пар значень змінних, по кожній з них виділимо 5 інтервалів, використовуючи формулу:

,

де h – довжина інтервалу,

х_min – найменше значення ознаки,

х_max – найбільше значення ознаки,

k – число інтервалів.

Для змінної Х: Для інтервалу округлюється в сторону збільшення для зручного значення, =16.

В результаті отримаємо наступні границі інтервалів: 33+16=49; 49+16=65; 65+16=81; 81+16=97; 97+16=113.

Аналогічно, для змінної Y: Границі інтервалів складають: 13; 18; 23; 28; 33; 38.

На графік наносяться точки, координати яких відповідають значенням Y та X. Характер розташування точок на графіку показує, що зв'язок між змінними може виражатися лінійним рівнянням регресії:

.

Рис.1. Залежність ціни на квартири від загальної їх площі

2. Параметри рівняння регресії знаходимо методом найменших квадратів, шляхом складання та розв’язання системи нормальних рівнянь.

Для проведення усіх розрахунків будується допоміжна таблиця.

В таблиці усі середні знаходяться за формулою середньої арифметичної простої: .

Підставимо отриманні суми в систему рівнянь, враховуючи, що n=15:

Розв’язавши систему, отримуємо b₀=4,7743; b₁=0,3018.

Параметри рівняння регресії також можна знайти за формулами, які отримано шляхом використання правила Крамера розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

 

Допоміжна таблиця:

№ п/п	x	y	x^2	y^2	xy		y-	(y- ^2
		13,8		190,44	455,4	14,734	-0,934	0,873
		13,8		190,44		16,847	-3,047	9,283
						15,640	-1,640	2,688
		22,5		506,25		22,883	-0,383	0,147
						21,374	-2,626	6,896
						28,919	-0,919	0,845
						33,447	-1,447	2,092
		20,9		436,81		25,901	-5,001	25,012
						19,261	2,739	7,500
		21,5		462,25	1139,5	20,770	0,730	0,532
						33,447	-1,447	2,092
						27,410	7,590	57,604
						23,788	0,212	0,045
		37,9		1436,41	4244,8	38,577	-0,677	0,459
		27,5		756,25		25,901	1,599	2,556
Всього		368,9		9867,85	26466,7	368,899	-0,001	118,625
Середнє значення	65,667	24,593	4807,4	657,857	1764,447	24,593	-	7,908

 

Невеликі розбіжностів результатах розрахунків пояснюються заокругленням середніх значень в другому випадку.

Таким чином, рівняння регресії має вигляд

Коефіцієнт регресії показує, що при збільшені загальної площі квартири на 1 м² ціна квартири в середньому збільшиться на 0,3018 тис. У.є., або на 301,8 у.є.

Якщо в рівнянні регресії підставити фактичні значення змінної Х, то визначаються можливі (теоретичні) значення змінної , які наносяться на графік у вигляді рівняння прямої.

3. При лінійній формі зв’язку середній коефіцієнт еластичності знаходиться за формулою Э , де – середні значення ознак.

Э=

Коефіцієнт еластичності показує, що при збільшенні загальної площі квартири на 1% її ціна в середньому виросте на 0,806 %.

4. При лінійній залежності, ступінь тісноти зв’язку між змінними визначається за допомогою коефіцієнта кореляції: , де та – середні квадратичні відхилення по X та Y.

 

=0,922.

Так як значення коефіцієнта кореляції близьке до одиниці, то між ознаками зв'язок дуже тісний, пряма, близька до лінійної функціональної.

Коефіцієнт детермінації r²=0,922²=0,850 показує, що 85 % відмінностей в ціні квартир пояснюється варіацією їх загальної площі, а 15 % - іншими, неврахованими факторами (місцезнаходження квартир, благоустрійтериторії, розвинена інфраструктура т. і.).

Індивідуальні завдання 15

1. Досліджується два типи цінних паперів, дохідність яких дорівнює відповідно X та Y. Мета дослідження виявити взаємозалежні коливання курсів цінних паперів. Необхідно:

- побудувати графік залежності між змінними, по якому необхідно підібрати модель рівняння регресії;

- розрахувати параметри рівняння регресії методом найменших квадратів;

- знайти коефіцієнт еластичності;

- оцінити тісноту зв’язку між змінними за допомогою показників кореляції та детермінації.

№
	N–2	N+4	N	N+2	N	N+5	N+1	N+8	N+3	N+6
	K	K+3	K-1	K+1	K-2	K+6	K	K+10	K+5	K+4

Числові значення параметрів:

N – номер варіанту; K – кількість літер прізвищі.

2. Припускаючи, що та пов’язані квадратичною функцією , за допомогою методу найменших квадратів оцінити параметри рівняння регресії

№
	N	N	N+1	N+2	N+4	N+5	N+8	N+10	N+12	N+15
	K+6	K+4	K+3	K	K-1	K-2	K+3	K+4	K+5	K+7

Числові значення параметрів:

N – номер варіанту; K – кількість літер прізвищі.

Зауваження до завдання 2. Система нормальних рівнянь для параметрів квадратичної регресії має такий загальний вигляд:

Після обчислення необхідних сум, дана система може бути розв’язана Вами у будь-який з відомих Вам з курсу «Вища математика для економістів» способів: методом Гауса, Жордано-Гауса, оберненої матриці, Крамера.

Практичне заняття № 16

Тема: Випадкові процеси

Приклад 1. Випадковий процес визначається формулою де розподілене за нормальним законом з Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкового процесу

Розв’язання. Щільність нормального розподілу при дорівнює .

Для обчислення математичного сподівання використаємо формулу

тобто

Для обчислення дисперсії використовуємо властивості дисперсії

Середнє квадратичне відхилення

Приклад 2. Задано матрицю перехідних ймовірностей ланцюга Маркова Знайти матрицю переходу за 2 кроки.

Розв’язання. Має місце формула для визначення матриці переходів за кроків За формулою

Індивідуальна робота 16

1. Випадковий процес визначається формулою де розподілене за нормальним законом з Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкового процесу

- номер варіанту; - кількість літер у прізвищі.

2. Задано матрицю перехідних ймовірностей ланцюга Маркова Знайти матрицю переходу за 3 кроки.