Тема: перевірка гіпотез про розподіл генеральної сукупності за критеріями пірсона та колмогорова

Приклад. За спостереженнями, наведеними в таблиці, за допомогою критерію Пірсона перевірити гіпотезу про те, що випадкова величина має нормальний розподіл ( =0,05, n=500).

Інтервал	[-4,3)	[-3,-2)	[-2,-1)	[-1,0)	[0,1)	[1,2)	[2,3)	[3,4)
ni

 

Розв’язання. Обчислимо за вибіркою оцінки параметрів нормального розподілу, використовуючи метод умовних варіант: , тут С = – 0,5; h =1.

№	Середина інтервалу yі	Частота ni	ui	ni ui	ni ui^2
	-3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5		-3 -2 -1	-30 -60 -70
∑

Знайдемо . Для знаходження теоретичних частот складають розрахункову таблицю:

№			Ф()	Ф()	pi= Ф() – Ф()	npi
	∞ 2,09 –1,42 –0,74 –0,07 0,61 1,28 1,96	–2,09 –1,42 –0,74 –0,07 0,61 1,28 1,96 -∞	–0,5 –2 –1	–30 –0,48169 –0,42220 –0,27035 –0,02790 0,22907 0,39973 0,47500	0,01831 0,05949 0,15185 0,24245 0,25697 0,17066 0,07527 0,025	9,155 29,745 75,925 121,225 128,485 85,33 37,635 12,5
∑					1,000

Порівняємо теоретичні і емпіричні (статистичні) частоти. Для знаходження емпіричного значення складають розрахункову таблицю:

№	ni	npi	ni- npi	(ni - npi)^2	(ni - npi)^2/ npi
		9,155 29,745 75,925 121,225 128,485 85,330 37,635 12,5	0,845 0,255 –5,925 8,775 –8,485 4,670 2,365 –2,5	0,7140 0,0650 35,1056 77,0006 71,9952 21,8089 5,5932 6,25	0,07799 0,03663 0,46237 0,63519 0,00778 0,25558 0,14862 0,5
∑					2,12416

Отже, =2,12416. Кількість інтервалів r=8, а кількість невідомих параметрів l =2. Тоді, число степенів свободи k = r – l – 1 = 5. За таблицею розподілу ² знаходимо критичну точку =11,07. Отже, оскільки , гіпотеза про нормальний розподіл досліджуваної величини приймається. Рівень достовірності проведеного тесту .

Індивідуальні завдання 13

Розподіл трьохсот приватних фірм за рівнем прибутку (тис.грн за певний часовий проміжок) відображено в наступній таблиці. За допомогою критерію при рівні значущості перевірити гіпотезу про те, що рівень прибутку приватних фірм є нормально розподіленою випадковою величиною.

Рівень прибутку (тис.грн.)	Кількість фірм	Рівень прибутку (тис.грн.)	Кількість фірм
[ –K; 0) (фірма збиткова)		[ 4K; 5K)	200-2N
[ 0; K)		[ 5K; 6K)	N+25
[ K; 2K)		[ 6K; 7K)
[ 2K; 3K)		[ 8K; 9K)
[ 3K; 4K)	N+20	[ 9K; 10K)

 

Числові значення параметрів:

N – номер варіанту; K – кількість літер у прізвищі.

Практичне заняття № 14

Тема. Використання критерію Фішера-Снедекора.

Приклад 1. Рівень впливу фактора F на ознаку Х наведено у таблиці

Рівень фактора F (групи)	Спостережувані значення ознаки Х
1 2	51, 52, 56, 57 52, 54, 56, 58 42, 44, 50, 52

 

Дослідити, чи істотно впливає фактор F на ознаку Х при рівні значущості .

Розв’язування. На ознаку Х діє фактор F, який має три рівня (). Число спостережень на кожному рівні однакове і дорівнює чотирьом ().

Обчислимо групові середні та загальну середню :

, ,

,

Знаходимо факторну і залишкову суми квадратів відхилень:

Поділивши одержані суми квадратів відхилень на відповідні числа ступенів свободи, одержимо факторну і залишкову дисперсії

Порівняємо факторну і залишкову дисперсії за критерієм Фішера–Снедекора, обчисливши спостережуване значення критерію

Число ступенів свободи чисельника а знаменника

За значеннями , по таблиці критичних точок розподілу Фішера–Снедекора знаходимо критичну точку

Висновок: Оскільки , то вплив фактора F на ознаку Х є суттєвим.

Індивідуальні завдання 14

З’ясувати, чи істотно впливає фактор F на ознаку Х при заданих рівнях значущості

Варіант,	Рівень фактора	Спостережувані значення Х	Варіант,	Рівень фактора	Спостережувані значення Х
		3,4; 4,2; 5,1; 4,3; 4,6 3,8; 3,6; 4,5; 5,2; 5,1 4,3; 5,6; 5,2; 4,9; 4,7 3,6; 3,9; 4,3; 5,4; 5,0			9,4; 8,2; 7,1; 8,3; 7,6 8,8; 9,6; 7,5; 8,2; 9,1 8,3; 9,6; 8,2; 7,9; 8,7 7,6; 8,9; 9,3; 7,4; 9,0
		18; 24; 21; 25 23; 25; 21; 20 19; 17; 22; 21 18; 22; 24; 23 23; 21; 24; 26			234; 321; 269; 308 338; 353; 289; 331 278; 312; 329; 358 332; 371; 369; 328 264; 338; 289; 352
		126; 143; 132; 152 135; 148; 145; 153 129; 134; 136; 143 132; 143; 152; 147			7,24; 6,32; 7,36; 6,31 6,41; 5,35; 5,43; 6,29 7,35; 6,38; 7,32; 6,41 6,38; 5,35; 6,33; 5,43
		1,24; 1,32; 1,36; 1,31 1,41; 1,35; 1,43; 1,29 1,35; 1,38; 1,32; 1,40 1,38; 1,35; 1,33; 1,42			4,24; 5,32; 5,36; 5,31 4,41; 4,35; 4,43; 5,29 5,35; 5,38; 5,32; 5,40 4,38; 5,35; 5,33; 4,42
		0,23; 0, 24; 0,21; 0,25 0,23; 0,25; 0,21; 0,20 0,19; 0,17; 0,22; 0,21 0,18; 0,22; 0,24; 0,23			0,73; 0, 84; 0,71; 0,65 0,63; 0,85; 0,71; 0,69 0,79; 0,67; 0,72; 0,81 0,78; 0,82; 0,64; 0,73
		13; 15; 17; 11; 14; 12 10; 13; 14; 16; 18; 12 15; 17; 14; 18; 21; 20			51; 65; 57; 71; 64; 72 70; 63; 54; 66; 68; 71 65; 57; 74; 68; 71; 70
		1,4; 1,5; 1,7; 1,1; 1,2 1,1; 1,5; 1,8; 1,6; 1,9 1,6; 1,9; 1,7; 1,8; 2,1			7,46; 7,52; 7,70; 7,82 7,86; 8,52; 8,73; 7,64 7,35; 8,02; 8,15; 7,26
		64; 69; 74; 58; 71 53; 67; 59; 68; 58 56; 70; 65; 72; 63 63; 64; 54; 71; 57			4,4; 5,9; 5,4; 5,8; 5,1 5,3; 5.7; 4,9; 4,8; 4,6 5,6; 4,7; 5,5; 5,2; 4,3 5,3; 5,4; 4,8; 4,7; 4,9
		10,3; 13,2; 15,3; 12,6 14,4; 15,4; 13,6; 12,8 12,1; 15,9; 15,3; 13,5 15,1; 13,9; 14,3; 13,8			80,7; 83,2; 85,3; 82,6 84,4; 85,4; 83,6; 82,8 82,1; 85,9; 85,3; 83,5 85,9; 83,9; 84,7; 88,5
		426; 443; 432; 452 435; 448; 465; 453 429; 434; 456; 443 432; 463; 452; 447			2,6; 3,1; 3,4; 2,8; 3,3 2,9; 3,6; 3,2; 2,8; 3,7 3,6; 3,7; 3,0; 3,8; 3,1 2,5; 2,3; 3,2; 2,8; 3,6
		36; 45; 49; 32 56; 55; 48; 52 46; 45; 54; 53 46; 60; 59; 57 56; 58; 47; 62			76; 85; 79; 82 86; 85; 78; 72 76; 75; 84; 73 86; 76; 79; 77 86;88; 87; 92
		6; 5; 9; 7; 8;10 5;9; 8; 6; 7; 6 8; 5; 8; 5; 9; 7 6; 10; 9; 7; 8; 7 5; 9; 7; 6; 7; 8			3,3; 4,7; 4,8; 3,2 5,8; 5,7; 4,9; 5,2 4,6; 4,5; 5,4; 5,3 4,6; 6,0; 5,9; 5,7 5,6; 5,8; 4,7; 6,2
		0,68; 0,61; 0,76; 0,59 0,78; 0,73; 0,71; 0,67 0,60; 0,69; 0,72; 0,56 0,72; 0,66; 0,81; 0,84			0,18; 0,11; 0,16; 0,19 0,18; 0,13; 0,11; 0,17 0,16; 0,19; 0,12; 0,16 0,12; 0,16; 0,11; 0,14
		76,4; 82,2; 90,6; 87,5 70,7; 78,2; 80,9; 84,3 86,2; 89,1; 92,6; 88,6 79,2; 85,2; 89,4; 81,5			6,4; 8,2; 9,6; 8,5 7,7; 7,2; 8,9; 8,3 8,2; 8,1; 9,6; 8,6 7,2; 8,2; 8,4; 8,5
		578; 654; 679; 523; 749 537; 554; 619; 523; 628 707; 662; 670; 723; 687 768; 762; 696; 729; 674			5,8; 6,5; 6,7; 5,3; 7,4 5,7; 5,5; 6,1; 5,3; 6,2 7,0; 6,6; 6,7; 7,2; 6,8 7,6; 7,2; 6,9; 7,2; 6,7
		1,5; 1,8; 2,1; 1,7 1,7; 1,9; 2,0; 2,4 2,1; 1,7; 2,2; 2,6 1,6; 1,9; 1,4; 1,8 1,7; 1,9; 2,0; 2,4			4,5; 4,8; 4,1; 4,7 4,7; 4,9; 5,0; 5,4 4,1; 4,7; 5,2; 4,6 4,6; 4,9; 5,4; 4,8 4,2; 4,9; 5,0; 4,5
		30,3; 43,2; 45,3; 32,6 34,4; 45,4; 43,6; 42,8 32,1; 35,9; 35,3; 43,5 35,1; 43,9; 34,3; 43,8			70,3; 73,2; 75,3; 72,6 84,4; 85,4; 73,6; 82,8 72,1; 75,9; 85,3; 83,5 75,1; 83,9; 84,3; 73,8

 

Практичне заняття № 15