Тема: розв’язання задач на основні закони розподілу неперервних випадкових величин.

Приклад 1. Випадкова величина рівномірно розподілена на проміжку [4; 16]. Знайти , побудувати графіки функцій та , обчислити ймовірності подій та .

Розв’язання. Згідно з формулами:

Числові характеристики НВВ Х, що рівномірно розподілена: .

Ймовірність того, що рівномірно розподілена ВВХ потрапить в проміжок за умови вираховується за формулою , враховуючи, що та маємо

.

 

 

Приклад 2. Задано

Визначити .

Розв’язання. Так задана випадкова величина, розподілена за показниковим розподілом з параметром . Використовуючи формули ; одержимо:

, оскільки ; ; ;

;

.

Приклад 3. Відомо, що випадкова величина Х має закон розподілу .

Записати вирази для і накреслити їх графік. Обчислити , . Чому дорівнюють ?

Розв’язання. ;

.

F(x)

Графіки наведені на рис. 1 і 2.

 

		-4		x

 

 

Рис.1. Рис. 2.

Використовуючи формули ;

, обчислюємо ймовірності:

1)

;

.

2) .

.

.

Індивідуальні завдання 9

1. Випадкова величина рівномірно розподілена на проміжку . Знайти , побудувати графіки функцій та , обчислити ймовірність подій та

Варіанти				Варіанти
	[1; 20]	[5; 12]			[15; 33]	[19; 29]
	[4; 26]	[7; 15]			[9; 41]	[10; 18]
	[2; 18]	[3; 7]			[6; 29]	[9; 20]
	[6; 18]	[7; 13]			[3; 17]	[5; 12]
	[12; 25]	[16; 20]			[4; 27]	[8; 22]
	[10; 31]	[15; 28]			[2; 26]	[7; 15]
	[11; 32]	[17; 25]			[3; 37]	[8; 30]
	[16; 42]	[21; 34]			[5; 22]	[10; 18]
	[2; 16]	[5; 12]			[7; 28]	[11; 20]
	[13; 26]	[16; 22]			[9; 19]	[11; 15]
	[7; 25]	[10; 19]			[2; 18]	[7; 14]
	[5; 15]	[7; 13]			[5; 28]	[9; 18]
	[5; 29]	[11; 22]			[4; 25]	[8; 16]
	[14; 35]	[17; 25]			[3; 18]	[8; 14]
	[8; 26]	[10; 21]			[9; 24]	[12; 21]
	[5; 17]	[9; 15]			[5; 19]	[7; 14]
	[3; 25]	[5; 11]			[6; 23]	[9; 19]
-	-	-	-		[9; 18]	[10; 11]

2. Випадкова величина має показниковий розподіл з параметром . Визначити та .

Варіанти			с	Варіанти			с
		[1; 2]	2,3			[0,3; 1]	1,5
		[1,3; 2]	2,5			[0,4; 12]	1,2
		[0,4; 2]	3,1			[0,5; 1]	0,8
		[2; 2,8]				[1,6; 2,2]	2,6
		[0,5; 1]	0,6			[2; 2,6]	2,4
		[0,2; 1]	2,5			[1,8; 2,5]
		[1,5; 2]	2,8			[2; 2,0]	2,9
		[1,8; 3]	2,1			[0,3; 1]	1,5
		[1,2; 2.1]				[0,4; 1,5]
		[1,3; 2]	1,5			[0,7; 2]	1,8
		[1,8; 2,5]				[0,8; 2]	2,5
		[0,2; 1,5]	1,6			[0,1; 1]	1,5
		[1,3; 2,1]				[0,3; 2]
		[1,1; 2,4]	2,5			[0,5; 2]
		[1; 2,5]	1,5			[1,5; 2]
		[2,1; 3]				[2,2; 3]	2,5
		[1,5; 2,1]				[2,4; 3]	2,5
-	-	-	-			[3,5; 4]	4,5

 

3. Випадкова величина має нормальний розподіл з параметрами та . Записати вирази для , схематично побудувати їх графіки. Знайти ймовірності .

Варіанти					Варіанти
	-1		-3
	-2		-3			-4		-5	-3
						-3		-4
	-1		-2			-1		-2
			-1			-2		-4
								-1
	-1		-2			-2		-5
	-2		-4			-3		-4
	-2		-6
			-3			-3		-6
			-2			-2		-7
	-1		-3					-2
	-1		-2			-1		-5
	-5		-6	-2				-3
						-1		-4
	-4		-7	-1
			-3			-2		-1
-	-	-	-	-		-4		-2

 

Практичне заняття № 10

Тема: Використання граничних теорем та законів великих чисел для оцінки ймовірностей у випадку великої кількості випробувань.

Приклад 1. Відомо, що всієї продукції, що виробляється заводом – першого сорту. Оцінити ймовірність того, що число виробів першого сорту серед 200 000 виробів виготовлених буде відрізнятися від математичного сподівання цього числа не більше, ніж на 2000 шт.

Розв’язання. – ймовірність того, що виріб І сорту,

Використаємо нерівність Чебишева:

, тут ;

, отже, .

Приклад 2. Визначити необхідне число дослідів, які необхідно провести, щоб з ймовірністю 0,96 відхилення частоти появи події А від ймовірності її появи в окремому досліді, що дорівнює 0,75, не перевищувало за абсолютною величиною 0,05.

Розв’язання. Введемо позначення ;

. Для обчислення кількості дослідів n можна використати дві формули:

а) нерівність Чебишева:

, звідки підставивши у формулу, маємо: отже ;

б) інтегральну теорему Муавра-Лапласа про ймовірність відхилення частоти події від її імовірності в кожному випробуванні не більше, ніж на :

знайдемо

тобто за таблицями інтегральної функції отже , .

Як видно з розрахунків, нерівність Чебишева дає значення n значно вище.

Індивідуальні завдання 10

Завдання 1. Кількість повідомлень, що надходять на телефонний номерза добу є випадковою величиною, математичне сподівання якої дорівнює Оцінити ймовірність того, що в найближчу добу кількість повідомлень: а) перевищить число б) на перевищить

Завдання 2. Аналіз торгівельної діяльності певного магазину показує, що середньомісячний товарообіг складає у.г.о. Оцінити ймовірність того, що в наступному місяці товарообіг буде в межах у.г.о., якщо відомо, що дисперсія досліджуваної величини

Завдання 3. Ймовірність спотворення цифрового сигналу під час його передачі дорівнює 0,05. Скільки необхідно надіслати сигналів, щоб з ймовірністю не менше очікувати, що число спотворених сигналів буде відхилятися від математичного сподівання на величину, що по модулю не перевищує Розв’язати задачу а) за нерівністю Чебишова; б) за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа.

Практичне заняття № 11

Тема: Статистичний розподіл вибірки. Графічне зображення вибірки. Обчислення числових характеристик вибірки.

Приклад 1. Задана вибірка із 50 елементів:

Виконати наступні завдання:

1) побудувати статистичний розподіл вибірки, емпіричну функцію розподілу, та її графік;

2) побудувати полігон та гістограму частот та відносних частот;

3) обчислити числові характеристики вибірки: середнє, дисперсію і середнє квадратичне відхилення;

4) знайти моду, медіану, розмах і коефіцієнт варіації;

5) знайти асиметрію і ексцес вибірки.

(N – номер варіанта).

Практичне заняття № 12

Тема: Статистичні оцінки.

Приклад 1. Автотранспортна компанія має на меті оцінити середній час транспортування овочів та фруктів з півдня країни до столиці. Випадкова вибірка партій товарів показала годин; год. Побудувати довірчий інтервал з для середнього часу транзиту.

Розв’язання. Довірчий інтервал для середнього Тут обчислюється з рівності за таблицею функції Лапласа.

З таблиці функції Лапласа Межі інтервалу:

Відповідь:

Приклад 2. Проводиться аналіз розмірів основних фондів 15 промислових підприємств регіону. В результаті виявлено, що середнє відхилення складає 0,2 млн.грн. Припускаючі, що розмір основних фондів має нормальний розподіл, знайти межі в яких з надійністю знаходяться генеральна дисперсія та середнє квадратичне відхилення розмірів основних фондів.

Розв’язання. Межі інтервалу для генерального середнього квадратичного відхилення:

Значення та знаходимо у додатку 6 (критичні точки розподілу ) з рівностей Маємо при Кількість ступенів свободи

З додатку 6

Довірчі інтервали

Остаточно

Довірчий інтервал для генерального середнього квадратичного відхилення

З надійністю 0,9 дисперсія розмірів основних фондів знаходиться в межах 0,0253 – 0,0913, а середнє квадратичне відхилення від 0,1591 млн.грн. до 0,5022 млн.грн.

Приклад 3. Визначити обсяг вибірки за якого похибка гарантується з ймовірністю 0,97, якщо

Розв’язання. Використовуємо формулу: Величина відхилення звідси

Величину знаходимо з таблиць функції Лапласа з рівності З таблиці

Маємо Об’єм вибірки має складати

Індивідуальна робота 12

1. Досліджується вартість доби відпочинку на зимовому курорті. Вибірка об’єму показала вибіркове середнє , та виправлену дисперсію Побудувати довірчий інтервал з рівнем довіри для генеральної середньої генеральної дисперсії та генерального середнього квадратичного відхилення випадкової величини х – вартості доби відпочинку на зимовому курорті.

2. Визначити обсяг вибірки , за якого похибка гарантується з ймовірністю , якщо задано.

Варіант	До завдання 1	До завдання 2
1.			12,3	0,95	0,001	0,99	0,25
2.			11,3	0,99	0,002	0,93	0,4
3.				0,9	0,003	0,92	0,5
4.			14,2	0,96	0,015	0,91	0,7
5.			13,3	0,97	0,018	0,9	0,8
6.			12,2	0,91	0,02	0,97	0,2
7.			10,1	0,93	0,012	0,91	0,47
8.				0,94	0,013	0,92	0,42
9.			8,2	0,96	0,014	0,95	0,54
10.			10,3	0,9	0,01	0,97	0,55
11.			10,4	0,95	0,02	0,93	0,47
12.			11,2	0,995	0,015	0,92	0,54
13.			12,3	0,99	0,025	0,91	0,5
14.			11,4	0,9	0,05	0,95	0,48
15.			10,2	0,95	0,01	0,94	0,45
16.			9,5	0,995	0,02	0,97	0,35
17.			9,8	0,99	0,015	0,93	0,55
18.			8,5	0,9	0,025	0,92	0,47
19.			8,7	0,95	0,05	0,91	0,54
20.			10,2	0,995	0,01	0,95	0,5
21.			11,3	0,99	0,02	0,94	0,48
22.			11,4	0,9	0,015	0,97	0,45
23.			12,5	0,95	0,025	0,93	0,35
24.			10,2	0,995	0,05	0,92	0,55
25.				0,99	0,01	0,91	0,47
26.			9,3	0,9	0,02	0,95	0,54
27.			9,2	0,85	0,015	0,94	0,5
28.			9,8	0,89	0,025	0,97	0,48
29.			10,3	0,9	0,05	0,93	0,45
			10,2	0,95	0,01	0,92	0,35
31.				0,97	0,02	0,98	0,24
32.			11,1	0,98	0,01	0,95	0,41
33.			12,5	0,99	0,015	0,96	0,252
34.			10,4	0,995	0,012	0,97	0,42
35.			11,3	0,95	0,03	0,93	0,55

 

Практичне заняття № 13