Закони розподілу неперервних випадкових величин

Рівномірний розподіл. Розподіл ймовірностей називається рівномірним, якщо на інтервалі, якому належать можливі значення випадкової величини щільність ймовірностей зберігає стале значення, тобто:

 

 

; (2.13)

 

Функція розподілу рівномірного закону має вигляд:

Приклад. При проведенні маркетингових досліджень встановлено, що ціна на деякий вид товару має рівномірний розподіл в інтервалі від 1200 до 1800 гривень. Визначити функцію розподілу і ймовірність того, що ціна товару буде менша 1400 грн. Визначити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення ціни товару.

Розв’язання. Щільність ймовірностей випадкової величини х, що має рівномірний розподіл, визначається за формулою:

По умові завдання мінімальна ціна товару дорівнює а = 1200 грн., а максимальна b = 1800 грн., і щільність ймовірностей ціни товару х можна записати у вигляді:

Функція розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини може бути записана у вигляді:

Ймовірність попадання випадкової величини в деякий інтервал (a,b) визначається формулою

В інтегралі нижня межа узята рівною а = 1200, оскільки при х < а = =1200 f (x)= 0.

Математичне сподівання рівномірно розподіленої випадкової величини визначається за формулою (2.13). Для математичного сподівання ціни товару отримали:

Дисперсію ціни товару знайдемо за формулою (2.13):

(грн.)².

Середнє квадратичне відхилення ціни товару від математичного сподівання буде дорівнювати:

грн.

 

Показниковий розподіл. Показниковим називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х, яку можна описати щільністю

 

 

; (2.14)

 

Функція розподілу показникового закону:

Ймовірність попадання значень випадкової величини Х, розподіленої за показниковим законом в інтервал визначається за формулою

(2.15)

Приклад. Час очікування біля бензоколонки автозаправної станції є випадковою величиною Х, що розподілена за показниковим законом із середнім часом очікування, що дорівнює . Знайти ймовірність події

Розв’язання. За формулами (2.15) маємо:

Нормальний розподіл. Закон розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х називається нормальним, якщо його щільність має вигляд

де і – параметри розподілу.

(2.16)

Ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини

Ф Ф (2.17)

Ймовірність заданого відхилення

(2.18)

Приклад. Статистичні дані прибутку на душу населення показали, що річний прибуток працівників банку має нормальний розподіл із середнім значенням 9 800 грн. і середньоквадратичним відхиленням – 1 600 грн. Якщо вибрано особу навмання, то яка ймовірність того, що її річний прибуток буде знаходитись між 8 520 та 12 200 грн.?

Розв’язання.

Знайдемо:

Тоді

.

Приклад. Помилки обчислень, зроблені бухгалтером при складанні балансу, розподіляються у відсотках за нормальним законом розподілу з параметрами і Якими будуть межі помилок обчислень з ймовірністю 0,9973?

Розв’язання. Скориставшись формулою (2.18), маємо:

Тоді .

За таблицею додатка 2 знайдемо, що

отже,

 

 

Питання для самоконтролю

1. Описати закони розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини (біноміальний, геометричний, гіпергеометричний і закон розподілу Пуассона). Як визначаються їх числові характеристики?

2. Дати означення рівномірного, показникового та нормального розподілів неперервних випадкових величин.

3. Як визначаються числові характеристики рівномірно розподіленої випадкової величини Х.

4. Як знайти і показникового закону, знаючи параметр За якою формулою обчислюється ймовірність попадання значень показниково розподіленої неперервної величини в інтервал ?

5. Якими параметрами визначається нормальний розподіл, який їх імовірнісний зміст? Накреслити криву нормального розподілу.

6. Записати формулу для обчислення ймовірності попадання значень нормально розподіленої випадкової величини в інтервал .

Завдання 7

7.1. Середнє значення розподілу доходів працівників фірми становить 15 000 грн. і середньоквадратичне відхилення - 2 000 грн. Якщо працівника вибрано навмання, то яка ймовірність того, що він заробляє від 10 000 до 20 000 грн.?

7.2. Державна податкова адміністрація проаналізувала благодійні внески всіх осіб, що зробили їх зі своїх прибутків. Служба встановила, що внески на одного працівника нормально розподіляються із середнім значенням 840 грн. і середнім квадратичним відхиленням 180 грн. Якщо вибрати навмання одного працівника, то яка ймовірність того, що протягом року він вніс менше ніж 435 грн.?

7.3. Статистичні дані прибутку на душу населення показали, що річний прибуток людей міста має нормальний розподіл із середнім значенням 9 000 грн. і середньоквадратичним відхиленням - 1 500 грн. Якщо вибрано певну особу навмання, то яка ймовірність того, що її річний прибуток знаходиться між 8 520 та 12200 грн.?

7.4. Річний прибуток від копіювальних машин має нормальний розподіл, середнє значення якого 720 000 грн. і середньоквадратичне відхилення 80 000 грн. Якщо вибрано копіювальну машину навмання, то яка ймовірність того, що річний прибуток від неї буде від 600 000 до 800 000 грн.?

7.5. Припустимо, що протягом року ціна на ак­ції деякої компанії є випадкова величина, розподілена за нормальним законом з матема­тичним сподіванням 48 у. о., і середнім квадратичним відхиленням 6 у. о. Визначите ймовірність того, що у випадково вибраний день ціна за акцію була більше 60 у. о.

7.6. Банк провів дослідження про наявність річних заощаджень у осіб, вік яких не менше 21 року. Дослідження показали, що річні заощадження на одну особу нормально розподіляються з середнім числом 1 850 грн. і середнім квадратичним відхиленням – 350 грн. Визначити ймовірність того, що навмання вибрана особа має заощадження більше ніж 2 200 грн.

7.7. Середня ціна деякої з великої кількості акцій становить 12 грн. 80 коп., а середнє квадратичне відхилення – 3 грн. Припускаємо, що ціни розподілені за нормальним законом. Знайти яку частку акцій продають за ціною, не вищою від 10 грн.?

7.8. Помилки в обчисленнях, допущені бухгалтером при складанні балансу, розподіляються у відсотках за нормальним законом з параметрами а =1,5 і = 0,01. Написати функцію і щільність розподілу цих помилок та накреслити їх графіки. В яких межах містяться помилки обчислень з ймовірністю 0,9973?

7.9. Банк провів дослідження про наявність річних заощаджень у осіб, вік яких не менше 21 року. Дослідження показали, що річні заощадження на одну особу нормально розподіляються з середнім числом 1 850 грн. і середнім квадратичним відхиленням – 350 грн. Визначити ймовірність того, що навмання вибрана особа має заощадження менше ніж 1 500 грн.

7.10. Припустимо, що протягом року ціна на ак­ції деякої компанії є випадкова величина, розподілена за нормальним законом з матема­тичним сподіванням 48 у. о., і середнім квадратичним відхиленням 6 у. о. Визначити ймовірність того, що у випадково вибраний день ціна за акцію була нижча за 60 у. о.

7.11. Державна податкова адміністрація проаналізувала благодійні внески всіх осіб, що зробили їх зі своїх прибутків. Служба встановила, що внески на одного працівника нормально розподіляються із середнім значенням 840 грн. і середнім квадратичним відхиленням 180 грн. Якщо вибрати навмання одного працівника, то яка ймовірність того, що протягом року він вніс від 390 грн. до 1 380 грн.;

7.12. Середній прибуток на душу населення в розмірі 8 000 грн. вважається випадковою величиною, що розподілена нормально із середнім квадратичним відхиленням = 200 грн. В яких межах практично можна гарантувати прибуток на душу населення з ймовірністю 0,9973?

7.13. Річний прибуток від копіювальних машин має нормальний розподіл, середнє значення якого 720 000 грн. і середньоквадратичне відхилення 80 000 грн. Якщо вибрано копіювальну машину навмання, то яка ймовірність того, що річний прибуток від неї менш ніж 500 000 грн.?

7.14. Середня ціна деякої великої кількості акцій становить 12 грн. 80 коп., а середнє квадратичне відхилення – 3 грн. Припускаємо, що ціни розподілені за нормальним законом. Знайти ймовірність того, що навмання взята акція матиме ціну від 11 до 14 грн.

7.15. Статистичні дані доходу на душу населення показали, що річний прибуток людей міста має нормальний розподіл із середнім значенням 9 000 грн. і середньоквадратичним відхиленням -1 500 грн. Якщо вибрано певну особу навмання, то яка ймовірність того, що її річний прибуток є більшим ніж 6000 грн.?

7.16. Середнє значення розподілу доходів працівників фірми становить 15 000 грн. і середньоквадратичне відхилення - 2 000 грн. Якщо працівника вибрано навмання, то яка ймовірність того, що він заробляє більше ніж 16 000 грн.? Менше ніж 12 000 грн.?

7.17. Припустимо, що протягом року ціна на ак­ції деякої компанії є випадкова величина, розподілена за нормальним законом з матема­тичним сподіванням 48 у. о., і середнім квадратичним відхиленням 6 у. о. Визначити ймовірність того, що у випадково вибраний день ціна за акцію була вища за 40 у. о.

7.18. Банк провів дослідження про наявність річних заощаджень в осіб, вік яких не менш ніж 21 рік. Дослідження показали, що річні заощадження на одну особу нормально розподіляються з математичним сподіванням 1850 грн. і середнім квадратичним відхиленням – 350 грн. Визначити ймовірність того, що навмання вибрана особа має заощадження у межах від 1080 до 2375 грн.

7.19. Статистичні дані доходу на душу населення показали, що річний прибуток людей міста має нормальний розподіл із середнім значенням 9 000 грн. і середньоквадратичним відхиленням -1 500 грн. Якщо вибрано певну особу навмання, то яка ймовірність того, що її річний прибуток є між 12 400 та 13 000 грн.?

7.20. Річний прибуток від копіювальних машин має нормальний розподіл, середнє значення якого 720 000 грн. і середньоквадратичне відхилення 80 000 грн. Якщо вибрано копіювальну машину навмання, то яка ймовірність того, що річний прибуток від неї перевищує 900 000 грн.?

7.21. Середня ціна деякої великої кількості акцій становить 12 грн. 80 коп., а середнє квадратичне відхилення – 3 грн. Припускаємо, що ціни розподілені за нормальним законом. Знайти нижче від якої ціни продаються 20 % найдешевших акцій?

7.22. Державна податкова адміністрація проаналізувала благодійні внески всіх осіб, що зробили їх зі своїх прибутків. Служба встановила, що внески на одного працівника нормально розподіляються із середнім значенням 840 грн. і середнім квадратичним відхиленням 180 грн. Якщо вибрати навмання одного працівника, то яка ймовірність того, що протягом року він вніс більше ніж 1 020 грн.?

7.23. Статистичні дані прибутку на душу населення показали, що річний прибуток людей міста має нормальний розподіл із середнім значенням 9 000 грн. і середньоквадратичним відхиленням -1 500 грн. Якщо вибрано певну особу навмання, то яка ймовірність того, що її річний прибуток є більшим ніж 10200 грн.?

7.24. За даними досліджень встановлено, що денна середня заробітна плата робітника заводу знаходиться в межах [64-70] грн. і розподілена нормально з параметрами а = 68 грн. і = 1,5 грн. Яка частка робітників матиме заробітну плату, що виходить за згадані межі?

7.25. Річний прибуток від копіювальних машин має нормальний розподіл, середнє значення якого 720 000 грн. і середньоквадратичне відхилення 80 000 грн. Якщо вибрано копіювальну машину навмання, то яка ймовірність того, що річний прибуток від неї від 540 000 до 660 000 грн.?

7.26. Середній прибуток на душу населення в розмірі 150 грн. вважається випадковою величиною, яка розподілена нормально із середнім квадратичним відхиленням 20 грн. В яких межах практично можна гарантувати прибуток на душу населення з ймовірністю 0,9973?

7.27. Банк провів дослідження про наявність річних заощаджень в осіб, вік яких не менше 21 року. Дослідження показали, що річні заощадження на одну особу нормально розподіляються з середнім числом 1 850 грн. і середнім квадратичним відхиленням – 350 грн. Визначити ймовірність того, що навмання вибрана особа має заощадження менше ніж 800 грн.

7.28. Державна податкова адміністрація проаналізувала благодійні внески всіх осіб, що зробили їх зі своїх прибутків. Служба встановила, що внески на одного працівника нормально розподіляються із середнім значенням 840 грн. і середнім квадратичним відхиленням 180 грн. Якщо вибрати навмання одного працівника, то яка ймовірність того, що протягом року він вніс більше ніж 300 грн.?

7.29. Припустимо, що протягом року ціна на ак­ції деякої компанії є випадкова величина, розподілена за нормальним законом з матема­тичним сподіванням 48 у. о., і середнім квадратичним відхиленням 6 у. о. Визначити ймовірність того, що у випадково вибраний день ціна за акцію була між 40 і 50 у.о. за акцію.

7.30. Один з методів, що дозволяють добитися ус­пішних економічних прогнозів, полягає в застосуванні погоджених підходів до вирішення конк­ретної проблеми. Зазвичай прогнозом займається велике число аналітиків. Середній результат та­ких індивідуальних прогнозів є загальним погодженим прогнозом. Цей прогноз відносно величини банківської відсоткової ставки в поточному році підкоряється нормальному закону з середнім значенням а =9% і середнім квадратичним відхиленням 2,6%. З групи аналітиків випадковим чином відбирається одна людина. Визначити ймовірність того, що згідно прогнозу цього аналітика рівень відсоткової ставки буде в межах від 12 до 15%.

 

 

Додаток 1

Таблиця значень функції

Х
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4   0,5 0,6 0,7 0,8 0,9   1,0 1,1 1,2 1,3 1,4   1,5 1,6 1,7 1,8 1,9   2,0 2,1 2,2 2,3 2,4   2,5 2,6 2,7 2,8 2,9   3,0 3,1 3,2 3,3 3,4   3,5 3,6 3,7 3,8 3,9	0,3989     0,2420     0,0540     0,0044						3857 3739

Додаток 2

 

Таблиця значень функції Лапласа

х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39	0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517	0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79	0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852	0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19	0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830	1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59	0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)	х	Ф (х)
1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84	0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4611 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671	1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18	0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854	2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68	0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963	2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00	0,4962 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997

 

 

Додаток 3

ТАБЛИЦЯ ВИБОРУ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ|задавань|