Формула повної ймовірності і формула Баєса

Нехай подія А може наступити за умови появи однієї з несумісних подій , , ,..., , які утворюють повну групу, відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності , , ,..., події А.

Теорема. Ймовірність події , яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій , , ,..., , які створюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А.

. (1.15)

Рівність (1.15) називається формулою повної ймовірності.

Приклад. Економіст вважає, що ймовірність зростання вартості акцій деякої компанії наступного року дорівнюватиме 0,75, якщо економіка країни буде на підйомі; і ця ж ймовірність дорівнюватиме 0,30, якщо економіка країни не буде успіш­но розвиватися. На його думку, ймовірність економічного підйому в новому році дорівнює 0,80. Використовуючи припущення економіста, оцініть ймовірність того, що акції компанії піднімуться в ціні наступного року.

Розв’язання. Визначимо події:

А = {Акції компанії зростуть в ціні у наступному році}.

Подія А може статися лише разом із од­нією з гіпотез:

= {Економіка країни буде на підйомі};

= {Економіка країни успішно не розвиватиметься}.

Відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності події А:

= 0,80; = 0,20.

= 0,75; = 0,30.

Гіпотези утворюють повну групу, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Розглянемо подію А — це або , або . Події та — несумісні попарно. Події і А, і А — залежні.

Вищевикладене дозволяє застосувати для визначення шуканої ймовірності події А форму­лу повної ймовірності

= 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,66.

 

Знову розглянемо події які утворюють повну групу подій і попарно несумісні. Ці події називатимемо гіпотезами. Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

. (1.16)

Замінивши за формулою (1.15), отримаємо

.

Приклад. Економіст вважає, що протягом періоду активного економічного зростання американ­ський долар зростатиме в ціні з ймовірністю 0,70, в період помірного економічного зростання він зросте з ймовірністю 0,40 і при низьких темпах економічного зростання долар подорожчає з ймовірністю 0,20. Протягом будь-якого періоду часу ймовірність активного економічного зростання — 0,30; помірного економічного зростання — 0,50 і низько­го зростання — 0,20. Передбачимо, що долар дорожчає протягом поточного періоду. Чому дорівнює ймовірність того, що аналізований період збігся з пері­одом активного економічного зростання?

Розв’язання. Визначимо події:

А = {Долар дорожчає}.

Вона може статися лише разом з однією із гіпотез:

= {Активне економічне зростання};

= {Помірне економічне зростання};

= {Низьке економічне зростання}.

Відомі апріорні ймовірності гіпотез і умовні ймовірності події А:

= 0,30, = 0,50, = 0,20, = 0,70, = 0,40, = 0,20.

Гіпотези утворюють повну групу, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Подія А — це або , або , або . Події , або та — несумісні попарно. Потрібно знайти уточнену (післядослідну, апостеріорну) ймовірність першої гіпотези, тобто необхідно знайти ймовірність активного економічного зростання, за умови, що долар дорожчає (подія А вже сталася), тобто

Використовуючи формулу Баєса (1.16) і підставляючи задані значення ймовірностей, маємо

 

Питання для самоконтролю

 

1. Дати поняття повної групи подій.

2. Записати формулу повної ймовірності.

3. Записати формулу Баєса. Для чого служить ця формула?

4. Коли застосовують формулу Баєса?

5. Чому події, що утворюють повну групу у формулі Баєса називають

гіпотезами?

Завдання 3

3.1. Ймовірність того, що клієнт банку не поверне позику в період економічного зростання, дорівнює 0,04, в період економічної кризи – 0,13. Передбачимо, що ймовірність того, що почнеться період економічного зростання, дорівнює 0,65. Чому дорівнює ймовірність того, що випадково вибраний клієнт банку не поверне отриманий кредит?

3.2. При злитті акціонерного капіталу двох фірм аналітики фірми, яка одержує контрольний пакет акцій, вважають, що операція принесе успіх з ймовірністю, що дорівнює 0,65, якщо голова наради директорів фірми, що поглинається, вийде у відставку; якщо він відмовиться, то ймовірність успіху дорівнює 0,3. Передбачається, що ймовірність відходу у відставку голови складає 0,7. Чому дорівнює ймовірність успіху операції?

3.3. Агент по нерухомості намагається продати ділянку землі під забудову. Він вважає, що ділянка буде продана протягом найближчих шести місяців з ймовірністю 0,9 (якщо економічна ситуація в регіоні не погіршуватиметься). Якщо ж економічна ситуація погіршуватиметься, то ймовірність продати ділянку зменшиться до 0,5. Економіст, що консультує агента, вважає, що з ймовірністю 0,7 економічна ситуація в регіоні протягом наступних шести місяців погіршуватиметься. Чому дорівнює ймовірність того, що ділянка буде продана протягом найближчих шести місяців?

3.4. У корпорації обговорюється маркетинг нового продукту, що випускається на ринок. Виконавчий директор корпорації бажав би, аби новий товар перевершував за своїми характеристиками відповідні товари конкуруючих фірм. Ґрунтуючись на попередніх оцінках експертів, він визначає ймовірність того, що новий товар має більш високу якість в порівнянні з аналогічними, як 0,5, такої ж якості — як 0,3, гірше за якістю — 0,2. Аналіз ринку показав, що новий товар конкурентоздатний. З попереднього досвіду проведення опитування виходить, що якщо товар дійсно конкурентоздатний, то передбачення такого ж висновку має ймовірність 0,7. Якщо товар такий же, як і аналогічні, то ймовірність того, що опитування вкаже на його перевагу, дорівнює 0,4. І якщо товар нижчої якості, то ймовірність того, що опитування вкаже на його конкурентоспроможність, дорів­нює 0,2. З врахуванням результату опитування оцініть ймовірність того, що товар дійсно вищої якості і, отже, володіє вищою конкурентоспроможністю, ніж аналогічні.

3.5. Ймовірність того, що новий товар матиме попит на ринку, якщо конкурент не випустить в продаж аналогічний продукт, дорівнює 0,67. Ймовірність того, що товар буде користуватися попитом за наявності на ринку товару, що конкурує, дорівнює 0,42. Ймовірність того, що конкуруюча фірма випустить аналогічний товар на ринок протягом періоду, що цікавить нас, дорівнює 0,35. Чому дорівнює ймовірність того, що товар матиме успіх?

3.6. Три організації представили в контрольне управління рахунки для вибіркової перевірки: перша – 10 рахунків, друга – 20, третя – 15. Ймовірність правильного оформлення рахунків для цих організацій відповідно дорівнює: 0,95; 0,8; 0,9. Яка ймовірність того, що вибраний рахунок правильний? Визначити ймовірність того, що цей рахунок належить третій організації.

3.7. Страхова компанія розділяє застрахованих за класами ризиків: I клас — малий ризик, II клас — середній, III клас — великий ризик. Серед цих клієнтів 50% — першого класу ризику, 30% — другого і 20% — третього. Ймовірність необхідності виплачувати страхову винагороду для першого класу ризику дорівнює 0,01, другого — 0,03, третього — 0,08. Яка ймовірність того, що: а) застрахований отримає грошову винагороду за період страхування; б) що отримав грошову винагороду застрахований, який відноситься до групи малого ризику?

3.8. Судноплавна компанія організовує середземноморські круїзи протягом літнього часу і проводить декілька круїзів за сезон. Оскільки в цьому виді бізнесу дуже висока конкуренція, то бажано, аби всі каюти корабля були повністю зайняті туристами, тоді компанія отримає прибуток. Експерт по туризму, найнятий компанією, передбачає, що ймовірність того, що корабель буде повний протягом сезону, дорівнює 0,92, якщо долар не подорожчає по відношенню до гривні, і з ймовірністю 0,75, якщо долар подорожчає. За оцінками економістів, ймовірність того, що протягом сезону долар подорожчає по відношенню до гривні, дорівнює 0,23. Чому дорівнює ймовірність того, що квитки на всі круїзи будуть продані?

3.9. Ймовірність того, що клієнт банку не поверне позику в період економічного зростання, дорівнює 0,1, в період економічної кризи – 0,25. Передбачимо, що ймовірність того, що почнеться період економічного зростання, дорівнює 0,7. Чому дорівнює ймовірність того, що випадково вибраний клієнт банку не поверне отриманий кредит?

3.10. При злитті акціонерного капіталу двох фірм аналітики фірми, яка одержує контрольний пакет акцій, вважають, що операція принесе успіх з ймовірністю 0,7, якщо голова наради директорів фірми, що поглинається, вийде у відставку; якщо він відмовиться, то ймовірність успіху дорівнює 0,4. Передбачається, що ймовірність відходу у відставку голови складає 0,8. Чому дорівнює ймовірність успіху операції?

3.11. Експортно-імпортна фірма збирається зак­лючити контракт на постачання сільськогосподарського устаткування в одну з країн, що розвиваються. Якщо основний конкурент фірми не стане одночасно претендувати на укладення контракту, то ймовірність здобуття контракту оцінюється в 0,45; інакше — в 0,25. За оцінками експертів компанії ймовірність того, що конку­рент висуне свої пропозиції по укладенню контракту, дорівнює 0,40. Чому дорівнює ймовірність укладення контракту?

3.12. Співробітники відділу маркетингу вважають, що найближчим часом очікується зростання попиту на продукцію фірми. Ймовірність цього вони оцінюють в 80%. Консультаційна фірма, що займається прогнозом ринкової ситуації, підтвердила передбачене зростання попиту. Позитивні прогно­зи консультаційної фірми збуваються з ймовірністю 95%, а негативні - з ймовірністю 99%. Яка ймовірність того, що зростання попиту дійсно відбудеться?

3.13. Транснаціональна компанія обговорює можливості інвестицій в деяку державу з нестійкою політичною ситуацією. Менедже­ри компанії вважають, що успіх передбачуваних інвестицій залежить, зокрема, і від політичного клімату в країні, в яку передбачається вливання інвестиційних коштів. Менеджери оцінюють ймовірність успіху (в термінах річного доходу від субсидій протягом 1-го року роботи) в 0,55, якщо переважаюча політична ситуація буде сприятливою; у 0,30, якщо політична си­туація буде нейтральною; у 0,10, якщо політична ситуація протягом року буде несприятливою. Менеджери компанії також вважають, що ймовірність сприятливої, нейтральної і несприятливої політичних ситуацій відповідно дорівнюють: 0,60, 0,20 і 0,20. Чому дорівнює ймовірність успіху інвестицій?

3.14. Перед тим, як почати маркетинг нового това­ру по всій країні, компанії-виробники часто перевіряють попит на нього за відгуками випадково виб­раних потенційних покупців. Методи про­ведення вибіркових процедур вже перевірені і мають певну міру надійності. Для окремого товару відомо, що ймовірність його можливого успіху на ринку складе 0,75, якщо товар дійсно вдалий, і 0,15, якщо він невдалий. З минулого досвіду відомо, що новий товар мо­же мати успіх на ринку з ймовірністю 0,60. Якщо новий товар пройшов вибіркову перевірку, і її ре­зультати вказали на можливий його успіх, то чому дорівнює ймовірність того, що це дійсно так?

3.15. Два економісти заповнюють документи, які складають у спільну папку. Ймовірність зробити помилку в документі для першого економіста 0,1, для другого - 0,2. Перший економіст заповнив 40 документів, другий - 60. Навмання узятий з папки документ виявився з помилкою. Визначити ймовірність, що його склав перший економіст.

3.16. Інвестор вклав капітал у цінні папери двох фінансових фірм. При цьому він сподівається отримати прибуток протягом певного часу від першої фірми з ймовірністю 0,9, а від другої – гарантовано. Проте вкладання грошей ризиковане і існує можливість банкрутства фірм незалежно один від одного, яка оцінюється для першої фірми ймовірністю 0,1; для другої – 0,04. У разі банкрутства фірми інвестор отримує тільки вкладений капітал. Яка ймовірність того, що інвестор отримає прибуток?

3.17. Агент з нерухомості намагається продати ділянку землі під забудову. Він вважає, що ділянка буде продана протягом найближчих шести місяців з ймовірністю 0,85, якщо економічна ситуація в регіоні не погіршуватиметься. Якщо ж економічна ситуація погіршуватиметься, то ймовірність продати ділянку зменшиться до 0,4. Економіст, що консультує агента, вважає, що з ймовірністю, яка дорівнює 0,6, економічна ситуація в регіоні протягом наступних шести місяців погіршуватиметься. Яка ймовірність того, що ділянка буде продана протягом найближчих шести місяців?

3.18. Курс гривні знижується на протязі певного часу з ймовірністю 0,63. Фірма розраховує отримати прибуток під час підвищення курсу гривні із ймовірністю 0,9; при пониженні – з ймовірністю 0,3. Яка ймовірність того, що фірма отримає прибуток?

3.19. Економіст-аналітик умовно підрозділяє економічну ситуацію в країні на «хорошу», «посередню» і «погану» та оцінює їх ймовірності для даного моменту часу в 0,15, 0,70 і 0,15 відповідно. Деякий індекс економічного стану зростає з ймовірністю 0,6, коли ситуація «хороша»; з ймовірністю 0,3, коли ситуація «посередня», і з ймовірністю 0,1, коли ситуація «погана». Нехай зараз індекс економічного стану змінився. Чому дорівнює ймовірність того, що економіка країни на підйомі?

3.20. Три організації представили в контрольне управління рахунки для вибіркової перевірки: перша – 20 рахунків, друга – 10, третя – 30. Ймовірність правильного оформлення рахунків для цих організацій відповідно дорівнює: 0,8; 0,9; 0,7. Визначити ймовірність того, що: а) вибра-ний рахунок правильний; б) що цей рахунок належить другій організації.

3.21. Ймовірність того, що клієнт банку не поверне позику в період економічного зростання, дорівнює 0,15, в період економічної кризи – 0,3. Передбачимо, що ймовірність того, що почнеться період економічного зростання, дорівнює 0,65. Випадково вибраний клієнт банку не повернув отриманий кредит. Що більш ймовірніше: це настане в момент економічного зростання чи економічної кризи?

3.22. У центральну бухгалтерію корпорації поступили пачки накладних для перевірки і обробки. 90 % пачок були визнані задовільними: вони містили лише 1 % неправильно заповнених накладних. Останні 10 % пачок були визнані незадовільними, оскільки містили 5 % невірно оформлених накладних. Узята навмання з пачки накладна виявилася оформленою невірно. Враховуючи це, яка ймовірність того, що вся пачка накладних буде визнана невідповідною стандарту?

3.23. Директор компанії має 2 списки з прізвищами претендентів на роботу. У 1-м списку — прізвища 6 жінок і 3 чоловіків. У 2-м списку опинилися 4 жінки і 7 чоловіків. Прізвище одного з претендентів випадково переноситься з 1-го списку в 2-й. Потім прізвище одного з претендентів випадково вибирається з 2-го списку. Якщо припустити, що це прізвище належить чоловікові, чому дорівнює ймовірність того, що з 1-го списку було пе­ренесено прізвище жінки?

3.24. Ймовірність того, що новий товар матиме попит на ринку, якщо конкурент не випустить в продаж аналогічний продукт, дорівнює 0,73. Ймовірність того, що товар буде користуватись попитом за наявності на ринку товару, що конкурує, дорівнює 0,52. Ймовірність того, що конкуруюча фірма випустить аналогічний товар на ринок протягом періоду, що цікавить нас, дорів­нює 0,4. Яка ймовірність того, що товар не матиме успіху?

3.25. Страхова компанія розділяє застрахованих за класами ризиків: I клас — малий ризик, II клас — середній, III клас — великий ризик. Серед цих клієнтів 55% — першого класу ризику, 35% — другого і 10% — третього. Ймовірність необхідності виплачувати страхову винагороду для першого класу ризику дорівнює 0,01, другого — 0,05, третього — 0,1. Яка ймовірність того, що: а) застрахований отримає грошову винагороду за період страхування; б) що отримав грошову винагороду застрахований, який відноситься до групи середнього ризику?

3.26. Два економісти заповнюють документи, які складають у спільну папку. Ймовірність зробити помилку в документі для першого економіста 0,15, для другого - 0,1. Перший економіст заповнив 35% документів, другий - 65%. Навмання узятий з папки документ виявився з помилкою. Визначити ймовірність того, що його склав другий економіст.

3.27. Інвестор вклав капітал в цінні папери двох фінансових фірм. При цьому він сподівається отримати прибуток протягом певного часу від першої фірми з ймовірністю 0,84, а від другої – 0,95. Проте вкладання грошей ризиковане і існує можливість банкрутства фірм незалежно один від одного, яка оцінюється для першої фірми ймовірністю 0,12; для другої – 0,05. В разі банкрутства фірми інвестор отримує тільки вкладений капітал. Яка ймовірність того, що інвестор отримає прибуток від другої фірми?

3.28. Економіст вважає, що ймовірність зростання вартості акцій деякої компанії наступного року дорівнюватиме 0,65, якщо економіка країни буде на підйомі; і ця ж ймовірність дорівнюватиме 0,45, якщо економіка країни не буде успіш­но розвиватися. На його думку, ймовірність економічного підйому в новому році дорівнює 0,7. Використовуючи припущення економіста, оцініть ймовірність того, що акції компанії піднімуться в ціні наступного року коли економіка країни буде на підйомі.

3.29. Фірма збирається зак­лючити контракт про постачання своєї продукції в інші країни. Якщо основний конкурент фірми не стане одночасно претендувати на укладення контракту, то ймовірність здобуття контракту оцінюється в 0,5; інакше — в 0,3. За оцінками експертів компанії ймовірність того, що конку­рент висуне свої пропозиції по укладенню контракту дорівнює 0,4. Чому дорівнює ймовірність укладення контракту?

3.30. Ймовірність того, що клієнт банку поверне позику в період економічного зростання, дорівнює 0,93, в період економічної кризи – 0,79. Ймовірність того, що почнеться період економічної кризи, дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що випадково вибраний клієнт банку не поверне отриманий кредит?