Функція розподілу ймовірності.

Нехай існує сукупність дуже великої кількості N однакових молекул (наприклад, газ), що знаходиться в рівноважному стані. Припустимо, що деяка величина х, що характеризує молекулу (наприклад, обертальна чи коливальна енергія молекули), може приймати ряд дискретних значень:

, , …, , …

Якби удалося виміряти одночасне значення величини у всіх молекул, то виявилося б, що у молекул величина має значення , у молекул – , …, у молекул – значення і т.д.

Величина

(20.1)

називається імовірністю того, що величина має значення . Таке визначення імовірності придатне лише у випадку дуже великих N.

Зрозуміло, що . Тому

. (20.2)

Таким чином, сума імовірностей усіх можливих значень величини х дорівнює одиниці.

Припустимо, що молекули характеризуються значеннями двох величин (наприклад, коливальної й обертальної енергій), кожна з який може приймати дискретні значення x_i i y_k. Відповідно до визначення (1.1) імовірності цих значень рівні

, . (20.3)

Якщо значення однієї з величин не залежить від того, яке значення має інша, то величини x i y називаються статистично незалежними.

Знайдемо ймовірність того, що статистично незалежні величини мають одночасно значення i . З (20.3) випливає, що значення x_i мають молекул. Внаслідок статистичної незалежності у цих молекул значення будуть розподілені у тій самій пропорції, що і у всіх молекул. Тому з числа значення будуть мати молекул. Поділимо це число на , знайдемо ймовірність, яку шукаємо

. (20.4)

Ми прийшли до теореми про добуток ймовірностей, відповідно до якої імовірність одночасної появи статистично незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій. (У розглянутому вище випадку подією є те, що величина має дане значення.)

Якщо ймовірність значення x_i величини рівна , то відповідно до формули (20.1) у молекул має значення . Сума значень величини у цих молекул буде рівна , а сума значень у всіх молекул визначається виразом

.

Поділимо цю суму на , знайдемо середнє (за молекулами) значення величини х:

. (20.5)

Отримана нами формула дозволяє, якщо ми знаємо ймовірності різних значень величини х, знайти середнє значення цієї величини.

Тепер розглянемо випадок, коли величина х, що характеризує молекулу, може приймати неперервний ряд значень від до (наприклад, i можуть бути рівними і ). Прикладами таких величин можуть служити модуль поступальної швидкості чи кінетична енергія молекули. У цьому випадку число можливих значень х нескінченно велико, а кількість молекул хоча і дуже велика, але скінчена. Тому питання про те, яка кількість молекул має точно задане значення величини х, не має змісту - ця кількість дорівнює нулю.

У розглянутому випадку правомірним є питання про те, яка імовірність того, що величина має значення, укладені в межах малого інтервалу , розташованого в околиці значення, рівного (дане значення х повинне належати інтервалу ). При малому ця ймовірність буде пропорційною . Крім того, вона залежить від того, у якому місці осі х розташований інтервал , тобто є функцією . Таким чином,

(20.6)

(індекс при указує значення , в околі якого знаходиться ). Функція називається функцією розподілу імовірності або густиною ймовірності.

Помноживши на повну кількість молекул , отримаємо кількість молекул , які мають значення , що розташовані у межах даного інтервалу :

. (20.7)

Інтеграл від , узятий по всьому інтервалу можливих значень (тобто "сума" ), повинен дорівнювати повній кількості молекул :

.

Наслідком цього є співвідношення

. (20.8)

Формула (20.8) є аналогом формули (20.2). З умови (20.8) ми бачимо, що площа, обмежена графіком функції , рівна одиниці.

Вираз дає суму значень , котрими володіють молекул, а "сума" таких виразів, тобто

(20.9)

дає суму значень усіх молекул. Поділивши цю суму на , отримаємо середнє (за молекулами) значення величини :

. (20.10)

Ця формула є аналогом формули (20.5).

Якщо підставити в формулу (20.9) замість деяку функцію цієї величини , прийдемо до формули

. (20.11)

Згідно цієї формулі можна підрахувати, наприклад, середнє значення :

. (20.12)

Розподіл Максвелла.

Теплова швидкість молекул газу – це деяка усереднена характеристика теплового руху частинок. У дійсності різні молекули рухаються з різними швидкостями і можна поставити питання про розподіл молекул за швидкостями: скільки (у середньому) з наявних у газі молекул має ті чи інші швидкості?

Стан газу будемо вважати рівноважним. Для наочного уявлення швидкостей молекул газу скористаємося наступним прийомом. Введемо уявний простір швидкостей ( - простір), у якому будемо відкладати уздовж прямокутних координатних вісей значення компонент швидкостей , , окремих молекул (рис. 1). Тоді кожній молекулі буде відповідати в просторі швидкостей точка. Щоб відрізнити цю точку від довільної точки -простору, умовимося називати точку, що зображує швидкість молекули, м -точкою, а довільну точку -простору – геометричною точкою.

Оскільки газ знаходиться в рівновазі, усі напрямки руху молекул рівноправні, унаслідок чого розташування м -точок відносно початку координат виявляється сферично-симетричним. Тому густина м -точок (їхня кількість в одиниці об'єму -простору) є функцією відстані від початку координат, тобто функцією модуля швидкості .

Якщо збільшити кількість молекул газу в деяку кількість разів, то в стільки ж разів зросте усюди густина м -точок. Отже, густина м-точок пропорційна . Відповідно до цього представимо густину м-точок у виді

(20.3)

Знаючи вид функції , можна вирішити ряд задач. Наприклад, знайти кількість молекул , компоненти швидкості яких укладені в межах інтервалів , , , що лежать в околиці геометричної точки з координатами , , . Для цього потрібно густину м -точок у даній геометричній точці помножити на об'єм прямокутного паралелепіпеда зі сторонами , , (рисунок 20.1). Таким чином,

. (20.14)

На рисунку 20.1 зображена штриховою лінією кульовий шар радіуса і товщини . Молекули, м -точки яких знаходяться в цьому кульовому шарі, мають швидкості, модулі яких лежать в інтервалі від до . Щоб знайти число таких молекул, потрібно помножити густину м -точок, що відповідає даному значенню , на об’єм шарового шару, рівний :

. (20.15)

Поділивши цей вираз на кількість молекул , знайдемо ймовірність того, що модуль швидкості молекули в межах від до :

. (20.16)

Згідно формули (20.6) вираз є функцією розподілу ймовірності значень .

Функцію отримав теоретично Д.К.Максвелл. Вона має вигляд

, (20.17)

де – маса молекули, – стала Больцмана, – абсолютна температура. Коефіцієнт пропорційності визначається з умови

, (20.18)

яка називається умовою нормування функції (див. формулу (20.8)). З приводу верхньої межі інтегрування треба зробити наступне роз'яснення. Значення модуля швидкості молекул газу не може перевищити деяке хоча і дуже велике, але кінцеве значення. Однак через експонентний множник функція зменшується настільки швидко, що при досить великих значеннях вона практично не відрізняється від нуля. Тому розширення верхньої межі інтегрування до нескінченності не вносить відчутної помилки.

Відповідний розрахунок дає для коефіцієнта пропорційності значення . Напишемо з урахуванням цього остаточний вираз для функції розподілу молекул газу за швидкостями:

. (20.19)

Ця функція називається функцією розподілу Максвелла.

Відзначимо, що під знаком експоненти у формулі (20.19) знаходиться відношення кінетичної енергії молекули (що відповідає даному значенню швидкості ) до величини , що характеризує середнє (за молекулами) значення цієї енергії.

Графік функції (20.19) наведений на рис. 2. Найбільш ймовірною буде, мабуть, швидкість, що відповідає максимуму функції . Її значення можна знайти, якщо прирівняти до нуля похідну . Опустивши у виразі (20.19) множники, що не залежать від , отримаємо для знаходження співвідношення

.

Провівши диференціювання, прийдемо до рівняння

.

Перший множник (експонент) перетворюєть­ся в нуль при , а третій множник () при . Однак з графіка бачимо, що значення і відповідають мінімумам функції . Отже, значення , що відповідає максимуму, отримується з рівності нулю другої дужки: .

Звідки

. (20.20)

Відповідно до формул (20.10) і (20.12) середнє (за молекулами) значення модуля швидкості і середнє значення квадрата визначається виразами

,

. (20.21)

Таким чином, середня швидкість молекул (її також називають середньою арифметичною швидкістю) має значення

. (20.22)

Корінь квадратний з виразу (20.21) дає середню квадратичну швидкість молекул:

. (20.23)

Помноживши чисельник і знаменник підкореневих виразів в (20.20), (20.22) і (20.23) на сталу Авогадро і пам’ятаючи, що рівно газовій сталій , а – молярній масі газу , прийдемо до результатів

, , . (20.24)

Знайдемо середню швидкість молекул азоту () при кімнатній температурі (293К):

.

Для кисню отримується при тій самій температурі , а для водню . Таким чином, молекули повітря за секунду проходять шлях, що дорівнює майже .

Якщо існує суміш газів, яка знаходиться у рівновазі, то в межах кожного сорту молекул має місце розподіл Максвелла зі своїм значенням . Відповідно більш важкі молекули рухаються з меншою середньою швидкістю, чим більш легкі.

Відповідно до формули (20.7) кількість молекул, швидкості яких укладені в межах від до , рівна

(20.25)

( – повна кількість молекул). Цю формулу можна значно спростити, якщо перейти до відносної швидкості

, (20.26)

тобто покласти . Тоді замість треба підкласти у (20.25) , а замість – вираз . В результаті отримаємо формулу

, (20.27)

де – кількість молекул, відносні швидкості яких укладені в межах від до . Функція є функція розподілу ймовірності значень , котра має вигляд

. (20.28)

Цей вираз являє собою функцію розподілу Максвелла, записану в змінній .

Проінтегрувавши вираз (20.27) в межах від до , отримаємо кількість молекул , відносні швидкості котрих знаходяться в цих межах:

. (20.29)

В таблиці 1 наведені відносні кількості молекул , розраховані згідно формули (20.29) для різних інтервалів швидкостей. З таблиці випливає, що у 70,7% молекул швидкість відрізняється від найбільш ймовірної не більше ніж на 50%. Швидкостями, що перевищують найбільш ймовірну більш ніж у три рази, володіють лише 0,04% молекул, а швидкості, що перевищують найбільш ймовірну більш ніж у п'ять разів, спостерігається в однієї з 12 мільярдів молекул. Ці дані підтверджують висловлене раніше твердження про те, що швидкості молекул в основному групуються поблизу найбільш ймовірного (з тим же правом можна сказати - поблизу середнього) значення.

Згідно формулам (20.24)

(20.30)

(див. рисунок 20.2). Таким чином, середня і середня квадратична швидкості більше від найбільш ймовірної швидкості на 13 і 22% відповідно. З (20.26) і (20.30) витікає, що , , .

Таблиця 20.1 – Відносна доля молекул, що мають різну відносну швидкість

	, %		, %
0 – 0,5	8,1	2 – 3	4,6
0,5 – 1,5	70,7	> 3	0,04
1,5 – 2	16,6	> 5	8∙10^-9

На рисунку 20.3 приведені графіки розподілу Максвелла для двох значень температури. Графіки можна трактувати або як відповідні різним значенням температури, або як відповідні різним значенням маси молекул. Площа, обмежена графіком, в обох випадках рівна одиниці.

 

Таблиця 20.2 – Значення температури

Варіант
Т1, К
Т2, К