Рівняння адіабати ідеального газу

У ході будь-якого оборотного процесу газ підкоряється своєму рівнянню стану. Для ідеального газу це рівняння має вид

(21.16)

Бувають процеси, у ході яких газ, крім рівняння стану, підкоряється деякій додатковій умові, що визначає характер процесу. Додаткова умова може полягати, наприклад, у тому, що один з параметрів стану залишається постійним.

Якщо постійний тиск газу, процес називають ізобаричним. У цьому випадку додаткова умова має вид . Якщо залишається незмінним об’єм газу (), процес називається ізохоричним. Нарешті, якщо в ході процесу залишається незмінною температура (), процес називається ізотермічним. З рівняння (21.16) випливає, що у випадку ідеального газу при ізотермічному процесі тиск і об’єм пов'язані співвідношенням

, (21.17)

що називається рівнянням ізотерми ідеального газу, а крива, обумовлена цим рівнянням, називається ізотермою.

Процес, що протікає без теплообміну із зовнішнім середовищем, називається адіабатичним. Запишемо рівняння першого закону термодинаміки, і підставимо в нього вираз для енергії (21.7) і роботу у виді :

. (21.18)

При відсутності теплообміну із зовнішнім середовищем . Тому для адіабатичного процесу рівняння (21.18) спрощується:

(21.19)

Візьмемо диференціал від обох сторін рівняння (21.16), отримаємо

. (21.20)

Помножимо рівняння (21.19) на відношення і додамо його до (21.20), результатом буде

, (21.21)

де (див. формулу 21.15). Поділимо (21.21) на добуток :

. (21.22)

Ліву частину цього рівняння можна уявити у вигляді , звідки

(21.23)

Ми отримали рівняння адіабати ідеального газу в змінним і . Його називають рівнянням Пуассона.

Запишемо рівняння (21.23) у вигляді і замінимо у відповідності до (21.16) на , прийдемо до рівняння адіабати ідеального газу в змінних і :

(21.24)

(сталі , і ми включили у константу, відповідно, сталі у формулах (21.23) і (21.24) мають різні значення).

З рівняння (21.24) випливає, що при адіабатичному розширенні ідеальний газ охолоджується, а при стиску нагрівається.

Обчислимо похідну для ізотерми та адіабати в одній і тій же точці (, ). Продиференціюємо рівняння ізотерми (21.17), отримаємо, що , звідки

(для ізотерми).

Диференціювання рівняння адіабати (21.23) дає, що , звідки

(для адіабати).

Таким чином, тангенс кута нахилу дотичної у адіабати в разів більше, ніж у ізотерми – адіабата йде крутіше, ніж ізотерма (рисунок 21.1).

Послідовність виконання роботи

1. Ознайомтесь із робочою установкою (на рисунку 21.2 наведено інтерфейс програми).

2. Встановіть початкове значення температури газу, згідно вашого варіанту з таблиці 21.1. Для цього натискайте стрілочки «вгору»-«вниз» біля поля температури збільшуючи і зменшуючи значення температури відповідно, або введіть число в поле, і підтвердіть вибір натисканням кнопки «Enter» Після цього крива теоретичної адіабати зміститься таким чином, щоб проходити через обрану точку. Початкове значення об’єму , відповідне початкове значення тиску буде пораховане і виведене на монітор.

3. Натисніть мишею кнопку «Старт» на екрані і спостерігайте за переміщенням поршня на лівій картинці моделі і переміщення точки через графік теоретичної адіабати. Спробуйте зупиняти процес натисканням клавіші «Стоп». Наступний запуск процесу здійснюється повторним натисканням кнопки «Старт».

4. Після автоматичної зупинки процесу запустіть його знову і періодично зупиняйте його, записуючи при цьому значення об’єму, темпера­ту­ри і тиску в таблицю 21.2 (маєте отримати 10-12 значень).

5. Встановіть нове значення температури , узявши його з таблиці 1, і повторіть виміри п.3, записуючи результати в таблицю 21.3.

 

Таблиця 21.1 – Початкові значення температури

Варіант
Т1
Т2

Таблиці 21.2,3 – Результати вимірювань

Т [К]
V [дм^3]
p [кПа]
ln(V [дм^3])
ln(p [кПа])

Обробка результатів

1. Побудуйте на одному рисунку графіки залежностей тиску від об’єму для обох адіабат (вказавши на них початкові температури).

2. Візьміть натуральні логарифми від експериментальних значень об’єму і тиску і заповніть відповідні графи таблиць 21.2,3.

3. Побудуйте на одному (іншому) рисунку графіки залежностей логарифма тиску від логарифма об’єму для обох адіабат (вказавши на них початкові температури).

4. Для кожної адіабати визначите за графіком експериментальне значення показника адіабати, використовуючи формулу .

5. Визначите кількість ступенів вільності молекули газу, досліджуваного в даній комп'ютерній моделі, використовуючи формулу (21.15).

6. Знайдіть ціну поділки на графіку для зміни внутрішньої енергії одного моля досліджуваного газу, що розташований в нижній лівій частині стенду. Для цього підрахуйте згідно формули (21.13) питому теплоємність при сталому об’ємі газу і внутрішню енергію газу згідно (21.6) для двох різних точок однієї адіабати.

7. Повторіть п.6 для іншої адіабати. Порівняйте отриманні результати.

Контрольні запитання

1. Які ви знаєте параметри стану?

2. Сформулюйте перший закон термодинаміки.

3. Що таке «перпетуум мобіле» І роду, ІІ роду?

4. Якому рівнянню підкоряється стан ідеального газу? Напишіть його.

5. Дайте визначення теплоємності тіла.

6. Дайте визначення питомої теплоємності ідеального газу.

7. Напишіть формулу для теплоємності при сталому об’ємі.

8. Напишіть формулу для теплоємності ідеального газу при сталому тиску.

9. Що таке кількість ступенів вільності? Чому вона дорівнює для одноатомної молекули?

10. Що таке показник адіабати?

11. Напишіть формулу зв'язку показника адіабати з кількістю ступенів вільності молекули ідеального газу.

12. Дайте визначення адіабатичного процесу.

13. Напишіть рівняння адіабатичного процесу.

14. Дайте визначення ізопроцеса. Вкажіть відомі ізопроцеси.

15. Напишіть рівняння і намалюйте PV-діаграму ізотермічного процесу.

16. Напишіть рівняння і намалюйте PV-діаграму ізобаричного процесу.

17. Напишіть рівняння і намалюйте PV-діаграму ізохоричного процесу.

18. Поясніть звідки отримана формула для розрахунку показника адіабати у п.4.