Завдання 1. Ознайомлення із можливостями моделі

1. Змінюючи за допомогою “мишки” значення періоду кристалічної ґратки, спостерігати за зміною форми кривої розподілу кількості електронів, за положенням дифракційних максимумів та їх інтенсивністю.

2. Змінюючи за допомогою “мишки” значення швидкості електронів, що відповідає зміні значення прискорюючої напруги, проаналізувати зміну форми кривої розподілу кількості електронів, зміну положення дифракційних максимумів та їх інтенсивності.

3. За допомогою дебройлівської довжини хвилі, взятої з інтерфейсу, та формули (84.8) визначити гіпотетичне значення прискорюючої різниці потенціалів для електронного пучка.

Завдання 2. Визначення періоду кристалічної ґратки

1. Встановити на інтерфейсі значення періоду кристалічної ґратки та швидкості електронів згідно Вашого варіанту із наведеної таблиці варіантів.

Варіант
d, 10^-10 м	1.00	1.05	1.10	1.15	1.20	1.25	1.30	1.35	1.40	1.45	1.45
υ, 10^7 м/с	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	2.0	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5

2. Виміряти (в наведених на екрані одиницях) відстані х_п для кількох (3-5) дифракційних максимумів.

3. За допомогою формули (84.8) визначити значення періодів ґратки та знайти їх середнє значення.

4. Змінити значення швидкості (в два рази) і повторити п.п.1,2,3.

5. Порівняти отримані значення періоду із наведеними на екрані.

Завдання 3. Визначення маси електрона

1. Для визначеного значення періоду кристалічної ґратки дослідити залежність х_п(υ) для фіксованого значення п. Для цього на інтерфейсі встановити відповідне значення періоду кристалічної ґратки і, змінюючи значення швидкості електронів, провести виміри положення першого дифракційного максимуму. Дані занести в таблицю.

2. Користуючись отриманими даними, побудувати графік залежності х_п(υ) в координатах х_п(1/υ). Тоді ця залежність матиме вигляд:

. (84.9)

3. Із графіка знайти коефіцієнт нахилу залежності х_п(1/υ):

. (84.10)

4. Користуючись отриманим експериментально значенням k та формулою (84.9), визначити масу електронів за допомогою формули:

. (84.11)

5. Знайти похибки і порівняти отримане значення маси електрона із табличним.

Контрольні запитання:

1. Які види випромінювання використовуються для дослідження кристалічної структури?

2. Сформулюйте закон Брегга.

3. В чому суть методу Лауе?

4. Охарактеризуйте метод обертання кристалу.

5. Опишіть суть методу порошку.

6. Коли для структурних досліджень методом дифракції застосовують електрони, а коли нейтрони?

Література

1. Курик М.В., Цмось В.М. Фізика твердого тіла. Нав.посібник – К.: Вища школа, 1985, - 246 с. (Розділ 10).

2. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Наука, 1978. – 791 с. (Глави 2,3).

3. Лучицький Р.М., Галущак М.О. Фізика твердого тіла.Навч. пос.– Івано-Франківськ: Факел, 2008, – 250с.

Додаткова література

4. Болеста І.М. Фізика твердого тіла. Навч. пос. – Львів: Видавн. центр ЛНУ імені Івана Франка.2003. – 480с.

5. Бушманов Б.Н., Хромов Ю.А. Фізика твердого тела: Уч. Пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1971. – 224 с.

6. Блейкмор Дж. Физика твердого тела / Пер. с англ. Под ред. Д.Т. Андрианова. – М.: Мир, 1988. – 608 с.

7. Епифанов Г.И. Физика твердого тела: Уч. Пособие. – Высшая школа, 1977. – 288 с.

 

В-85 Моделювання на ЕОМ проходження нейтронів через речовину

Мета: визначити ймовірність проходження, поглинання і відбивання нейтрона, що проходить через пластинку, моделюванням процесу за методом Монте-Карло.

Прилади і матеріали: програма комп’ютерної лабораторної роботи “Проходження нейтронів через пластинку”.

 

Теоретичні відомості

Дж. Чедвік у 1932р. здійснив опромінення ізотопів Ве

- частинками. В результаті цієї ядерної реакції утворюються частинки з масою 1,674926 10^-27 кг, яка близька до маси протона. Ці частинки назвали нейтронами. У вільному стані нейтрон нестабільний – середній час існування становить 12,5 хв. Подібність нейтрона за цілим рядом ознак до протона дає підставу вважати, що вони є двома квантовими станами (ізоспіновим дублетом) однієї частинки, яка називається нуклоном і є складовою частиною атомного ядра. Оскільки нейтрони, на відміну від позитивно заряджених протонів, є електронейтральними, то при бомбордуванні ними атомних ядер не існує потенціального бар’єру. Тому після відкриття нейтронів їх почали широко використовувати для проведення ядерних реакцій. Такі ядерні реакції з участю нейтронів мають велике практичне застосування. Ряд наймасивніших ядер ( U, U, Pu) стають нестабільними при захопленні ними нейтронів і зазнають поділу з виділенням великої кількості енергії. Такі ядерні реакції лежать в основі роботи ядерних реакторів на повільних нейтронах, які функціонують на АЕС.

При захопленні ядром нейтрона з утворенням збудженого проміжного ядра швидкість вторинного нейтрона, який вилетів, значно менша, ніж швидкість захопленого первинного нейтрона. Оскільки первинні і вторинні нейтрони не можна розрізняти, таке явище сприймається як дещо вповільнене розсіяння нейтрона з втратою частини його енергії. Такий процес має назву непружного (резонансного) розсіяння частинок.

У деяких випадках розпад проміжного збудженого ядра з випусканням ним вторинного нейтрона може затриматись настільки, що починає переважати конкуруючий процес – розпад ядер з випромінюванням γ-квантів під дією більш слабких електромагнітних сил. Після випускання γ-кванта збуджене ядро переходить в основний енергетичний стан. Такий процес взаємодії нейтрона з ядром називають радіаційним захопленням, який використовуються як для керування роботою реакторів за допомогою кадмієвих регулювальних стрижнів, так і для отримання в реакторах різних радіоактивних ізотопів.

Із збільшенням енергії нейтронів збільшується спочатку ймовірність непружного розсіяння (n,n), а при енергіях в кілька МеВ мають місце реакції (n,p),(n, ). Такі реакції, як і реакції радіаційного захоплення, обумовлюють утворення β-активних ядер. На відміну від приведених ядер, які зазнають поділу під дією повільних нейтронів, ядра U, Th зазнають поділу тільки під дією швидких нейтронів, енергія яких досягає кілька МеВ. На таких реакціях ґрунтується робота реакторів на швидких нейтронах. При енергії нейтронів (10 20) МеВ можливі реакції (n,2n), а при енергіях (20 40) МеВ – і реакції (n,3n). У випадку захоплення ядрами азоту нейтронів,які є в космічному випромінюванні, в атмосфері відбувається утворення радіоактивних ізотопів вуглецю С. Нейтронні потоки широко застосовуються при каротажу нафтових свердловин, оскільки використовується залежність прониклої здатності нейтронів від роду матеріалів земної породи.

Слід мати на увазі, що при взаємодії нейтронів з речовиною завжди виконуються фундаментальні закони природи – збереження енергії та імпульсу.

Задачу про проходження нейтронів через пластинку можна розв’язати, використовуючи метод Монте-Карло - чисельний метод розв’язування математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин. Сама назва методу походить від назви міста Монте-Карло, відомого своїми гральними закладами, бо саме рулетка є найпростішим пристроєм для одержання випадкових величин.

Щоб зрозуміти ідею методу Монте-Карло, достатньо розглянути приклад. Треба визначити площу довільної плоскої фігури, що розміщена всередині квадрата зі стороною рівною 1. Якщо вибрати всередині квадрата N випадково розміщених точок і підрахувати число точок N', які попали всередину описаної фігури, то площа фігури S буде рівна N'/N. Точність такого результату буде тим більша, чим більше число точок N буде взято.

Методом Монте-Карло можна моделювати будь-який процес, на хід якого впливають випадкові факти. В деяких випадках зручно відмовитись від аналізу дійсного випадкового процесу і замість цього використати його модель. Саме так ми і зробимо, розглядаючи задачу про проходження потоку нейтронів через однорідну пластинку. Фізичні закони взаємодії окремої елементарної частинки з речовиною відомі. Треба знайти макроскопічні характеристики процесів, в яких бере участь велика кількість таких частинок.

Нехай на нескінченну пластинку товщиною h падав нормально до неї потік нейтронів з енергією E₀. Внаслідок зіткнення з ядрами атомів речовини, з якої складається пластинка, нейтрони можуть пружно розсіюватись чи поглинатись. Насправді взаємодія нейтронів із ядрами може приводити до різних результатів - пружного розсіювання, не пружного розсіювання, захоплення нейтрона ядром і поділ ядра на осколки. Однак для простоти ми будемо вважати, що відбуваються два – перший і третій із вказаних процесів і, більш того, припустимо, що енергія нейтрона при розсіюванні на ядрі не змінюється і будь-який напрямок поширення нейтрона від атома однаково ймовірний. Наше завдання - обчислити ймовірність проходження нейтрона скрізь пластинку РР, ймовірність поглинання нейтрона в пластинці РS і ймовірність його відбиття пластинкою РO.

Дамо означення випадкової величини і ймовірності. Нехай ми проводимо послідовно q вимірювань над системою, причому щоразу вимірюємо одну і ту фізичну величину А. Позначимо через n(а_i) кількість вимірювань, для яких вимірювана величина А має значення а_i. Тоді ймовірність Р(а_i) знаходження системи в стані, коли величина А має значення а_i, дорівнює:

. (85.9)

Звідси видно, що

. (85.10)

Рівність (85.10) показує, що сумарна ймовірність того, що вимірювана величина має будь-яке із своїх можливих значень, дорівнює 1.

Термін випадкова величина використовують тоді, коли хочуть підкреслити, що невідомо яким виявиться конкретне значення цієї фізичної величини при одноразовому вимірюванні. Однак нам може бути відомо, які значення вона може приймати і які ймовірності їх реалізації. Тому, щоб задати випадкову величину треба вказати, які значення вона може приймати і які їх ймовірності.

Наведені поняття ймовірності і випадкової величини дають змогу означити середнє значення або математичне сподівання будь-якої фізичної величини А:

. (85.11)

Це стосується випадкової величини, що приймає дискретні значення. Для неперервної випадкової величини, яка задається інтервалом можливих значень і густиною ймовірності р(х), що має бути більша за 0, формули (85.10) і (85.11) мають вигляд:

(85.12)

(85.13)

Легко встановити зміст густини ймовірності р(х). Очевидно, що

рівна ймовірності того, що величина х має значення з інтервалу (а`, b`).

В нашій задачі взаємодія нейтронів із речовиною характеризується двома сталими і , які називаються перерізом поглинання і перерізом розсіяння. Сума називається повним перерізом. Фізичний зміст перерізів такий: внаслідок зіткнення нейтрона із атомом речовини ймовірність поглинання дорівнює , а ймовірність розсіяння дорівнює .

Між двома послідовними зіткненнями з ядрами атомів речовини пластинки нейтрон проходить деякий шлях, який називається довжиною вільного пробігу і позначається . Довжина вільного пробігу - це випадкова величина, яка може приймати будь-яке додатне значення. Густина ймовірності для задається формулою:

.

Умова нормування (85.12) виконується, бо

. (85.14)

З формули (85.14) можна знайти вираз для середнього значення:

(85.15)

Тепер слід вибрати певний спосіб моделювання випадкової величини . В методі Монте-Карло значення будь-якої випадкової величини можна отримати шляхом перетворень значення будь-якої іншої (стандартної) випадкової величини. Такою стандартною величиною може бути випадкова величина , рівномірно розподілена в інтервалі (0,1). Процес знаходження значення якоїсь випадкової величини х шляхом перетворень одного чи декількох значень називається розіграванням випадкової величини х, розподіленої в (а,b) з густиною р(х). Тоді можна виходити із рівняння

або . (85.16)

Вибравши значення , слід розв'язати рівняння (85.16) і знайти чергове значення величини х. Для даного випадку згідно (85.14), враховуючи, що , маємо

,

а друге рівняння (85.16) дає формулу для розігрування

. (85.17)

Тепер залишається вибрати випадковий напрям руху нейтрона після розсіювання. Оскільки в моделі, що розглядається, є симетрія відносно осі х, то цей напрям повністю визначається одним кутом між напрямом швидкості нейтрона і віссю х.

Вимога однакової ймовірності будь-якого напряму в цьому випадку рівносильна вимозі, щоб величина була рівномірно розподілена в інтервалі (-1, 1), оскільки . Іншими словами р(х) = С. З виразу (85.12) знаходимо С=1/(b-а), і тоді перше із рівнянь (85.16) набуває вигляду:

(85.18)

Оскільки а = -1, b = 1, то формула набуде вигляду: .

Складемо схему розрахунку ймовірностей РР, РS, РО шляхом моделювання дійсних траєкторій.

Припустимо, що нейтрон зазнав k розсіяння всередині пластинки в точці з абсцисою х_k і після цього рухається в напрямі . Визначимо довжину вільного пробігу нейтрона, вибравши значення :

і обчислимо абсцису наступного зіткнення нейтрона з ядром

(85.19)

Якщо виявиться, що х_i>h, то нейтрон покинув пластинку, рахунок траєкторій нейтрона закінчується і додається одиниця до лічильника частинок, які пройшли через пластинку. В іншому випадку перевіряємо умову виходу нейтрона із пластинки назад: х_k+1<0. Якщо ця умова виконується, то рахунок траєкторій закінчується і додається 1 до лічильника частинок, що відбились. Якщо і ця умова не виконується, тобто 0<х_k+1<b, то нейтрон зазнає ще одного, k+1 зіткнення всередині пластинки і слід визначити "долю " нейтрона при цьому (k+1) зіткненні.

Вибираємо чергове значення і перевіряємо умову поглинання

. (85.20)

Якщо ця нерівність виконана, то підрахунок траєкторій закінчується і до лічильника поглинутих частинок додається 1. В іншому випадку приймаємо, що нейтрон розсіявся в точці з абсцисою х_k+1. Виберемо новий напрямок швидкості нейтрона. У відповідності з (85.18) маємо: і повторюємо весь цикл заново, але вже з іншими значеннями . Для розрахунку одної ланки траєкторій потрібно три значення . При роботі на ЕОМ використовуються стандартні програми для генерації випадкових чисел.

Кожна траєкторія нейтрона характеризується початковими значеннями Х_o=0 і . Після того, як будуть підраховані N траєкторій, виявиться, що N_p нейтронів пройшли крізь пластинку, N_s нейтронів були поглинуті, N_o – нейтронів – відбиті. Шукані ймовірності обчислюються за формулами:

(85.21)

 

Інтерфейс програми “Дослід Резерфорда”