Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях.

Нехай число настання події в незалежних випробуваннях, в кожному з яких подія може відбутися з ймовірністю , ‑ відносна частота події . Ймовірність того, що при проведенні незалежних повторних випробувань відхилення відносної частоти події від її ймовірності за модулем не перевищує визначається за формулою

.

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

 

Задача 1. Ймовірність того, що в один день регіональне представництво Укравтодору в Полтавській області вкладеться в норму витрат на транспорт, дорівнює . Яка ймовірність того, що лише в три дні робочого тижня регіональне представництво укладеться в норму витрат?

Розв’язання. Один день робочого тижня можна розглядати як одне незалежне випробування, а весь робочий тиждень ‑ як послідовність незалежних випробувань. Подія (регіональне представництво укладеться в норму витрат на транспорт) може настати з ймовірністю або не настати з ймовірністю в одному незалежному випробуванні. Ймовірність того, що подія настане рівно рази в незалежних випробуваннях обчислюється за формулою Бернуллі:

.

 

Задача 2. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,4. По мішені проводиться шість незалежних пострілів. Знайти ймовірність того, що буде хоча б одне влученя в мішень.

Розв’язання. Один постріл по мішені розглядаємо як одне незалежне випробування, а серію з шести пострілів ‑ як послідовність незалежних випробувань. Подія ‑ постріл влучить в мішень, може відбутись з ймовірністю і не відбутись в одному незалежному випробуванні. Тоді, для того, щоб знайти ймовірність хоча б одного влучення в ціль використаємо наслідок 8 з формули Бернуллі.

Отже, .

Задача 3. На АЗС є п’ять заправних колонок. Ймовірність виходу з ладу кожної колонки протягом року дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що протягом року доведеться ремонтувати не більше двох колонок?

Розв’язання. Подія ‑ заправна колонка протягом року вийде з ладу, тоді і . Використовуючи наслідок 3 з формули Бернуллі, знайдемо ймовірність того, що серед 5 заправних колонок не більше 2 зламаються протягом року (або жодна, або одна, або дві).

Отже,

.

Задача 4. Автошкола НТУ налічує 9 автомобілів. Відділ технічного контролю перевіряє стан кожного автомобіля, перед його виходом в рейс. Ймовірність того, що в автобіля не пошкоджені склоомивачі 0,85. Знайти наймовірніше число автомобілів, які зможуть вийти в рейс.

Розв’язання. За умовою , , . Наймовірніше число автомобілів в робочому стані задовольняє подвійну нерівність або , . Отже, найімовірніше в рейс можуть вийти 8 автомобілів.

Задача 5. У масовому виробництві автомобільних шин ймовірність браку складає 0,1. Яка ймовірність того, що серед 500 відібраних шин буде 30 бракованих?

Розв’язання. За умовою , , , . Використовуючи локальну теорему Муавра-Лапласа, отримуємо ,

де , за табл. 1 знаходимо .

Тому

Задача 6. Ймовірність того, що відвідувач АЗС замовить бензин марки А-95, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що із 150 відвідувачів бензин А-95 замовлять не менше 75 і не більше 110 відвідувачів.

Розв’язання. За умовою .

Скористаємося інтегральною теоремою Муавра-Лапласа:

, , ,

, ,

.

Задача 7. Якщо лівші в середньому складають 2% то яка ймовірність того, що серед 100 чоловік не більше трьох ліворуких?

Розв’язання. Скористаємося граничною теоремою Пуассона.

За умовою , отже, .

Тоді

Задача 8. Ймовірність того, що деталь, виготовлена заводом, є бракованою, дорівнює 0,02. Для контролю відібрано навмання 1000 деталей. Знайти ймовірність того, що відносна частота бракованих деталей у вибірці відрізняється від ймовірності 0,02, за абсолютною величиною, не більше, ніж на 0,01.

Розв’язання. Скористаємося наслідком інтегральної теореми Муавра-Лапласа.

За умовою .

За формулою

, де - функція Лапласа,

отримаємо

.

Задача 9. Ймовірність браку серед 475 виробів дорівнює 0,05. Знайти з ймовірністю 0,9426 границі, в яких знаходиться число бракованих виробів серед перевірених.

Розв’язання. За умовою . Потрібно знайти . Відомо, що

.

Спочатку знайдемо :

.

За таблицею значень функції Лапласа знаходимо, що , а значить . Тоді,

;

;

.

Отже,

 

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ

 

1. Бізнесмен, вивчивши попит ринку на нові сучасні спортивні автомобілі, вирішив продати пробну партію з дев’яти таких автомобілів. Ймовірність отримати високий прибуток від продажу кожної машини оцінена в 0,8. Яка ймовірність отримати високий прибуток від продажу а) трьох автомобілів; б) не більше трьох автомобілів?

2. Ймовірність того, що витрата бензину автопарком протягом місяця не перевищує встановленої норми, дорівнює 0,95. Знайти ймовірність того, що за півроку роботи автопарк укладеться в норму витрат бензину: а) протягом чотирьох місяців; б) на протязі не меньше чотирьох місяців.

3. На автозавод надійшло 300 ящиків із дзеркалами для автомобілів. Ймовірність того, що у навмання взятому ящику всі дзеркала цілі, дорівнює 0,9. Знайти найімовірніше число ящиків з усіма цілими дзеркалами і обчислити ймовірність такого числа ящиків.

4. Ймовірність того, що в бензині не буде шкідливих домішків в кожній з каністр дорівнює 0,7. Скільки таких каністр потрібно взяти, щоб найімовірніше число появи каністри з бензином без домішок дорівнювала 20?

5. Чому дорівнює ймовірність появи події в кожному із 49 незалежних випробувань, якщо найвірогідніше число появи події в цих випробуваннях дорівнює 30?

6. Ймовірність того, що кожний відвідувач СТО замовить діагностику двигуна автомобіля, дорівнює 0,64. Знайти ймовірність того, що із 100 відвідувачів замовлять цю діагностику: а) не менше 60 і не більше 70 відвідувачів; б) не менше 60 відвідувачів; в) не більше ніж 75 відвідувачів.

7. Ймовірність того, що пляшка дистильованої води не пройшла контролю якості, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що серед 400 випадково відібраних пляшок дистильованої води виявляться неперевіреними від 75 до 100 пляшок.

8. Автозавод відправив 2000 каністр автомобільного мастила. Ймовірність пошкодження кожної каністри в дорозі дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що під час транспортування буде пошкоджено: а) три каністри автомобільного мастила; б) не більше трьох каністр.

9. Під час випуску інструментів для ремонту автомобілів буває в середньому 4% браку. Визначити ймовірність того, що в партії з 625 інструментів відхилення відносної частоти появи бракованого інструменту від ймовірності його появи за модулем буде не більше ніж 0,02.

Відповіді. 1. а) 0,0028; б) 0,0031. 2. а) 0,098; б) 0,983. 3. 0,075. 4. 28, 29. 5. . 6. а) 0,69108; б) 0,79673; в) 0,98778. 7. 0,99282. 8. а) 0,1954; б) 0,4335. 9. 0,98922.

 

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

 

1. У масовому виробництві автошин ймовірність браку складає 0,1. Яка ймовірність того, що серед 400 навмання відібраних шин буде 50 бракованих?

2. Ймовірність того, що автомобіль вийде з ладу протягом місяця, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що протягом місяця з шести автомобілів вийде з ладу: а) 2 автомобіля; б) хоча б один.

3. Автозавод обслуговує 18 СТО. Від кожної з них заявка на деталі на наступний день може надійти з ймовірністю 0,7. Знайти найімовірніше число заявок на наступний день та ймовірність одержання автозаводом такої кількості заявок.

4. Щоденно 105 автомобілів постачають автомобільні деталі на СТО. Ймовірність безвідмовної роботи кожного з них протягом дня дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що протягом дня безвідмовно працюватимуть: а) від 70 до 85 автомобілів б) не більше 95 автомобілів.

5. Із оптової бази відправлено на СТО 4000 надійно упакованих доброякісних деталей. Ймовірність того, що одна деталь буде пошкоджена в дорозі, дорівнює 0,0005. Знайти ймовірність того, що на СТО надійде від 3 до 5 пошкоджених деталей.

Відповіді. 1. а) 0,016. 2. а) 0,24576; б) 0,738. 3. 0,2. 4. а) 0,59449; б) 0,99632. 5. 0,3067.

 

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

 

Завдання 1. В автомобільних перегонах беруть участь три команди з , та чоловік. Скількома способами можуть розподілитися три призові місця, якщо їх займатимуть члени однієї команди?

 

№					№

Завдання 2. В автопарку легкових автомобілів, вантажних автомобілів, автобусів. Скількома способами можна відібрати для проходження ТО 5 легкових автомобілів, 3 вантажних автомобілі, 2 автобуси?

 

№					№

 

Завдання 3. В партії із деталей стандартних. Навмання відбирається m деталей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних m деталей – k стандартних.

 

№	N	n	m	k		№	N	n	m	k

 

Завдання 4. На підприємстві виготовляють автозапчастини: перша лінія виробляє 35% всіх запчастин, друга ‑ 20%, а решту ‑ третя. Брак в їхній продукції складає відповідно , , .Знайти ймовірність того, що випадково обрана автозапчастина виявиться якісною.

 

№					№

 

Завдання 5. Ймовірність виходу з ладу за час одного конденсатора дорівнює 0,2. Визначити ймовірність того, що за час із 100 конденсаторів вийдуть із ладу: а) не менше конденсаторів; б) менше конденсаторів; в) від до конденсаторів.

№						№

Завдання 6. Відділ технічного контролю перевіряє на стандартність деталей. Ймовірність того, що деталь стандартна, дорівнює . Знайти з ймовірністю 0,93 межі, в яких буде число стандартних деталей.

 

№				№
		0,5				0,6
		0,6				0,3
		0,2				0,3
		0,13				0,7
		0,6				0,6
		0,3				0,9
		0,12				0,8
		0,5				0,6
		0,3				0,12
		0,5				0,22
		0,3				0,4
		0,7				0,6
		0,7				0,8
		0,8				0,43
		0,6				0,24

 

Завдання 7. На підприємство надійшло ящиків із дзеркалами для автомобілів. Ймовірність того, що у навмання взятому ящику всі дзеркала цілі, дорівнює . Знайти найімовірніше число ящиків з усіма цілими дзеркалами і обчислити ймовірність такого числа ящиків.

 

№				№
		0,5				0,6
		0,6				0,3
		0,2				0,3
		0,13				0,7
		0,6				0,6
		0,3				0,9
		0,12				0,8
		0,5				0,6
		0,3				0,12
		0,5				0,22
		0,3				0,4
		0,7				0,6
		0,7				0,8
		0,8				0,43
		0,6				0,24

 

Завдання 8. У кожному з незалежних випробувань подія А відбувається зі сталою ймовірністю . Знайти ймовірність того, що відносна частота цієї події відрізняється за модулем від ймовірності не більш як . Значення параметрів , , обчислити за формулами: , , , де - номер варіанту.