Модуль 1. Елементи теорії ймовірностей

МОДУЛЬ 1. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

 

ЗМ 1. Елементи комбінаторики.

Теорія випадкових подій

 

Елементи комбінаторики.

 

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 

Комбінаторика – розділ математики, що вивчає розташування та вибір об’єктів, за певними правилами і методи обчислення всіх можливих, способів якими це можна зробити.

Простір елементарних подій

Елементарною подією називається найпростіший результат випробування і позначається . Простором елементарних подій називається сукупність всіх можливих елементарних подій випробування і позначається . Будь-яка підмножина простору елементарних подій називається випадковою подією. Елементарні події, що входять в називають сприятливими для настання події . Подія настає, якщо настає будь-яка елементарна подія, яка належить .

Операції над подіями.

Сумою (об’єднанням) подій і називається подія (), яка настає тоді, коли настає принаймні одна з подій або . Сприятливими для суми є елементарні події, які сприятливі або для події або для події , або подій і .

 

Добутком (перетином) подій і називається подія (), яка настає тоді, коли настають обидві події і . Сприятливими для добутку є елементарні події, які сприятливі і для події і для події .

 

Різницею подій і називається подія яка настає тоді, коли настає подія і не настає подія .

 

Протилежною подією до події називається подія, що складається з елементарних подій, які не належать до тобто .

 

 

Види випадкових подій.

Події і називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої, тобто . В загальному випадку події називають попарно несумісними (або просто несумісними), якщо поява однієї з них в даному випробуванні виключає можливість появи будь-якої іншої з цих подій.

Події і називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої, тобто .

Події і називаються рівноможливими в даному випробуванні, якщо за умовами проведеного випробування немає підстав вважати появу однієї з цих подій більш можливою, ніж інших.

Події утворюють повну групу подій, якщо вони попарно несумісні , при () і їх множина співпадає з усім простором елементарних подій , тобто .

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

 

Задача 1. Нехай експеримент полягає в однократному підкиданні грального кубика. Подія ‑ випадання числа очок, не менше 4, подія ‑ число очок, кратне 3, подія ‑ число очок, не більше 8, подія ‑ число очок, більше 6, подія ‑ число очок, більше 3. Записати простір елементарних подій даного експерименту. Визначити елементарні події, які є сприятливими для вказаних подій. Вказати, які з цих подій: вірогіді, неможливі, рівноможливі.

Розв’язання. Простором елементарних подій цього експерименту є множина , де ‑ випадання очок . Простір можна записати ще так:

Сприятливими для настання події є такі елементарні події: , та , тому Сприятливими для події є такі елементарні події: і , тому Сприятливими для події є такі елементарні події: , , , , та , тому . Отже, подія є вірогідною. Для події жодна з елементарних подій не є сприятливою. Тому ‑ неможлива подія. Сприятливими для настання події є ті ж самі елементарні події, що і для події , тому

Задача 2. Два стрільці по одному разу стріляють по мішені. Подія – другий стрілець влучив у мішень, ‑ у мішені одне влучення. Записати у чому полягають події: , , , , , , , , .

Розв’язання. ‑ другий стрілець не влучив у мішень. ‑ у мішені два влучення або немає жодного. ‑ влучив лише перший стрілець (другий стрілець не влучив у мішень і в мішені одне влучення). ‑ обидва стрільці влучили у мішень (другий влучив і в мішені не одне влучення). ‑ обидва стрільці не влучили в мішень (другий не влучив і в мішені не одне влучення). ‑ або лише перший стрілець влучив у мішень, або обидва стрільці влучили в мішень, або жоден з них не влучив. ‑ влучив принаймні один стрілець (один з стрільців влучив у мішень, або обидва). ‑ або лише перший стрілець влучив у мішень, або обидва стрільці влучили в мішень, або жоден з них не влучив, тобто . ‑ жоден із стрільців не влучив, тобто .

Задача 3. Стрілець виконує три постріли по мішені. Нехай подія , полягає в тому, що стрілець, влучає у мішень при -му пострілі. Записати у вигляді суми, різниці та добутку подій такі події: ‑ три влучення, ‑ один промах, ‑ принаймні один промах, ‑ не більше одного промаху.

Розв’язання. Подія відбувається тоді, коли стрілець влучає в ціль при кожному пострілі. Тому .

Подія відбувається тоді, коли стрілець влучає в мішень двічі. Оскільки ‑ промах при -му пострілі, то .

Подія полягає в тому, що стрілець промахується або один раз, або двічі, або тричі.

Отже, Подія відбувається тоді, коли стрілець влучає або тричі, або двічі, тобто .

 

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ

 

1. Навести приклади достовірних і неможливих подій.

2. Навести приклади сумісних, несумісних, рівноможливих подій.

3. Чи утворюють простір елементарних подій: а) експеримент - підкидання монети, події: ‑ випадання герба, ‑ випадання цифри; б) експеримент ‑ підкидання двох монет, події: ‑ випадання двох цифр, ‑ випадання двох гербів; в) експеримент - три постріли в мішень, події: ‑ хоча б одне влучення, ‑ хоч один промах; г) експеримент - два постріли в мішень, події: ‑ жодного влучання, ‑ одне влучання, ‑ два влучення; д) експеримент ‑ підкидання грального кубика, події: ‑ випадання непарної цифри, ‑ випадання простого числа?

4. Чи є несумісними такі події: а) експеримент ‑ підкидання грального кубика, події: ‑ випадання непарної цифри, ‑ випадання простого числа; б) експеримент ‑ підкидання симетричної монети, події: ‑ випадання герба, ‑ випадання цифри; в) експеримент ‑ два постріли в мішень, події: ‑ жодного влучання, ‑ одне влучання, ‑ два влучання; г) експеримент ‑ два постріли в мішень, події: ‑ хоч одне влучання, ‑ хоч один промах; д) експеримент ‑ підкидання грального кубика, події: ‑ випадання парної цифри, ‑ випадання непарної цифри, е) експеримент ‑ виймання з коробки однієї пластинки доміно, події: ‑ випадання дубля, ‑ випадання пластинки, сума очок якої дорівнює п'яти?

5. Скільки елементів має простір елементарних подій. а) експеримент ‑ підкидають монету 10 разів; б) експеримент ‑ підкидають гральний кубик шість разів, в) експеримент ‑ два постріли в мішень; г) експеримент ‑ на кожній із чотирьох карток пишуть одну з цифр; 1, 2, 3, 4. 5; д) експеримент- вибір обіду з трьох страв, коли в меню пропонуються 5 перших, 6 других і 3 треті страви; е) експеримент ‑ вибір одного числа із множини всіх п'яти цифрових чисел?

6. Гральний кубик підкидають двічі, описати: а) простір елементарних подій ; б) подію ‑ «в сумі випало парне число очок»; в) подію ‑ «хоча б один раз з’явилось одне очко»; г) подію ; д) подію .

7. Вийшовши з дому, чоловік зустрів перехожого. Подія полягає в тому, що він зустрів знайомого, а подія ‑ в тому, що зустрічний має світле волосся. Описати події , , , , , , , .

8. ; ; . Записати у чому полягають події: , , , , , , , , , .

9. Нехай , , ‑ три довільні події. Знайти події, які означають: 1) відбулася лише подія ; 2) відбулися лише події і ; 3) відбулися всі три події; 4) відбулася принаймні одна з подій; 5) відбулися принаймні дві події; 6) відбулася лише одна подія; 7) відбулися лише дві події; 8) жодна з подій не відбулася; 9) відбулося не більше двох подій.

10. ; ; ; ; ; . Яка з подій утворює з подією повну групу?

11. Тричі підкинули монету. Записати простір елементарних подій можливих результатів випробування та події: ‑ герб випав не менше двох раз, ‑ цифра випала принаймні один раз, ‑ випали лише цифри, , , .

Відповіді. 3. а) Так; б) Ні; в) Ні; г) Так; д) Ні. 4. а) Ні; б) Так; в) Так; г) Ні; д) Так; е) Так. 5. а) 1024; б) 46656; в) 4; г) 625; д) 90; е) 90000. 11. ; ; .

 

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

 

1. ;

; .

Записати у чому полягають події: , , , , , , , , , .

2. ; ;

; ;

; .

Яка з подій утворює з подією повну групу?

3. Кидають два гральні кубики. Побудувати простір елементарних подій, а також записати наступні події: ‑ на кубиках випали парні цифри, ‑ хоча б на одному кубику випала цифра кратна трьом, , .

4. У книжковій шафі стоять підручники з математики, теорії ймовірностей, статистики. Студент навмання бере два підручники. Побудувати простір елементарних подій, а також записати наступні події: ‑ студент взяв принаймні один підручник з математики, ‑ студент не взяв підручник з теорії ймовірностей, ‑ студент взяв два підручники зі статистики, , .

Відповіді. 4. ; .

 

 

Властивості ймовірності.

1. Якщо подія ‑ достовірна, то .

2. Якщо подія Ø – неможлива, то (Ø)=0.

3. Якщо подія ‑ випадкова, то .

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

 

Задача 1. Знайти ймовірність того, що при підкиданні грального кубика випала кількість очок кратна трьом.

Розв’язання. Нехай подія полягає в тому, що при підкидані кубика випаде кількість очок кратна трьом. Елементарними подіями даного випробування будуть: ‑ на кубику випала одиниця, ‑ випала двійка, ‑ трійка і т. д. Тоді простір елементарних подій. Кількість усіх рівноможливих і єдиноможливих елементарних подій простору . Подія відбудеться тоді коли на кубику випаде трійка або шістка, . Отже, кількість рівноможливих елементарних подій, що сприяють появі події . Використовуючи класичне означення ймовірності, отримуємо, що .

Задача 2. Академічна група складається з 20 студентів, серед яких є три дівчини. Для походу в театр навмання вибирають 5 студентів. Яка ймовірність того, що серед вибраних студентів будуть 3 хлопці.

Розв’язання. Елементарною подією у даному випадку є будь-який вибір 5-ти студентів з двадцяти можливих. Кількість елементарних подій простору дорівнює кількості способів вибору п’яти студентів з двадцяти. Оскільки порядок вибору студентів не має значення, то .

Обчислимо кількість елементарних подій, що сприяють події ‑ серед 5-ти навмання вибраних студентів 3 хлопці та 2 дівчини. 3 хлопців з 17 можна вибрати способами, а дві дівчини з трьох . Отже, . Тоді за класичним означенням ймовірності .

Задача 3. На складі паливно мастильних матеріалів знаходиться 10 каністр з бензином та 5 з дизельним паливом. Яка ймовірність того, що в трьох навмання взятих каністрах виявиться паливо одного виду.

Розв’язання. Нехай подія полягає у виборі трьох каністр з однаковим видом палива. Елементарною подією у даному випадку є будь-який вибір трьох каністр з даних п’ятнадцяти. Кількість елементарних подій простору дорівнює кількості способів вибору трьох ємкостей з п’ятнадцяти. Оскільки порядок вибору каністр не має значення, то .

Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють появі події . Три каністри з бензином з 10 можна вибрати способами, а три каністри з дизельним паливом із п’яти можливих способами. Отже,

.

Тоді, за класичним означенням ймовірності, .

Задача 4. Вісім автобусів, серед яких два ЛАЗ-697 "Турист", що прибули на станцію технічного обслуговування, випадковим чином розміщені на стоянках, розташованих в одному ряду. Яка ймовірність того, що між автобусами ЛАЗ-697 "Турист" опиниться один автобус іншого типу і не залишиться вільних стоянок, якщо кількість стоянок дорівнює 10?

Розв’язання. Нехай подія ‑ між автобусами ЛАЗ-697 "Турист" розташований один автобус іншого типу. Загальна кількість елементарних подій простору дорівнює кількості варіантів розміщення восьми автобусів на десяти стоянках. Оскільки порядок розташування автобусів має значення, то . Обчислимо скількома способами можна розмістити автобуси, щоб між автобусами ЛАЗ-697 "Турист" розташовувався один автобус іншого типу. Кількість варіантів такого розташування для автобусів ЛАЗ-697 "Турист" з врахуванням варіантів, що виникають при зміні їх місцями, дорівнює 16. Для автобуса, який розташовується між ними, є 6 варіантів, а для решти п’яти автобусів кількість варіантів розташування на семи вільних стоянках дорівнює . За принципом добутку число наслідків, сприятливих щодо події , дорівнює .

Тоді .

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ

 

1. У ящику 10 куль з номерами від 1 до 10. Дістали одну кулю. Яка ймовірність того, що її номер не перевищує 10?

2. В урні є 20 куль: 12 білих і 8 чорних. Яка ймовірність дістати із урни червону кулю?

3. В урні 15 куль: 5 білих, 6 чорних і 4 синіх. Яка ймовірність дістати: а) білу; б) чорну; в) синю кулю?

4. Монету підкидають двічі. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з’явиться герб.

5. У студентському ансамблі 12 студентів, серед яких 5 хлопців. Яка ймовірність того, що серед 5-и навмання відібраних солістів - 2 хлопці?

6. Студент знає 40 із 100 екзаменаційних питань. Всього екзаменатор задає йому п’ять питань. Знайти ймовірність того, що студент здасть екзамен за умови, що позитивну оцінку ставлять за знання не менш, ніж трьох питань.

7. Знайти ймовірність того, що при підкиданні 3-х гральних кубиків 6 очок випаде на одному з них (байдуже якому), а на гранях двох інших випаде різна кількість очок, причому це не буде 6 очок.

8. На девяти картках написані цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Дві з них виймаються навмання, потім читається отримане число, наприклад 07 (сім), 14 (чотирнадцять) і т. д. Знайти ймовірність того, що отримане число буде парним.

9. Слово «форсунка» складається з букв розрізаної азбуки. Навмання, одна за одною, дістали 5 карток і розклали в ряд у порядку появи. Яка ймовірність того, що: а) утвориться слово «фокус»; б) з відібраних карток можна скласти слово «фокус»?

10. Для збирання двигуна автомобіля використовують деталі, які надходять з двох заводів. Перший заводу в середньому дає 1,5% браку, а другий – 1%. Знайти ймовірність потрапляння бракованої деталі, якщо з першого заводу надійшло 2000 деталей, а з другого – 1500.

11. Партія з 34 деталей перевіряється контролером, який навмання відбирає 10 деталей і визначає їх якість. Якщо серед вибраних контролером деталей немає жодної бракованої, то вся партія приймається; в іншому випадку – посилається на додаткову перевірку. Яка ймовірність того, що партія деталей, яка містить 3 браковані деталі, буде прийнята перевіряючим?

12. Сім автомобілів, серед яких два типу Богдан А-092, випадковим чином поставлені в чергу на технічне обслуговування. Знайдіть ймовірність того, що між автомобілями Богдан А-092 опиняться три автомобіля інших типів.

13. У барабані револьвера сім гнізд, в п'ять з них закладені патрони, а два залишені порожніми. Барабан приводиться в обертання, в результаті чого проти стволу випадковим чином виявляється одне з гнізд. Після цього натискається спусковий гачок; якщо комірка була порожня, пострілу не відбувається. Знайти ймовірність того, що, повторивши такий експеримент двічі поспіль, ми обидва рази не вистрілимо.

Відповіді. 1. 1. 2. 0. 3. а) ; б) ; в) . 4. . 5. 0,442. 6. 0,314. 7. 0,278. 8. . 9. а) 0,0001; б) 0,018. 10. . 11. 0,338. 12. 0,143. 13. 0,082.

 

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

 

1. В урні знаходиться 3 червоних, 8 чорних і 9 синіх куль. Яка ймовірність дістати: а) червону; б) чорну; в) синю кулю?

2. Підкидається гральний кубик. Знайти ймовірність: а) появи 3-х очок; б) більше 3-х очок; в) менше 3-х очок; г) парного числа очок; д) непарного числа очок?

3. Регіональне представництво АВТОЗАЗУ отримало з заводу партію з 20 автомобілів, два з них мають істотні дефекти. Одержувач вирішує навмання перевірити три довільні автомобілі з партії та прийняти вантаж, якщо не виявить в жодному з них великі дефекти. Яка ймовірність того, що партію з 20 автомобілів буде прийнято?

4. Маємо 9 однакових за розміром карток, на кожній з яких записано одну з цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Навмання беруть 4 картки і розкладають в один рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо число 1972.

5. В урні 10 червоних, 6 синіх і 3 зелених куль однакового розміру. Навмання беруть 6 куль. Яка ймовірність того, що будуть узяті 1 зелена, 2 сині та 3 червоні кулі?

6. Серед 25 студентів групи, в якій є 10 дівчат, розігрують 5 квитків на концерт. Визначити ймовірність того, що білети виграють дві дівчини.

7. В букеті 8 троянд, 6 гвоздик і 3 ромашки. З букету навмання вибирають квіти. З якою ймовірністю можна вибрати:

а) одну ромашку;

б) дві троянди;

в) три квітки одного сорту;

г) три квітки різних сортів;

д) три троянди й дві ромашки;

е) три квітки, серед яких принаймні одна гвоздика.

Відповіді. 1. а) ; б) ; в) . 2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 3. 0,72. 4. 0,00033. 5. 0,2. 6. 0,39. 7. а) ; б) 0,21; в) 0,11; г) 0,21; д) 0,027; е) 0,76.

 

Статистичні ймовірності.

Відносною частотою події називається відношення числа випробувань в яких дана подія відбулась, до числа всіх проведених випробувань, тобто

.

Ймовірність є теоретичною величиною, яка обчислюється до проведення випробування, а відносна частота ‑ величина емпірична, яка обчислюється за результатами проведених випробувань. У дослідах відносна частота коливається навколо деякого сталого числа. Ця властивість відносної частоти називається властивістю стійкості.

Статистичною ймовірністю події називається число, навколо якого групуються відносні частоти цієї події

.

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

 

Задача 1. Щосуботи два катери прибувають до одного причалу з 9-ї до 10-ї год. ранку. Визначити ймовірність того, що катери зустрінуться, якщо час стоянки біля причалу складає 20 хв.

Розв’язання. Розглянемо подію , яка полягає в тому, що катери зустрінуться. Позначимо через час прибуття до причалу першого катера, а через ‑ час прибуття другого катера. Оскільки вони можу прибути протягом години (60 хв.), то і . Отже, простором елементарних подій даного випадкового експерименту можна вважати точки квадрата (рис. 4.1).

Оскільки простір є неперервним, то ймовірність можна обчислити як відношення міри множини елементарних подій, сприятливих для події , до міри множини всіх елементарних подій.

Визначимо відповідну множину точок площини, які сприяють події . Зустріч катерів відбудеться тоді і тільки тоді, коли (різниця між моментами прибуття катерів не перевищує 20 хв.). Це означає, що зустрічі (подія )відповідають точки квадрата, для яких , або , тобто множина точок сприятливих події лежить між прямими і ,утворюючи многокутник . Площа квадрата становить , а площа многокутника рівна . Тоді шукана ймовірність .

 

Задача 2. Всередині еліпса розміщено коло . Знайти ймовірність попадання точки в кільце, обмежене еліпсом і колом (рис. 4.2).

Розв’язання. Нехай подія - попадання точки в кільце. Тоді .