Ймовірність випадкової події. Класичний спосіб обчислення ймовірностей випадкових подій.

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 

Для того щоб мати змогу порівняти події введемо числову характеристику ступеня об’єктивної можливості появи події. Такою числовою характеристикою є ймовірність події.

Класичний спосіб обчислення ймовірностей.

Ймовірністю випадкової події називається відношення числа наслідків випробувань, сприятливих для до числа всіх рівноможливих і єдиноможливих наслідків випробувань

Тут ‑ кількість наслідків випробувань, сприятливих для настання події

‑ загальна кількість рівноможливих та єдиноможливих наслідків випробувань.

 

Властивості ймовірності.

1. Якщо подія ‑ достовірна, то .

2. Якщо подія Ø – неможлива, то (Ø)=0.

3. Якщо подія ‑ випадкова, то .

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

 

Задача 1. Знайти ймовірність того, що при підкиданні грального кубика випала кількість очок кратна трьом.

Розв’язання. Нехай подія полягає в тому, що при підкидані кубика випаде кількість очок кратна трьом. Елементарними подіями даного випробування будуть: ‑ на кубику випала одиниця, ‑ випала двійка, ‑ трійка і т. д. Тоді простір елементарних подій. Кількість усіх рівноможливих і єдиноможливих елементарних подій простору . Подія відбудеться тоді коли на кубику випаде трійка або шістка, . Отже, кількість рівноможливих елементарних подій, що сприяють появі події . Використовуючи класичне означення ймовірності, отримуємо, що .

Задача 2. Академічна група складається з 20 студентів, серед яких є три дівчини. Для походу в театр навмання вибирають 5 студентів. Яка ймовірність того, що серед вибраних студентів будуть 3 хлопці.

Розв’язання. Елементарною подією у даному випадку є будь-який вибір 5-ти студентів з двадцяти можливих. Кількість елементарних подій простору дорівнює кількості способів вибору п’яти студентів з двадцяти. Оскільки порядок вибору студентів не має значення, то .

Обчислимо кількість елементарних подій, що сприяють події ‑ серед 5-ти навмання вибраних студентів 3 хлопці та 2 дівчини. 3 хлопців з 17 можна вибрати способами, а дві дівчини з трьох . Отже, . Тоді за класичним означенням ймовірності .

Задача 3. На складі паливно мастильних матеріалів знаходиться 10 каністр з бензином та 5 з дизельним паливом. Яка ймовірність того, що в трьох навмання взятих каністрах виявиться паливо одного виду.

Розв’язання. Нехай подія полягає у виборі трьох каністр з однаковим видом палива. Елементарною подією у даному випадку є будь-який вибір трьох каністр з даних п’ятнадцяти. Кількість елементарних подій простору дорівнює кількості способів вибору трьох ємкостей з п’ятнадцяти. Оскільки порядок вибору каністр не має значення, то .

Обчислимо кількість елементарних подій, які сприяють появі події . Три каністри з бензином з 10 можна вибрати способами, а три каністри з дизельним паливом із п’яти можливих способами. Отже,

.

Тоді, за класичним означенням ймовірності, .

Задача 4. Вісім автобусів, серед яких два ЛАЗ-697 "Турист", що прибули на станцію технічного обслуговування, випадковим чином розміщені на стоянках, розташованих в одному ряду. Яка ймовірність того, що між автобусами ЛАЗ-697 "Турист" опиниться один автобус іншого типу і не залишиться вільних стоянок, якщо кількість стоянок дорівнює 10?

Розв’язання. Нехай подія ‑ між автобусами ЛАЗ-697 "Турист" розташований один автобус іншого типу. Загальна кількість елементарних подій простору дорівнює кількості варіантів розміщення восьми автобусів на десяти стоянках. Оскільки порядок розташування автобусів має значення, то . Обчислимо скількома способами можна розмістити автобуси, щоб між автобусами ЛАЗ-697 "Турист" розташовувався один автобус іншого типу. Кількість варіантів такого розташування для автобусів ЛАЗ-697 "Турист" з врахуванням варіантів, що виникають при зміні їх місцями, дорівнює 16. Для автобуса, який розташовується між ними, є 6 варіантів, а для решти п’яти автобусів кількість варіантів розташування на семи вільних стоянках дорівнює . За принципом добутку число наслідків, сприятливих щодо події , дорівнює .

Тоді .

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ

 

1. У ящику 10 куль з номерами від 1 до 10. Дістали одну кулю. Яка ймовірність того, що її номер не перевищує 10?

2. В урні є 20 куль: 12 білих і 8 чорних. Яка ймовірність дістати із урни червону кулю?

3. В урні 15 куль: 5 білих, 6 чорних і 4 синіх. Яка ймовірність дістати: а) білу; б) чорну; в) синю кулю?

4. Монету підкидають двічі. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з’явиться герб.

5. У студентському ансамблі 12 студентів, серед яких 5 хлопців. Яка ймовірність того, що серед 5-и навмання відібраних солістів - 2 хлопці?

6. Студент знає 40 із 100 екзаменаційних питань. Всього екзаменатор задає йому п’ять питань. Знайти ймовірність того, що студент здасть екзамен за умови, що позитивну оцінку ставлять за знання не менш, ніж трьох питань.

7. Знайти ймовірність того, що при підкиданні 3-х гральних кубиків 6 очок випаде на одному з них (байдуже якому), а на гранях двох інших випаде різна кількість очок, причому це не буде 6 очок.

8. На девяти картках написані цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Дві з них виймаються навмання, потім читається отримане число, наприклад 07 (сім), 14 (чотирнадцять) і т. д. Знайти ймовірність того, що отримане число буде парним.

9. Слово «форсунка» складається з букв розрізаної азбуки. Навмання, одна за одною, дістали 5 карток і розклали в ряд у порядку появи. Яка ймовірність того, що: а) утвориться слово «фокус»; б) з відібраних карток можна скласти слово «фокус»?

10. Для збирання двигуна автомобіля використовують деталі, які надходять з двох заводів. Перший заводу в середньому дає 1,5% браку, а другий – 1%. Знайти ймовірність потрапляння бракованої деталі, якщо з першого заводу надійшло 2000 деталей, а з другого – 1500.

11. Партія з 34 деталей перевіряється контролером, який навмання відбирає 10 деталей і визначає їх якість. Якщо серед вибраних контролером деталей немає жодної бракованої, то вся партія приймається; в іншому випадку – посилається на додаткову перевірку. Яка ймовірність того, що партія деталей, яка містить 3 браковані деталі, буде прийнята перевіряючим?

12. Сім автомобілів, серед яких два типу Богдан А-092, випадковим чином поставлені в чергу на технічне обслуговування. Знайдіть ймовірність того, що між автомобілями Богдан А-092 опиняться три автомобіля інших типів.

13. У барабані револьвера сім гнізд, в п'ять з них закладені патрони, а два залишені порожніми. Барабан приводиться в обертання, в результаті чого проти стволу випадковим чином виявляється одне з гнізд. Після цього натискається спусковий гачок; якщо комірка була порожня, пострілу не відбувається. Знайти ймовірність того, що, повторивши такий експеримент двічі поспіль, ми обидва рази не вистрілимо.

Відповіді. 1. 1. 2. 0. 3. а) ; б) ; в) . 4. . 5. 0,442. 6. 0,314. 7. 0,278. 8. . 9. а) 0,0001; б) 0,018. 10. . 11. 0,338. 12. 0,143. 13. 0,082.

 

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

 

1. В урні знаходиться 3 червоних, 8 чорних і 9 синіх куль. Яка ймовірність дістати: а) червону; б) чорну; в) синю кулю?

2. Підкидається гральний кубик. Знайти ймовірність: а) появи 3-х очок; б) більше 3-х очок; в) менше 3-х очок; г) парного числа очок; д) непарного числа очок?

3. Регіональне представництво АВТОЗАЗУ отримало з заводу партію з 20 автомобілів, два з них мають істотні дефекти. Одержувач вирішує навмання перевірити три довільні автомобілі з партії та прийняти вантаж, якщо не виявить в жодному з них великі дефекти. Яка ймовірність того, що партію з 20 автомобілів буде прийнято?

4. Маємо 9 однакових за розміром карток, на кожній з яких записано одну з цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Навмання беруть 4 картки і розкладають в один рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо число 1972.

5. В урні 10 червоних, 6 синіх і 3 зелених куль однакового розміру. Навмання беруть 6 куль. Яка ймовірність того, що будуть узяті 1 зелена, 2 сині та 3 червоні кулі?

6. Серед 25 студентів групи, в якій є 10 дівчат, розігрують 5 квитків на концерт. Визначити ймовірність того, що білети виграють дві дівчини.

7. В букеті 8 троянд, 6 гвоздик і 3 ромашки. З букету навмання вибирають квіти. З якою ймовірністю можна вибрати:

а) одну ромашку;

б) дві троянди;

в) три квітки одного сорту;

г) три квітки різних сортів;

д) три троянди й дві ромашки;

е) три квітки, серед яких принаймні одна гвоздика.

Відповіді. 1. а) ; б) ; в) . 2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 3. 0,72. 4. 0,00033. 5. 0,2. 6. 0,39. 7. а) ; б) 0,21; в) 0,11; г) 0,21; д) 0,027; е) 0,76.