Основні поняття. Операції над подіями

 

Теорія ймовірностей – це математична наука, що вивчає закономірності випадкових явищ.

Випробування — реальний або мислений експеримент (що виконується за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню.

Подія — результат випробування.

Стрілець стріляє по мішені.	Постріл – це випробування. Попадання (промах) – це подія
Агентством нерухомості продається квартира	Продаж квартири – це випробування Продана, не продана – це подія
Організація представляє в контрольне управління рахунки для вибіркової перевірки	Представляє рахунки – це випробування. Вибіркові рахунки правильні – це подія

Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, ….

Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V.

Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою.

Випадкові події, які не можна розкласти на простіші, називаються елементарними. Можлива елементарна подія — це кожний із можливих результатів окремого випробування.

Сума подій. Подія А називається сумою подій В і С, тобто А = В + С або якщо при випробуванні відбувається принаймні одна із цих подій. Множину елементарних подій, що становлять подію А, дістають об’єднанням множин елементарних подій, що становлять події В і С. Аналогічно визначається сума n (n > 2) подій.

Добуток подій. Подія А називається добутком подій В і С, тобто або якщо в результаті випробування відбуваються як подія В, так і подія С. Множина елементарних подій, що становлять подію А, визначається як переріз множин, що становлять події В і С. Аналогічно визначається добуток n (n > 2) подій.

А = {сплата податків для першого підприємства} В = {сплата податків для другого підприємства} А + В = {сплата податків або для першого, або для другого, або для першого та другого підприємства} = {сплата податків одночасно для першого та другого підприємства}

Різниця подій. Подія А називається різницею подій В і С, тобто , якщо відбувається подія В і не відбувається подія С. Множина елементарних подій, що становлять подію А, містить елементарні події, що становлять В, виключаючи ті, при яких відбувається подія С.

Сумісними називаються події, коли поява однієї із подій не виключає появу інших.

Події В і С у даному випробуванні називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в даному випробуванні:

А = {У мага­зин увійшов покупець старше 60 років} B = {До магазина увійшла жінка} А і В — сумісні події, оскільки до магазина може увійти жінка старше 60 років.

Події В і С називаються рівноможливими у даному випробуванні, якщо є підстава вважати, що жодна з них не є об’єктивно більш можливою, ніж інша.

Події у даному випробуванні утворюють повну групу подій, якщо вони несумісні і в результаті випробування неодмінно відбудеться принаймні одна з них, а отже, їхня сума є достовірною подією.

Події називаються протилежними, якщо вони несумісні й утворюють повну групу подій, тобто

 

 

ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ ПОДІЇ. БЕЗПОСЕРЕДНЄ ОБЧИСЛЕННЯ ІМОВІРНОСТЕЙ

Ймовірністю події А називається числова міра об’єктивної можливості настання цієї події в певному випробуванні. Позначається така ймовірність Р (А).

Властивості ймовірності

1. Ймовірність достовірної події

2. Ймовірність неможливої події

3. Ймовірність будь-якої випадкової події

Класичне означення ймовірності. Ймовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій:

(1.1)

Приклад. Структура зайнятих в регіональному відділенні крупного банку має наступний вигляд: Структура Жінки Чоловіки Адміністрація     Операціоністи     Якщо один із службовців вибраний випадковим об­разом, то яка ймовірність, що він: а) чоловік-адміністратор; б) жінка-операціоніст; в) муж­чина; г) операціоніст?

Розв’язання.

а) Позначимо А = {вибраний чоловік-адміністратор}

У банку працюють 100 чоловік, n = 100.

З них 15 — чоловіки-адміністратори, m = 15, отже

Р (A)= 15/100 = 0,15.

б) B = {вибрана жінка-операціоніст }

35 службовців у банку — жінки-операціо­ністи, отже

P (В) = 35/100 = 0,35.

в) С = {вибраний чоловік}

40 службовців банку — чоловіки, отже

Р (С)= 40/100 = 0,40.

г) D = { вибраний операціоніст}

Із загальної кількості службовців банку 60 — операціоністи, отже

P (D)= 60/100= 0,60.

 

Елементи комбінаторики

Розміщення. Кінцеві впорядковані підмножини, що містять m елементів, узятих з n елементів основної множини, називаються розміщеннями з n елементів по m елементів. Число всіх можливих розміщень з n елементів по m позначають .

(1.2)

Приклад. Нехай є три елементи А, В, С. Складемовсі комбінації з трьох елементів по два, отримаємо: АВ, AC, ВА, ВС, СА, СВ. Вони відрізняються або елементами, або їх порядком. За формулою (1.2) маємо .

Перестановки. Різні кінцеві впорядковані множини, що складаються зі всіх елементів деякої заданої множини називаються перестановками. Якщо основна множина містить n елементів, то число перестановок позначається . Перестановки – не що інше, як спосіб впорядкування якої-небудь кінцевої множини.

(1.3)

Приклад. Розглянемо три елементи: А, В, С. Складемовсі можливі комбінації з цих елементів: АВС; АСВ; ВСА; ВАС; CAB; CBA (всього 6 комбінацій). Видно, що вони відрізняються один від одного тільки порядком розташування. За формулою (1.3) маємо .

Сполучення. Кінцеві невпорядковані підмножини, які містять m різних елементів з n елементів заданої множини називаються сполученнями з n елементів по m.

Число сполучень з n елементів по m позначають . Воно дорівнює кількості способів, скількома можна витягувати m предметів з n можливих, якщо порядок ролі не грає, і обчислюється за формулою (0 £ m £ n):

(1.4)

Приклад. Розглянемо три елементи: А, В, С. Складемовсі можливі сполучення з трьох елементів по два: АВ, AC, ВС За формулою (1.4)

Розміщення із повторенням. Беремо з множини навмання m елементів з поверненням. Тоді у фіксованій підмножині кожний елемент може повторитися m разів. Елементарною подією у випробуванні буде розміщення з n елементів по m із повторенням, а кількість таких розміщень

(1.5)

Приклад. Розглянемо три елементи А, В, С. Складемовсі комбінації з трьох елементів по два з повтореннями, отримаємо: АВ, AC, ВА, ВС, СА, СВ, АА, ВВ, СС. Вони відрізняються або елементами, або їх порядком. За формулою (1.5) , що співпадає з результатом приведеного прикладу.

Перестановки із повторенням. Маємо елементів, серед яких один елемент повторюється раз, інший елемент повторюється раз, і так далі, а останній елемент повторюється раз, причому . Число перестановок з повтореннями позначається та обчислюється за формулою

(1.6)

Приклад. Розглянемо елементи А, A, A, В, B. Складемовсі перестановки із повторенням, отримаємо: АAABB, AABBA, ABBAA, BBAАА, BAAAB, ABAAB, AABAB, BABAA, BAABA, ABABA. За формулою (1.6) , що співпадає з результатом приведеного прикладу.

Сполучення з повтореннями. Якщо в сполученнях з n елементів по m деякі з елементів (і навіть всі) можуть виявитися однаковими, то такі поєднання називаються сполученнями з повтореннями із n елементів по m.

Число сполучень з повтореннями із n елементів по m позначається символом і обчислюється за формулою

. (1.7)

Приклад. Розглянемо три елементи А, В, С. Складемовсі сполучення з трьох елементів по два з повтореннями, отримаємо: АВ, AC, ВС, АА, ВВ, СС. За формулою (1.7) , що співпадає з результатом приведеного прикладу.

Приклад. У компанії 10 акціонерів, з них троє мають привілейовані акції. На збори акціонерів з'явилося 6 чоловік. Знайти ймовірність того, що з'явилися акціонери, які не мають привілейованих акцій.

Розв’язання.

Позначимо = {серед шести чоловік немає жодного з привілейованими акціями}.

Випробуванням є відбір 6 чоловік з 10 акціонерів. Число всіх результатів випробування дорівнює числу сполучень з 10 по 6, тобто

Результатом, що сприяє події А, є відбір шести чоловік серед семи акціонерів, які не мають привілейованих акцій. Число всіх результатів, що сприяють події А, буде

Шукана ймовірність

.