Теореми додавання та множення ймовірностей

Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Р (А+ В)= Р (А)+ Р (В) (1.8)

Слідство. Ймовірність суми кінцевого числа попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Приклад. В урні знаходяться 3 червоних, 2 білих, 5 синіх однакових за розміром куль. Яка ймовірність того, що куля, яка випадковим чином витягується з урни, буде кольоровою?

Розв’язання. Позначимо, що подія А = {витягання червоної кулі з урни}, подія В = {витягання синьої кулі}. Тоді подія А+B – витягання кольорової кулі. Очевидно, що , .

Застосовуючи теорему додавання для несумісних подій, отримаємо:

Р (А+ В) = Р(А)+ Р(В)= 0,3+ 0,5= 0,8.

 

 

Ймовірність події А, обчислена за умови, що подія В вже відбулася, називається умовною ймовірністю події А і позначається

Р (А / В)= P_В(A).

Події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність однієї з них не зміниться при настанні іншої. Інакше події А і В називаються залежними.

Теорема множення ймовірностей. Ймовірність добутку двох подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, тобто

Р(АВ) = Р (А) × P_А (В) (1.9)

Теорема множення для незалежних подій. Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Р(АВ) = Р(А) × P(В) (1.10)

Події називаються незалежними в сукупності, якщо кожна з них і будь-який добуток останніх (що включає або решту всіх подій, або частину з них) є події незалежні.

Слідство 1. Ймовірність добутку кінцевого числа незалежних в сукупності подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

(1.11)

Слідство 2. Ймовірність появи кінцевого числа залежних подій дорівнює

, (1.12)

де – ймовірність події за умови, що ., вже настали. Відмітимо, що порядок розташування подій може бути будь-яким.

Приклад. Консультаційна фірма претендує на 2 замовлення від 2 крупних корпорацій. Експерти фірми вважають, що ймовірність здобуття консультаційної роботи в корпорації А дорівнює 0,45. Експерти також вважають, що якщо фірма отримає замовлення в корпорації А, то ймовірність того, що і корпорація В звернеться до них, дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що консультаційна фірма отримає обидва замовлення?

Розв’язання. Позначимо події:

А = {Здобуття консультаційної роботи в кор­порації А }, Р (А)= 0,45;

В = {Здобуття консультаційної роботи в кор­порації В }, P_А (В) = 0,9;

Події А і В — залежні, оскільки подія В залежить від того, станеться чи ні подія А.

Необхідно знайти ймовірність того, що обидві події (і подія А, і подія В) стануться, тобто Р (АВ). Для цього використовуємо теорему множення ймовірностей (1.9):

Р (АВ)= Р (А) P_А (В) = 0,45 · 0,9 = 0,405.

Приклад. На станції відправлення є 8 замовлень на відправку товару: п'ять – усередині країни, а три – на експорт. Яка ймовірність того, що два випадково вибраних замовлення виявляться призначеними для вжитку усередині країни?

Розв’язання. Подія А = {перше узяте випадкове замовлення призначене для внутрішнього вжитку }. Подія В = {друге теж призначене для внутрішнього вжитку}. Нам необхідно знайти ймовірність Тоді за теоремою множення ймовірностей залежних подій маємо

.

Приклад. В урні 5 білих, 4 чорних, 3 синіх кулі. Кожне випробування полягає в тому, що навмання витягують одну кулю, не повертаючи її в урну. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з'явиться біла куля, при другому – чорна, при третьому – синя.

Розв’язання. Позначимо події

А = {при першому випробуванні з'явиться біла куля},

В = {при другому випробуванні з'явиться чорна куля},

C = {при третьому випробуванні з'явиться синя куля}.

Оскільки повинні відбутися всі події, то мова йде про добуток подій АВС. Крім того, події А, В, С залежні, бо друга куля витягується з тих, що залишилися після відбору першої.

Ймовірність подій А, В, С визначимо за формулою (1.1). Всього в урні n= 12 куль. Виходячи з умови, . Оскільки одну кулю вийняли, то в урні залишилося 11 куль і . Аналогічно . За теоремою множення ймовірностей отримаємо:

.

 

 

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи.

Р (А+ В) = Р(А)+ Р(В) – Р(АВ) (1.13)

 

Приклад. Ймовірність отримання прибутку від першої операції дорівнює 0,7, від другої – 0,8. Знайти ймовірність отримання прибутку при підписанні контрактів.

Розв’язання. Позначимо

А = {прибуток від першої операції},

В = {прибуток від другої операції}.

Прибуток буде отриманий від першої, або другої, або від обох операцій, тобто відбудеться подія А+В. Ймовірність отримання прибутку від кожної операції не залежить від результату іншої. Тому події А і В незалежні і сумісні. За теоремою додавання ймовірностей сумісних подій, маємо:

Р (А+ В) = Р(А)+ Р(В) – Р(АВ)= 0,8 + 0,7 – = 0,94.

 

Теорема (ймовірністьпояви принаймні однієї події). Ймовірність появи хоч би однієї з подій , ,…, незалежних в сукупності дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій , ,…,

(1.14)

Якщо події , ,…, мають однакову ймовірність р, тоді ймовірність появи хоч би однієї з подій , ,…,

Система подій , ,…, називається повною групою подій для даного випробування, якщо будь-яким його результатом є одна і лише одна подія цієї групи. Іншими словами, для повної групи виконуються умови:

1) подія достовірна;

2) події і (i ¹ j) попарно несумісні.

Сума ймовірностей подій повної групи дорівнює одиниці.

 

Приклад. Ймовірності повернення позики в банк трьома клієнтами відповідно дорівнюють: ; ; . Знайти ймовірність повернення хоча б однієї позики.

Розв’язання. Позначимо подію А = {повернення хоч би однієї позики}.

Знаходимо ймовірність неповернення позики для кожного клієнта: ; ; . Застосовуючи формулу (1.14), отримаємо: .

 

Приклад. Вакансії, що пропонуються безробітним біржею праці, задовольняють першому безробітному з ймовірністю 0,02, другому – з ймовірністю 0,05, а третьому – з ймовірністю 0,1.

Яка ймовірність того, що:

- усі три знайдуть роботу;

- тільки один знайде роботу;

- тільки два знайдуть роботу;

- не менш як два безробітних знайдуть роботу;

- принаймні один.

Розв’язання.

1) Подія А = {усі три знайдуть роботу}.

Цю подію можна подати як добуток трьох подій де і -тий безробітний знайде роботу. Ймовірність події А обчислюємо так:

2)Нехай згідно з умовою можуть відбутися події , які полягають відповідно в тому, що перший, другий і третій безробітні знайдуть роботу.

Подія В = {тільки один із трьох безробітних знайде роботу}.

Цю подію можна подати так:
Групи подій, сумою яких є подія В, несумісні між собою, а події в кожній групі незалежні. Тому ймовірність події В обчислимо так:

3) Подія С = {тільки два із трьох безробітних знайдуть роботу}. Подамо цю подію через події та протилежні до них:

Подію С подано як суму несумісних груп подій. У кожній групі події незалежні. Знайдемо ймовірність події С:

4) Нехай подія D = {серед трьох безробітних не менш як два знайдуть роботу}. Тоді її можна подати як суму двох подій: = {серед трьох безробітних два знайдуть роботу і один не знайде} і А = {усі три знайдуть роботу}.Тому маємо:

5) Подія К = {із трьох безробітних принаймні один знайде роботу}. Протилежна подія - «усі три безробітних не знайдуть роботу». Ймовірність цієї події

або .

 

Питання для самоконтролю

1. Сформулювати теореми додавання ймовірностей для несумісних і сумісних подій.

2. Які випадкові події називаються:

а) незалежними в сукупності;

б) попарно незалежними?

3. Дати означення умовної ймовірності випадкової події.

4. Сформулювати теореми множення ймовірностей для залежних і незалежних подій.

5. Записати формулу обчислення ймовірності появи принаймні однієї з п несумісних подій.

Завдання 2

2.1. Для отримання кредиту підприємець звертається до двох банків. Ймовірність того, що перший банк не відмовить йому в наданні кредиту, становить 0,7, другий – 0,85. Знайти ймовірність того, що: а) перший або другий банк дасть згоду на кредитування; б) обидва банки відмовляться надати кредит.

2.2. Ймовірність того, що ціна окремої акції зростатиме протягом ділового дня дорівнює 0,4. Якщо природа зміни ціни будь-якого дня є незалежною від того, що сталося попереднього дня (днів), то яка ймовірність того, що ціна: а) зростатиме чотири дні підряд? б) зростатиме два з трьох днів?

2.3. З партії виробів товарознавець навмання відбирає вироби вищого сорту. Ймовірність того, що вибрана річ виявиться вищого сорту дорівнює 0,8; першого сорту – 0,7; другого сорту – 0,5. Знайти ймовірність того, що з трьох наугад відібраних виробів будуть: а) лише два вищого сорту; б) всі різні.

2.4. У двох із 14 складених касиром рахунків є помилки. Ревізор вирішив перевірити навмання 5 рахунків. Яка ймовірність, що помилки будуть виявлені менш ніж в двох?

2.5. Два бухгалтери обробляють рівну кількість рахунків. Ймовірність того, що перший бухгалтер допустить помилку, дорівнює 0,005, для другого ця ймовірність дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що при перевірці рахунків: а) лише перший бухгалтер допустив помилку; б) помилки допущені не були.

2.6. Податкова декларація на прибуток може перевірятися районною або обласною податковою адміністрацією. Ймовірність того, що податкова декларація перевірятиметься обласною адміністрацією – 0,05, районною – 0,04. Рішення щодо перевірки на обласному і районному рівнях приймаються незалежно: а) яка ймовірність бути перевіреним обома адміністраціями? б) яка ймовірність пройти тільки районну перевірку? в) яка ймовірність не бути перевіреним?

2.7. Ймовірність отримати прибуток з акцій компаній А, В і С для акціонера відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,5. Знайти ймовірність того, що: а) лише один вид акцій складе прибуток акціонера, б) хоча б один вид акцій принесе прибуток їх володареві.

2.8. Ймовірність банкрутства для першої фірми - це додатний розв’язок рівняння для другої фірми ця ймовірність на 25 % більша. Знайти ймовірність того, що із двох фірм збанкрутує: а) лише одна, б) хоча б одна.

2.9. Ймовірність своєчасної сплати податків для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого - 0,6, для третього - 2/3. Визначити ймовірність своєчасної сплати податків а) не більше ніж одним підприємством; б) тільки одним підприємством.

2.10. В об’єднання входять три підприємства. Ймовірність виконати план для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого – 0,9, для третього – 0,85. Знайти ймовірність таких подій: а) договір виконає лише одне підприємство; б) договір виконають всі підприємства.

2.11. Ймовірність прибуткової діяльності для першої фірми дорівнює 0,7, для другої - 0,5, для третьої ця ймовірність у три рази менша від суми ймовірностей для першої та другої фірм. Знайти ймовірність того, що прибутковими будуть а) дві фірми; б) хоча б одна фірма.

2.12. На курсах підвищення кваліфікації бухгалтерів навчають визначати правильність оформлення накладної. Для перевірки викладач пропонує перевірити 12 накладних, 5 з яких містять помилки. Навмання вибирають три накладних. Яка ймовірність того, що з трьох накладних не менше двох з помилками?

2.13. Надійність першого банку – 0,95; для другого – 0,8; для третього – 0,85. Підприємець зробив вклад в усі три банки. Знайти ймовірність того, що підприємцеві повернуть вклад: а) два банки; б) хоча б один банк.

2.14. Ймовірність виконання договору для першого підприємства становить 3/5, для другого ця ймовірність є розв’язком рівняння Визначити ймовірність виконання договору: а) одним підприємством; б) хоча б одним підприємством.

2.15. Ймовірність повного розрахунку за енергоносії для першого заводу дорівнює 0,5, для другого - на 20 % більша. Знайти ймовірність своєчасної сплати за енергоносії: а) одним заводом; б) двома заводами.

2.16. Ймовірність виконання договору для першої фірми є розв’язком рівняння , для другої ця ймовірність дорівнює 0,8. Яка ймовірність виконання договору не більше ніж однією фірмою? Обома фірмами?

2.17. Ймовірність повної сплати податків для першого підприємства 4/5, для другого ця ймовірність задовольняє рівнянню . Знайти ймовірність повної сплати податків одним підприємством.

2.18. Ймовірність банкрутства для першої фабрики дорівнює 0,2, для другої - на 50 % більша ніж для першої, для третьої дана ймовірність є розв’язком рівняння . Визначити ймовірність банкрутства тільки однієї фабрики.

2.19. Ймовірність виконання договору для першого підприємства 2/5, для другого - 0,8, для третього ця ймовірність становить 60 % від суми ймовірностей першого та другого підприємств. Знайти ймовірність виконання договору тільки двома підприємствами.

2.20. Ймовірність того, що в певний день торгівельній базі буде потрібна двухтонна машина, дорівнює 0,9, п'ятитонна – 0,7. Визначити ймовірність того, що торгівельній базі буде потрібна: а) двухтонна і п'ятитонна машина; б) жодна з них; в) хоча б одна автомашина.

2.21. Перша фірма може одержати заданий прибуток з ймовірністю 0,7, для другої ця ймовірність є розв’язком рівняння Визначити ймовірність одержання заданого прибутку: а) принаймні однією фірмою, б) тільки однією фірмою.

2.22. Ймовірність ліквідації заборгованості для першого заводу дорівнює 6/7, для другого - 3/4, для третього - 0,8. Знайти ймовірність ліквідації заборгованості хоча б двома заводами.

2.23. Ймовірність того, що податкова інспекція пред'явить штраф першому підприємству – 0,2, другому – 0,3, третьому – 0,15. Знайти ймовірність того, що будуть оштрафовані: а) три підприємства; б) два підприємства.

2.24. Технологічний процес складається з декількох операцій. Ймовірність того, що під час першої операції виріб отримає пошкодження, дорівнює 0,1, а під час другої операції – 0,05. Яка ймовірність того, що після двох операцій виріб виявиться а) пошкодженим; б) непошкодженим?

2.25. Банк може видати кредит одному з трьох клієнтів з ймовірністю відповідно. Знайти ймовірність того, що кредит отримає: а) лише один клієнт; б) усі клієнти.

2.26. Ймовірність своєчасного складання звіту для першого економіста дорівнює 0,9, для другого ця ймовірність є додатним коренем рівняння Яка ймовірність несвоєчасного складання звіту двома економістами.

2.27. Заводом відправлена автомашина за різними матеріалами на чотири бази. Ймовірність наявності потрібного матеріалу на першій базі дорівнює 0,9, на другій – 0,95, на третій – 0,8, на четвертій – 0,6. Знайти ймовірність того, що лише на одній базі не виявиться потрібного матеріалу.

2.28. Ймовірності своєчасного повернення кредитів кожним з трьох позичальників банку відповідно дорівнюють: 0,6; 0,9; 0,7. Знайти ймовірність наступних подій: а) лише два позичальники повернуть кредит своєчасно; б) хоча б один з позичальників поверне кредит своєчасно.

2.29. Ймовірності виконання договору для першого та другого підприємств задовольняють системі рівнянь

Знайти ймовірність виконання договору тільки одним підприємством.

2.30. В об’єднання входять три підприємства. Ймовірність виконати план для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого – 0,9, для третього – 0,85. Знайти ймовірність таких подій: а) договір виконують 2 підприємства; б) договір не виконає жодне підприємство.