Формула повної ймовірності. Формули Байєса. Розрахунок надійності простих технічних систем

 

Ймовірність події А, яка може відбутися при умові появи однієї з подій (гіпотез) H ₁, H ₂, …, H_n, що утворюють повну групу,обчислюється за формулою повної ймовірності

,

де Р (H_і) - ймовірність гіпотези H_і , (A) - умовна ймовірність події А при цій гіпотезі.

Оскільки події H ₁, H ₂, …, H_n утворюють повну групу подій, то

Якщо ймовірність події H_k до проведення досліду (апріорна ймовірність) дорівнювала P (H_k), а в результаті досліду відбулась подія А, то умовна ймовірність гіпотези

(апостеріорна ймовірність) з урахуванням появи події А обчислюється за формулою Байєса

.

Нехай технічна система складається з двох елементів, які пра­цюють і виходять з ладу незалежно один від одного. Введемо позна­чення для подій

А_і = “безвідмовна робота протягом часу Т і -го елемента” (і = 1, 2),

А = “безвідмовна робота протягом часу Т системи”.

Ймовірність р_і = Р (А_і) будемо називати надійністю і -го еле­мента
(і = 1, 2), а ймовірність р = Р (А) називатимемо надій­ністю системи.

1) Якщо відмова системи відбувається при відмові хоч одного еле­мента, то це відповідає послідовному з’єднанню елементів (рис. 3).

Очевидно, що в цьому випадку А = А ₁ А ₂ і надійність системи обчислюється за формулою

р = Р (А) = Р (А ₁ А ₂) = Р (А ₁) Р (А ₂) = р ₁ р ₂,

або р = р ₁ р ₂.

Якщо відмова системи відбувається при одночасній відмові обох елементів, то це відповідає паралельному з’єднанню еле­ментів (рис. 4). В цьому випадку А = А ₁ + А ₂ і надійність систе­ми обчислюється за формулою

 

р = Р (А) = Р (А ₁ + А ₂) = Р (А ₁) + Р (А ₂) – Р (А ₁ А ₂) =

= Р (А ₁) + Р (А ₂) – Р (А ₁) Р (А ₂) = р ₁ + р ₂ – р ₁ р ₂,

або р = р ₁+ р ₂ - р ₁ р ₂.

 

Аналіз більш складних технічних систем та обчислення їх надійності проводять за допомогою теорем додавання і множення ймовірностей.

 

Опитування з теорії

1. Записати формулу повної ймовірності.

2. Які умови мають виконуватися для подій (гіпотез) H ₁, H ₂, …, H_n?

3. Записати формулу Байєса.

4. В чому полягає відмінність між апріорною та апостеріорною ймовірністю гіпотези?

5. Що називають надійністю деталі, ділянки електричного кола, елемента технічної системи і т.і.?

6. Як обчислюється надійність ділянки системи з послідовно з”єднаними та з паралельно з”єднаними елементами?

 

2) Задача 1. Прилад може належати до однієї з трьох партій з імовірнос­тями р ₁, р ₂ і р ₃, де р ₁ = 0,2, р ₂ = 0,5 і р ₃ = 0,3. Ймовірність того, що прилад пропрацює без відмов заданий час для цих партій відповідно дорівнює 0,8; 0,6 і 0,5. Обчислити ймовірність того, що навмання взятий прилад пропрацює заданий час.

Розв”язання. Введемо позначення подій

А = “ прилад пропрацює заданий час “,

H_і = “ прилад належить до і -ї партії” (і = 1, 2, 3).

Події H ₁, H ₂, H ₃ утворюють повну групу подій, тому можна за­стосувати формулу повної ймовірності

Р (А) = Р (H ₁) + Р (H ₂) + Р (H ₃) .

З умови задачі маємо

Отже, шукана ймовірність дорівнює

Р (А) = 0,2·0,8 + 0,5·0,6 + 0,3·0,5 = 0,61.

 

Задача 2. На склад надходять однакові радіодеталі, виготовлені на двох дільницях цеху. Відомо, що з пер­шої дільниці поступає 35 % деталей, з другої – 65 %.Ймовірність виготовлення деталі вищої якості на першій дільниці дорівнює 0,9, на другій – 0,8. Знайти ймовірність того, що дві навмання взяті радіодеталі будуть вищої якості.

Розв”язання. Введемо позначення подій

А = “ взяті зі складу дві радіодеталі вищої якості “,

А ₁ = “ взята навмання радіодеталь виготовлена на першій дільниці “,

А ₂ = “ взята навмання радіодеталь виготовлена на другій дільниці “.

Подія А може відбутись при виконанні однієї з наступних гіпотез:

H ₁= “ обидві взяті деталі виготовлені на першій дільниці ”;

H ₂= “ обидві взяті деталі виготовлені на другій дільниці”;

H ₃= “одна взята радіодеталь виготовлена на першій дільниці, а друга на другій дільниці”.

З умови задачі знаходимо ймовірності гіпотез і умовні ймовірності події А при даних гіпотезах:

Р (H ₁) = Р (А ₁ А ₁) = 0,35×0,35 = 0,1225;

Р (H ₂) = Р (А ₂ А ₂) = 0,65×0,65 = 0,4225;

Р (H ₃) = Р (А ₁ А ₂) + Р (А ₂ А ₁) = 2×0,35×0,65 = 0,455;

0,9×0,9 =0,81; 0,8×0,8 =0,64; 0,9×0,8 =0,72.

За формулою повної ймовірності знаходимо ймовірність події А

Р (А) = Р (H ₁) + Р (H ₂) + Р (H ₃) = 0,1225×0,81 +

+ 0,4225×0,64 + 0,455×0,72» 0,7.

Задача 3. Запобіжник в електричному колі відмовляє при короткому замиканні в електронній лампі з імовірністю 0,4, при замиканні в обмотці трансформатора – з імовірність 0,6, при пробої конденсатора – з імовірністю 0,8, з інших причин – з імовірністю 0,3.

Апріорні ймовірності цих подій дорівнюють відповідно 0,25; 0,15; 0,32; 0,28. Встановити найбільш імовірну причину відмови запобіжника після того, як така подія відбулася.

Розв”язання. Нехай подія А полягає в тому, що запобіжник відмовив. Можна зробити чотири припущення (гіпотези) щодо причин відмови запобіжника:

H ₁= “ коротке замикання в електронній лампі ”;

H ₂= “ замикання в обмотці трансформатора ”;

H ₃= “ пробій конденсатора ”;

H ₄= “ інші причини ”.

Події H ₁, H ₂, H ₃, H ₄ утворюють повну групу подій. За умовою задачі

Р (H ₁) = 0,25; Р (H ₂) = 0,15; Р (H ₃) = 0,32; Р (H ₄) = 0,28;

0,4; 0,6; 0,8; 0,3.

Нам необхідно знайти і порівняти нові ймовірності гіпотез H ₁, H ₂, H ₃, H ₄ приумові, що подія А відбулась. За формулами Байєса маємо

 

3)

Порівнюючи знайдені ймовірності, бачимо, що найбільшою з них є ймовірність Р_А (H ₃). Таким чином, найбільш імовірно, що запобіжник відмовив внаслідок пробою конденсатора.

4) Задача 4. Визначити надійність (ймовірність безвід­мовної роботи протягом часу Т) ділянки технічної системи

5) якщо відомі ймовірності безвідмовної роботи протягом часу Т її елементів p ₁ = 0,7; p ₂ = 0,8; p ₃ = 0,8; p ₄ = 0,9.

Розв’язання. Нехай А_і = “безвідмовна робота і -го елемента про­тягом часу Т ” , А = “безвідмовна робота ділянки системи протягом часу Т ”. Тоді Р (А ₁) = р ₁ = 0,7, Р (А ₂) = Р (А ₃) = 0,8; Р (А ₄) = =0,9. Оскільки А = А ₁(А ₂+ А ₃ ) А ₄ і події А ₁, А ₂ + А ₃ , А ₄ – незалежні, то

р = Р (А) = Р [ А ₁(А ₂ + А ₃ ) А ₄] = Р (А ₁) Р (А ₂ + А ₃ ) Р (А ₄) =

= Р (А ₁) Р (А ₄) [ Р (А ₂) + Р (А ₃ ) – Р (А ₂ А ₃)] = Р (А ₁) Р (А ₄) [ Р (А ₂) + Р (А ₃ ) – – Р (А ₂ ) Р (А ₃)] = 0,7×0,9(0,8 + 0,8 – 0,8²) ≈ 0,6.

Отже, шукана надійність ділянки системи р ≈ 0,6.

 

Задачі для аудиторної і самостійної роботи

1. В цеху працює 20 станків, серед яких 10 типу А, 6 типу В і 4 типу С. Ймовірність того, що якість деталі буде високою, для цих станків відповідно дорівнює 0,9; 0,8 і 0,7. Який відсоток високо­якісних деталей випускає цех? Відповідь: 83%.

2. Прилад може працювати у двох режимах: нормальному і ненор­мальному. Нормальний режим спостерігається у 80% всіх випад­ків роботи приладу, ненормальний у 20%. Ймовірність виходу при­ладу з ладу за час Т в нормальному режимі дорівнює 0,1, в ненормаль­ному – 0,7. Знайти ймовірність виходу приладу з ладу за час Т. Відповідь: 0,22.

3. В продаж надходять телевізори, виготовлені на трьох заводах. Продукція першого заводу містить 15% телевізорів з прихованим дефектом, другого – 8 % і третього - 5%. Обчислити ймовірність придбання справного телевізора, якщо в магазин надійшло 40% телевізорів з першого заводу, 25% з другого і 35% з третього.

Відповідь: 0,9025.

4. В 15-ти екзаменаційних білетах міститься по два питання, які не повторюються. Студент знає 25 питань. Обчислити ймовірність того, що студент складе екзамен, якщо для цього достатньо відповісти на два питання з одного білета, або на одне питання з першого білета і на додаткове питання з другого білета. Відповідь: 190/203.

5. Два станки-автомати виготовляють однакові деталі, які поступа­ють на один конвеєр. Продуктивність першого станка вдвічі біль­ша за продуктивність другого. Перший станок виготовляє в се­редньому 60% деталей відмінної якості, другий-84%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилась відмінної якості. Знайти ймовір­ність того, що ця деталь виготовлена першим станком. Відповідь: 10/17.

6. Число вантажних машин, що їдуть по шосе, на якому стоїть АЗС, відноситься до числа легкових авто, що їдуть по тому ж шосе, як 3:2. Ймовірність того, що буде заправлятись вантажна машина, дорівнює 0,1; для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. На заправку під’їхав автомобіль. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина. Відповідь: 3/7.

7. Прилад складається з двох вузлів, робота кожного необхідна для роботи приладу в цілому. Ймовірність безвідмовної роботи за час Т для першого вузла дорівнює р ₁, для другого – р ₂. Прилад ви­про­бовувався протягом часу Т, в результаті чого виявлено, що він вийшов з ладу. Знайти ймовірність того, що відмовив тільки пер­ший вузол, а другий працював без відмов. Відповідь: [(1 – p ₁) p ₂]/(1 – p ₁ p ₂).

8. В групі з 10 студентів, що прийшли на екзамен, 3 підготовлені від­мінно, 4 – добре, 2 – задовільно, 1 – погано. В екзаменаційних бі­летах є 20 питань. Відмінно підготовлений студент може відпо­вісти на всі 20 питань, добре підготовлений – на 16, задовільно – на 10, погано підготовлений – на 5. Викликаний навмання студент відповів на три випадково заданих питання. Знайти ймовірність того,що цей студент підготовлений: а) відмінно; б) погано. Відповідь: a) 0,58; б)0,002.

 

6) В задачах 9 – 11 визначити надійність (ймовірність безвід­мовної роботи протягом часу Т) ділянки технічної системи, якщо відомі ймовірності р ₁, р ₂, … безвідмовної роботи протягом часу Т 1-го, 2-го, … її елементів. Вважається, що вихід з ладу протягом часу Т окремих елементів системи – незалежні події. Відмова ділянки по­слі­довно з’єднаних елементів відбувається при відмові хоч одного з них. Ділянка паралельно з’єднаних елементів виходить з ладу, якщо від­мовляють всі її елементи.

7) 9. p ₁ = 0,8; p ₂ = 0,9; p ₃ = 0,8; p ₄ = 0,9; p ₅=0,7.

Відповідь: 0,976.

10. p ₁ = 0,7; p ₂ = 0,7; p ₃ = 0,7; p ₄ = 0,8; p ₅ = 0,8.

Відповідь: 0,934.

11. p ₁ = 0,9; p ₂ = 0,8; p ₃ = 0,8; p ₄ = 0,7; p ₅ = 0,9.

Відповідь: 0,96.

12. Якою має бути надійність кожного з однакових вузлів, щоб на­дійність блоку з чотирьох послідовно з’єднаних вузлів була не меншою за 0,9? Відповідь: ³0,97.

13. Надійність приладу р = 0,5. Скільки резервних приладів слід під­ключити паралельно до кола, щоб надійність такої системи дорів­нювала 0,9375? Відповідь: 4.

 

Практичне заняття 4