Неперервні випадкові величини

 

Серед випадкових величин виділяють дискретні (див. заняття 5) та неперервні випадкові величини.

Неперервна випадкова величина відрізняється від дискретної тим, що вона приймає всі значенняз деякого проміжку (скінченного чи нескінченного). Але не всяка така випадкова величина називається неперервною.

Випадкова величина називається неперервною, якщо її функцію розподілу можна представити у вигляді , де –деяка функція, яку називають щільністю розподілу ймовірностей (диференціальною функцією розподілу).

Якщо диференційовна і похідна її обмежена, то Х неперервна і має щільність розподілу ймовірностей . Графік функції називається кривою розподілу ймовірностей.

Функція розподілу має такі основні властивості:

1) неперервна зліва; 2) неспадна на ;

3) .

Кожна функція, яка має властивості 1), 2), 3), є функцією розподілу деякої випадкової величини.

 

Властивості щільності розподілу ймовірностей

1. для всіх . 2. .

3. .

Зауваження. Якщо всі можливі значення випадкової величини належать проміжку , то .

Основі числові характеристики неперервної випадкової величини

Математичне сподівання М (Х), дисперсія D (X)і середнє квадратичне відхилення s(Х) неперервної випадкової величини Х, заданої щільністю розподілу , обчислюються за формулами:

(при умові, що цей інтеграл абсолютно збіжний),

,

.

Якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать відрізку , то мають місце формули

; =

Основні закони розподілу неперервних випадкових величин

1. Рівномірний розподіл. Випадкова величина розподілена

рівномірно на проміжку , якщо всі її можливі значення належать цьому проміжку і .

2. Показниковий розподіл. Випадкова величина розподілена за показниковим законом з параметром , якщо щільність розподілу її має вигляд

3. Нормальний розподіл. Випадкову величину називають нормально розподіленою з параметрами а і , якщо щільність її розподілу має вигляд .

Графік цієї функції називають кривою Гаусса.

Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла друга величина. Інакше величини називаються залежними .

Кілька випадкових величин називаються взаємнонезалежними, якщо закони розподілу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі значення прийняли інші величини.

 

Опитування з теорії

1. Дати означення неперервної випадкової величини.

2. Дати означення функції розподілу неперервної випадкової величини і навести її основні властивості.

3. Що таке щільність розподілу неперервної випадкової величини і які її властивості.

4. Навести основні розподіли неперервної випадкової величини.

5. Які основні числові характеристики неперервної випадкової величини, як вони обчислюються?

 

Задача 1. Випадкова величина Х задана функцією розподілу .

Знайти: 1) щільність розподілу 2) ймовірність попадання Х в інтервал ; 3) .

Розв’язання. 1)Для знаходження щільності розподілу використаємо формулу . Оскільки похідна сталої дорівнює нулю, а , то .

2) Знайдемо ймовірність попадання Х в інтервал .

3) ;

 

;

Задача 2. Випадкова величина Х задана функцією розподілу .

Знайти параметр щільність розподілу .

Розв’язання. Знаходимо щільність розподілу .

Враховуючи вигляд та властивості щільності розподілу, дістанемо . Отже, а =1,

, .

Задача 3. Задана щільність розподілу неперервної випадкової величини . Знайти параметр а, функцію розподілу .

Розв’язання. Визначимо параметр а, використовуючи властивість 2 щільності розподілу:

, . Тепер

Задача 4. Випадкова величина Х має щільність розподілу . Обчислити ймовірність .

Розв’язання. За властивістю 3 щільності розподілу

Задача 5. Нехай – функція розподілу випадкової величини Х. Знайти функцію розподілу і щільність розподілу випадкової величини .

Розв’язання. Позначимо шукану функцію розподілу

.

Аналогічно позначимо шукану щільність розподілу

.

Тут ми використали, що і формулу для похідної складеної функції.

Задача 6. Неперервна випадкова величина Х має функцію розподілу . Знайти функцію розподілу випадкової величини .

Розв’язання. Позначимо шукану функцію розподілу

= .

Задача 7. Щільність розподілу неперервної випадкової величини Х є . Знайти щільність розподілу випадкової величини .

Розв’язання. Позначимо шукану щільність розподілу . Маємо , де – функція розподілу .Знайдемо : . Тепер

Задача 8. Які з поданих нижче функцій є функціями розподілу:

а) ; б)

Розв’язання. а)Перевіряємо, чи виконуються основні властивості функції розподілу 1 – 3. – неперервна інеспадна функція, оскільки . Знайдемо границю , тобто вл.3 не виконується.

б) Зауважимо, що ця функція є неперервною у всій області визначення, тому вл.1 виконується. Покажемо, що вона неспадна (вл.2):

при .

Властивість 3) виконується, оскільки

Отже, дана функція є функцією розподілу.

Задача 9. Щільність розподілу випадкової величини Х дорівнює . Обчислити:

а) коефіцієнт а; б) функцію розподілу; в) .

Розв’язання. а) Знайдемо параметр а: ,

б) Знайдемо функцію розподілу: при

при маємо .

в) оскільки функція xf (x) непарна і інтеграл береться по симетричному відносно початку координат проміжку.

Задача 10. Неперервна випадкова величина задана щільністю розподілу .

Знайти функцію розподілу , . Побудувати графіки функцій .

Розв’язання За означенням . Якщо . При маємо . При маємо

.

Таким чином, .

;

;

.

Графіки і представлені на рисунках

Щільність розподілу f(x)

 

Функція розподілу F(x)

Задача 11. Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку . Знайти щільність розподілу випадкової величини ,

Розв’язання. Позначимо через відповідно щільність розподілу і функцію розподілу . Маємо і . .

;

Задача 12. Радіус круга – рівномірно розподілена величина Х на відрізку . Знайти щільність і функцію розподілу площі круга.

Розв’язання. Позначимо площу круга ,її функцію розподілу і щільність розподілу відповідно і . Тоді при і при . .

. Звідки . Знайдемо функцію розподілу: , . Остаточно .

 

Задачі для аудиторної та самостійної роботи

1. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу . Знайти: 1) функцію розподілу 2) ймовірність попадання Х в інтервал ; 3) .

Відповідь: ; .

2. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу , де . Знайти: 1) функцію розподілу 2) ймовірність попадання Х в інтервал ; 3) . Відповідь: ; .

 

3. При яких значеннях параметрів функція

буде функцією розподілу неперервної випадкової величини?

Відповідь: .

4. В умовах попередньої задачі знайти щільність розподілу, . Відповідь: .

5. Випадкова величина має щільність розподілу . Знайти щільність розподілу випадкової величини .

Відповідь: .

6. В умовах попередньої задачі знайти щільність розподілу випадкової величини . Відповідь: .
7. Діаметр круга – неперервна випадкова величина, рівномірно розподілена на відрізку . Знайти щільність розподілу площі круга і обчислити ймовірність .

Відповідь: ; і 0 в інших випадках.
8. В умовах попередньої задачі обчислити .

Відповідь: .

9. Показати, що функція є щільністю розподілу випадкової величини. Знайти .

Відповідь: .

10. Для рівномірно розподіленої величини на відрізку знайти функцію розподілу випадкової величини .

Відповідь: .

11 В умовах попередньої задачі знайти щільність розподілу , .

Відповідь: .

12. Показати, що функція є функцією розподілу неперервної випадкової величини. Знайти відповідну щільність розподілу. Відповідь: .

 

Практичне заняття 7