Истинное значение измеряемой величины

 

Приведенные выше данные показывают, что, строго говоря, измерения абсолютно точно истинного значения любой величины невозможно в принципе. Поэтому более корректный способ представления результата любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины, а также интервал, в котором, как он уверен, она лежит. Таким образом, задача экспериментатора состоит в том, чтобы уменьшить влияние погрешностей за счет правильной техники измерений, сделать правильную наилучшую оценку результата измерения и величины погрешности этого результата.

Рассмотрим случай, когда систематические ошибки отсутствуют, а имеют место лишь случайные погрешности. Предположим, что нами произведено n измерений некоторой величины х, при этом получены n значений этой величины х₁ х₂ х_i….х_n. Округлим эти величины с учетом приборной ошибки и расположим в порядке возрастания. Определим в полученном множестве значений количество повторов (выпадений) отдельных результатов - ∆n_i и вычислим вероятности их выпадения по формуле:

(6)

 

Полученные результаты также внесем в таблицу и построим на их основе график (рис.1) зависимости вероятности повторов отдельных результатов измерения от их величины - х_i, т.е. функцию .

 

P_max

х_i

х_в.

 

Рис. 1.

 

Из полученного рис.1 видно, что наиболее вероятным является некоторый результат х_i= х_в, которому соответствует максимальное значение вероятности выпадения P_max.

Если этот результат (х_в) принять за истинный, то абсолютную ошибку каждого измерения ∆х_i, можно найти из выражения: ∆х_i= х_i- х_в и более того истинный результат измерения, очевидно, должен удовлетворять условию:

 

∆х_i= х_i- х_в=0 (7)

 

В этом можно убедиться, рассчитав абсолютные ошибки всех измерений, числа повторов каждой ошибки ∆n₀ и вероятности выпадения ошибок

Затем построим зависимость вероятности выпадения результатов измерений P от (х_i-z) для трех значений z (z<x_в, z=x_в, z>x_в). На рисунке 2 представлена эта зависимость, которая представляет собой туже зависимость P, что на рис.1. (и получена из тех же результатов), но сдвинутая на величину z влево по оси абсцисс. Ясно, что P имеет максимум при z=x_в в нуле, а при других значениях z максимум отличается от нуля.

Тогда, если рассмотреть функцию

где x_i – результат i-го измерения, n – число измерений, то о её свойствах можно сказать следующее. Функция y(x) всегда положительна, так как является суммой квадратов. Она имеет минимум при x=x_в, что следует из данных представленных на рис.2. Качественно функция y(x) изображена на рисунке 3.

 

 

 

Известно, что для нахождения экстремума функции необходимо приравнять нулю ее производную. Возьмем производную от функции (4) и приравняем её нулю.

 

Тогда получаем:

 

(10)

 

Таким образом, истинное значение наиболее близко находится к наиболее вероятному значению x_в, которое равно среднему арифметическому , получаемое от нескольких идентичных измерений.

 

Обработка результатов прямого измерения

 

Учитывая вышеизложенное, можно рекомендовать следующий алгоритм обработки результатов прямых измерений.

1. Из-за наличия погрешностей никогда не следует ограничиваться одиночным измерением, а всегда следует проводить несколько опытов желательно нечетное число (три, пять).

2. Определить наилучшее значение измеряемой величины х, как среднее арифметическое из всех результатов измерений: х₁, х₂... х_i... х_n по формуле:

 

(11)

 

3. Вычислить случайную абсолютную ошибку каждого измерения по уравнению (3):

 

,

 

а затем среднюю абсолютную погрешность:

(12)

 

4. Определить приборную погрешность, используя паспортные данные прибора или, при их отсутствии, принять за погрешность половину наименьшего деления шкалы стрелочного прибора или наименьший разряд цифрового прибора.

5. Сравнить приборную и среднюю абсолютную погрешность, выбрать большую из них, приняв за полную погрешность результаты измерения.

Окончательный результат можно представить в виде: Это означает, что истинное значение лежит в интервале .

 

Отработка результатов косвенных измерений

Метод частных производных

Пусть интересующая нас величина y является некоторой функцией других величин x_l, x₂, x₃ и т.д., так что

 

у = ƒ(x_l, x₂, x₃...) (13)

 

причем величины x_l, x₂, x₃... мы можем измерять путем прямых измерений. В этом случае мы для определения величин и ∆ сначала измеряем все величины, от которых зависит у (x_l, x₂, x₃...) по методике, изложенной в предыдущем параграфе. В результате чего определяем , а также полные погрешности, в определении этих величин, которые обозначим как Наилучшее (среднее) значение косвенно определяемой величины у находится при подстановке в (13) наилучших (средних) значений

 

(14)

 

Для определения полной абсолютной погрешности величины у необходимо выяснить, как изменяется эта величина при относительно небольших изменениях всех величин, от которых зависит величина у. Это можно сделать с помощью полного дифференциала. Интересующее нас изменение величины

 

(15)

 

где - обозначают частные производные от функции f по соответствующим переменным. Эти частные производные вычисляются при наилучших (средних) значениях и т.д.

От бесконечно малых изменений величин dу, dx_l, dx₂, dx₃... в (15) перейдем к конечным значениям их изменений (погрешностям) ∆у, ∆x_l, ∆x₂, ∆x₃...

 

(16)

 

где ∆y - искомая полная погрешность величины - значения соответствующих частных производных, вычисленных при наилучших (средних) значениях входящих в них величин; ∆x_l, ∆x₂, ∆x₃... - полные погрешности определения соответствующих величин. Также необходимо в (16) заменить знаки '-' между слагаемыми на знаки '+', поскольку формула (16) является оценкой абсолютной погрешности по максимуму (по наихудшему случаю, когда все ошибки складываются).

Под частной производной функции ƒ(x, y, z) по переменной X понимают величину:

 

(17)

 

т.е. это производная, которая вычисляется в предположении, что все переменные, кроме той, по которой берется производная, являются постоянными величинами. Например: пусть . Тогда

 

После вычисления абсолютной ошибки ∆у по формуле (16) находят относительную ошибку как

(17)

Этот способ удобен в том случае, когда представляет собой алгебраическую сумму.