Елементи кореляційного аналізу. Побудова вибіркових рівнянь регресії. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Кореляційне відношення

 

Залежність між двома випадковими величинами, за якої при зміні однієї з величин змінюється середнє зна­чення другої, називається кореляційною залежністю. Кореляційну залежність між випадковими величинами Х і Y описують функції регресії (див. практ. заняття 8):

- функція регресії Y на Х,

- функція регресії Х на Y.

Якщо функції регресії лінійні, то кореляцію називають лінійною. Інакше кореляція називається нелінійною.

До основних задач кореляційного аналізу відносяться з’ясування форми кореляційної залежності (вигляду функцій регресії) і оцінка сили кореляційної залежності між випад­ковими величинами.

Перша із вказаних задач розв’язується шляхом побудови за вибірковими даними

(x_i, y_i) (i = 1, 2, …, n) (12.1)

емпіричної функції регресії, яку підбирають так, щоб вона якомога краще відображала характерні особливості статистичних да­них. Практично ця задача збігається із задачею підбору емпіричних формул за експериментальними даними і найчастіше розв’язується методом найменших квадратів.

Якщо точки M_i (x_i, y_i), побудовані за вибіркою (12.1) в системі координат XOY, гру­пу­ються навколо прямої лінії, то під­бирають лінійні функції регресії та .

Коефіцієнти a ₀, a ₁, b ₀, b ₁ цих функцій, згідно з методом найменших квадратів, обчислюють за формулами

,

(12.2)

(для спрощення замість пишемо ).

У випадку згрупованих даних відповідні формули мають вигляд

, . (12.3)

Лінійні рівняння регресії мають вигляд

- рівняння регресії Y на Х,

- рівняння регресії Х на Y; (12.4)

- пряма регресії Y на Х,

- пряма регресії Х на Y.

Характеристикою силу зв’язку (тісноти лінійної залежності) між складовими Х та Y двовимірної випад­кової величини (Х,Y) служить вибірковий коефіцієнт кореляції r_в , який обчислюється за формулою

(12.5)

Чим ближче | r_в | до одиниці, тим зв’язок сильніший; чим ближче | r_в | до нуля, тим зв’язок слабший.

За допомогою вибіркових характеристик , s_x, s_y та вибіркового коефіцієнта кореляції r_в рівняння прямих регресії записуються у такому вигляді

- пряма регресії Y на Х,

- пряма регресії Х на Y.

У випадку нелінійної кореляції параметри нелінійних рівнянь регресії шукають також методом найменших квадратів. Зокрема, у випадку параболічної кореляції другого порядку коефіцієнти a ₀, a ₁, а ₂ вибіркового рівняння регресії Y на Х y = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ²

знаходять із системи

(12.6)

Коефіцієнти вибіркового рівняння регресії Х на Y х = b ₀ + b ₁ y + b ₂ y ²

знаходять з аналогічної системи рівнянь.

Для оцінки сили нелінійної кореляційної залежності служать кореляційні відношення:

- кореляційне відношення випадкової величини Y до випадкової величини Х,

- кореляційне відношення випадкової

величини Х до випадкової величини Y, або їх вибіркові оцінки

, , (12.7)

де

, ,

, ,

, .

Вважається, що при кореляційна залежність між Х і Y відсутня; якщо , між Y та Х існує майже функціональна залеж­ність; при кореляційна залежність між Y та Х тісна.

 

Опитування з теорії

 

1.Яка залежність між двома випадковими величинами називається кореляційною? Дати означення функцій регресії двох випадкових величин.

2.Як встановлюють форму кореляційної залежності за вибірковими даними? Як знаходять параметри рівнянь регресії?

3.Записати вибіркові рівняння прямих регресії.

4.Записати формулу для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції. Які властивості має цей коефіцієнт?

5.Що таке кореляційні відношення двох випадкових величин? Які властивості вони мають?

6.Записати формули для обчислення вибіркових оцінок кореляційних відношень двох випадкових величин.

 

Задача 1. Результати лабораторних аналізів десяти зразків речовини щодо вмісту компонент X та Y (у відсотках) зведені в таблицю

X
Y

Вважаючи залежність між випадковими величинами X та Y близькою до лінійної, знайти лінійні рівняння регресії Y на X та X на Y і обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції.

Розв¢язання. Для обчислення коефіцієнтів лінійних рівнянь ре­гресії (12.4) та вибіркового коефіцієнта кореляції за формулами (12.2), (12.5), знаходимо потрібні суми.

.

Тепер за формулами (12.2) маємо:

;

.

Таким чином, лінійні рівняння регресії мають вигляд

y = 2,5 x + 1,5- рівняння регресії Y на Х,

x = 0,3629 y - 0,0806 - рівняння регресії Х на Y.

Вибірковий коефіцієнт кореляції обчислюємо за формулою (12.5)

.

Задача 2. В кореляційній таблиці подані оцінки з вищої математики (Х) та фізики (Y), отримані студентами двох груп в екзаменаційну сесію. Вважаючи залежність між випадковими величинами Х та Y близькою до лінійної, знайти лінійні рівняння регресії Y на X та X на Y і обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції.

X Y					ny
nx					n = 50

Розв¢язання. Коефіцієнти лінійних рівнянь ре­гресії (12.4) знаходимо за формулами (12.3). Для цього обчислюємо потрібні суми.

.

Аналогічно знаходимо інші суми:

.

Тепер за формулами (12.3) маємо

;

.

Таким чином, лінійні рівняння регресії мають вигляд

y = 0,74 x + 1,16 - рівняння регресії Y на Х,

x = 0,76 y - 0,81 - рівняння регресії Х на Y.

Для знаходження вибіркового коефіцієнта кореляції обчислимо ще кілька сум.

Тепер за формулою (12.5) дістанемо

.

Задача 3. Результати вимірювань величин Х та Y наведені в кореляційній таблиці. Знайти вибіркову функцію регресії b ₀ + + b ₁ y + b ₂ y ²та вибір­кове кореляційне відношення .

X Y				ny
nx				n = 50

Розв¢язання. Коефіцієнти b ₀, b ₁, b ₂ вибіркової функції регресіїзнаходимо з системи, аналогічної системі (12.6)

(12.8)

Обчислюємо потрібні суми.

.

Аналогічно

.

Отже, система (12.8) має вигляд

 

50 b ₀ + 190 b ₁ + 800 b ₂ = 1524,

190 b ₀ + 800 b ₁ + 3580 b ₂ = 6946,

800 b ₀ + 3580 b ₁ + 16580 b ₂ = 32394.

Її розв¢язок, знайдений, наприклад, методом Гаусса, буде

b ₀ = - 22, b ₁= 12,267, b ₂= 0,367.

Таким чином, вибіркова функція регресії X на Y має вигляд

-22 +12,267 y + 0,367 y ².

Вибір­кове кореляційне відношення знаходимо за формулою (12.7), обчисливши попередньо всі необхідні величини.

.

=15(4 - 30,48)²+15(32,93 - 30,48)²+20(48,5 - 30,48)² =

= 17102,3;

Отже, шукане вибір­кове кореляційне відношення

.

 

Задачі для аудиторної та самостійної роботи

 

1. Знайти лінійні рівняння регресії Y на X та X на Y за вибірковими даними двовимірної випадкової величини (Х, Y):

а)	X	2,7	4,6	6,3	7,8	9,2	10,6	12,0	13,4	14,7
Y	17,0	16,2	13,3	13,0	9,7	9,9	6,2	5,8	5,7

 

б)	X	7,9	11,6	12,8	14,9	16,3	18,6	20,3	21,9	23,6
Y	13,0	22,8	24,8	28,6	31,6	38,7	40,0	44,9	43,0

Відповідь: а) y = – 1,06 x + 20,3; x = – 0,971 y + 19,477; б) y =
= 2,03 x – 1,49; x = 0,478 y + 1,17.

2. Обчислити вибірковий коефіцієнт кореляції і скласти лінійні рів­нян­ня регресії за вибіркою значень двовимірної випадкової величини:

а)	X
Y

 

б)	X
Y

 

в)	X Y					г)	X Y	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
					0,5
					0,6
					0,7
					0,8

 

д)

Інтервали зміни X Інтервали зміни Y	1 – 2	2 – 3	3 – 4	4 – 5	5 – 6	6 – 7	7 – 8	8 – 9
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80

е)

Інтервали зміни X Інтервали зміни Y	0 – 10	10 – 20	20 – 30	30 – 40	40 – 50
21 – 29
29 – 37
37 – 45
45 - 53

Відповідь: a) r_в = 0,92; y = 0,24 x + 5,42; x = 3,53 y – 11,56; б) r_в = 0,455; y = 0,57 x + 22,51; x = 0,36 y + 37,2; в) r_в = 0,75; y = 0,6 x + 1,73; x = 0,8 y + 0,79; г) r_в = – 0,83; y = – 0,83 x + 1,2; x = – 0,77 y + 1,18; д) r_в = 0,67; y = 5,16 x + 22,12; x = 0,09 y + 0,63; e) r_в = – 0,62; y = – 0,45 x + 50,48; x = – 0,84 y + + 58,33.

3. Знайти вибіркову функцію регресії а ₁ х ² + b ₁ x + c ₁ та вибір­кове кореляційне відношення за даними, наведеними в коре­ляційній таблиці:

а)	X Y				б)	X Y

Відповідь: a) = 2,94 х ²+7,27 х – 1,25; = 0,89; б) = =1,53 х ² + 1,95 х + 1; = 0,86.

4. Знайти вибіркову функцію регресії а ₂ y ² + b ₂ y + c ₂ та вибір­кове кореляційне відношення за даними, наведеними в кореля­ційній таблиці:

а)	X Y				б)	X Y

Відповідь: а) = 2,8 y ²+0,02 y + 3,18; = 0,96; б) = 2,29 y ² – – 1,25 y + 1; = 0,92.

 

Практичне заняття 13