Побудова довірчого інтервалу для середнього квадратичного відхилення

Нехай кількісна ознака Х розподілена за нормальним законом з параметрами , причому параметри а і невідомі.

На підставі вибірки знайдемо точкові оцінки параметрів а і (див. (10.2)) і розглянемо допоміжну випадкову величину , де – виправлене середнє квадратичне відхилення. Доведено, що випадкова величина розподілена за законом з

ступенями свободи. Знайдемо значення , виходячи з умов

, (10.3)

де ( – довірча ймовірність). Розв’язавши рівняння (10.3) за допомогою таблиці критичних точок розподілу (див. Додаток 5), знайдемо довірчі інтервали

, що з надійністю покриває невідому дисперсію і , який з надійністю покриває середнє квадратичне відхилення .

 

Опитування з теорії

 

1.Яка статистична оцінка називається інтервальною?

2.Що називається довірчою ймовірністю (надійністю) статистичної оцінки?

3.Як визначити довірчий інтервал дляматематичного сподівання нормального розподілу при відомому середньому квадратичному відхиленні ?

4.Як можна підвищити точність статистичної оцінки?

5. За якою формулою знаходиться мінімальний об’єм вибірки для оцінки математичного сподівання з наперед заданою точністю і надійністю ?

6. Як знайти довірчийінтервал для математичного сподівання нормального розподілупри невідомомусередньому квадратичному відхиленні ?

7. Як будується довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення?

 

Задача 1. Одним і тим самим приладом проведено 25 рівноточних вимірювань фізичної величини із середнім квадратичним відхиленням випадкових похибок вимірювання . Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання , якщо вибіркова середня . Вважати, що результати вимірювання розподілені нормально. Довірчу ймовірність прийняти за .

Розв’язання. Визначимо число за допомогою таблиці значень функції Лапласа з умови . Знаходимо . Тепер обчислимо точність оцінки : . Отже, шуканий довірчий інтервал або з надійністю покриває математичне сподівання .

Задача 2. Знайти мінімальний об’єм вибірки з генеральної сукупності, при якому з надійністю точність оцінки математичного сподівання а вибірковою середньою рівна , якщо відоме середнє квадратичне відхилення . Вважати, що генеральна сукупність нормально розподілена.

Розв’язання. Знайдемо об’єм вибірки, використовуючи формулу . Визначимо число за допомогою таблиці значень функції Лапласа з умови , тому . Знаходимо . Оскільки об’єм вибірки ціле число, потрібно взяти число n =10.

Задача 3. За даними 16 незалежних вимірювань деякої фізичної величини з відомим середнім квадратичним відхиленням знайдена вибіркова середня 25,64. Оцінити істинне значення вимірю- ваної величини з допомогою довірчого інтервалу з надійністю , вважаючи що істинне значення співпадає з математичним сподіван- ням. Вважається, що результати вимірювань розподілені нормально.

Розв’язання. З умови знаходимо . Тепер обчислимо точність оцінки : . Отже, шуканий довірчий інтервал або з надійністю покриває істинне значення фізичної величини.

Задача 4. Отримано 36 значень нормально розподіленої величини Х з відомим середнім квадратичним відхиленням . Задана точність , з якою потрібно оцінити математичне сподівання за допомогою довірчого інтервалу. Встановити надійність такої інтервальної оцінки.

Розв’язання. Визначимо число з умови , де – задані числа. Маємо . За допомогою таблиці зна- чень функції Лапласа знайдемо . Знаходимо надійність інтервальної оцінки . Отже, довірчий інтер-вал довжини з надійністю покриває математичне сподівання.

Задача 5. За даними дев’яти вимірювань деякої фізичної величини знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань

та виправлене середнє квадратичне відхилення . Оцінити істинне значення фізичної величини з надійністю .

Розв’язання. Для знаходження довірчого інтервалу для істинного значення фізичної величини знайдемо величину за відомими і (див. таблицю розподілу Стьюдента, Додаток 3): . Довірчий інтервал має вигляд або , тобто . Цей інтервал з надійністю покриває істинне значення фізичної величини.

Задача 6. З нормально розподіленої генеральної сукупності зроблена вибірка об’єму , що має вигляд

	-5	-4,5	-4	-3,5	-1,5	-1

Оцінити математичне сподівання з надійністю з допомогою довірчого інтервалу.

Розв’язання. Знайдемо середнє арифметичне ,

виправлену дисперсію і виправлене середнє квадратичне відхилення

; .

Для знаходження довірчого інтервалу для математичного сподівання знайдемо величину за відомими і за таблицями розподілу Стьюдента (Додаток 3): . Довірчий інтервал має вигляд або , тобто .

Задача 7. Випадкова величина розподілена за нормальним законом. На підставі вимірювань знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань та вибіркова дисперсія . Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання з надійністю .

Розв’язання. Для побудови довірчого інтервалу знайдемо виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайдемо величину за відомими і (див. Додаток 3): . Довірчий інтервал має вигляд або , тобто .

Задача 8. У відділі технічного контролю були виміряні діаметри 20 втулок, що виготовлені одним станком-автоматом. Результати відхилення (в мікронах) від номіналу представлені в таблиці

	-2,5	-2	-1,5	-1		1,5

Знайти довірчі інтервали для оцінки з надійністю 0,9 дисперсії і середнього квадратичного відхилення результатів вимірювання.

Розв’язання. За вибіркою знайдемо вибіркову середню ,

виправлену дисперсію і виправлене середнє квадратичне відхилення

,

. За довірчою ймовірністю знайдемо . За допомогою таблиці критичних точок розподілу (Додаток 5) розв’язуємо рівняння ()

. Знаходимо .

Шуканий довірчий інтервал, що покриває невідому дисперсію :

або або .

Шуканий довірчий інтервал, що покриває невідоме середнє квадратичне відхилення .

Задача 9. За даними вибірки об’єму з нормально розподіленої генеральної сукупності знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти довірчий інтервал, який покриває середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,95.

Розв’язання. За довірчою ймовірністю знайдемо . За допомогою таблиці критичних точок розподілу (Додаток 5) розв’язуємо рівняння ()

. Знаходимо . Довірчий інтервал має вигляд

або або .

Задача 10. Результати вимірювання ваги 20 випадково відібраних підлітків мають вигляд

Вага	36-40	40-44	44-48	48-52	52-56

Знайти довірчі інтервали, що покривають математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,95(за варіанти вибірки взяти середини інтервалів).

 

 

Розв’язання. Представимо вибірку у вигляді розподілу частот

Знайдемо вибіркову середню і виправлене середнє квадратичне відхилення:

,

.

Знайдемо довірчий інтервал для математичного сподівання , де за даними і шукається за таблицями розподілу Стьюдента (Додаток 3). Знаходимо , звідки маємо або .

Знайдемо довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення

, де шукається з рівнянь , :

Маємо – довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення.

Задача 11. Проведено 16 вимірювань одним приладом (без систематичних похибок) деякої фізичної величини, причому виправлене середнє квадратичне відхилення похибок вимірювання виявилось рівним 0,5. Знайти точність приладу з надійністю 0,95.

(Вказівка. Для знаходження точності приладу потрібно відшукати довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення).

Розв’язання. Знайдемодовірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення

, де шукається за таблицями розподілу «хі-квадрат» з рівнянь (, =15). Знаходимо Після підстановки даних в довірчі межі отримаємо або . Точність приладу лежить в межах . Можна вважати, що дані приладу вірні з точністю до однієї поділки шкали вимірювання.

Задача 12. Для визначення врожайності пшениці проводились її вибіркові вимірювання на 20 ділянках. Результати вимірювань наведе-ні нижче. Знайти довірчі інтервали з надійністю 0,95 для генеральної середньої та генерального середнього квадратичного відхилення.

21,0; 23,4; 20,0; 25,6; 21,4; 22,5; 22,8; 22,3; 24,9; 22,9;

22,4; 23,6; 20,9; 23,8; 21,8; 21,3; 23,4; 23,2; 24,3; 25,2.

Розв’язання. Розіб’ємо результати вимірювань на 6 інтервалів і відмітимо частоту попадання в кожний інтервал. Дані зведемо в таблицю

Інтервали	20-21	21-22	22-23	23-24	24-25	25-26

Виберемо за варіанти середини інтервалів:

	20,5	21,5	22,5	23,5	24,5	25,5

Знайдемо вибіркову середню і виправлене середнє квадратичне відхилення:

;

; .

Знайдемо довірчий інтервал для математичного сподівання , де за даними і шукається за таблицями розподілу Стьюдента (Додаток 3). Знаходимо , звідки

або – довірчий інтервал для математичного сподівання. Знайдемо довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення , де шукається за таблицями розподілу «хі-квадрат» з рівнянь (g=1-a=0,95, =19): . Знаходимо Підставивши отримані дані в довірчі межі, дістанемо – довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення.

Задачі для аудиторної та самостійної роботи

 

1. Одним і тим самим приладом проведено 36 рівноточних вимірювань фізичної величини із середнім квадратичним відхиленням випадкових похибок вимірювання . Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання , якщо вибіркова середня . Вважати, що результати вимірювання розподілені нормально. Довірчу ймовірність прийняти за . Відповідь: .

2. Знайти мінімальний об’єм вибірки з генеральної сукупності, при якому з надійністю точність оцінки математичного сподівання а вибірковою середньою рівна , якщо відоме середнє квадратичне відхилення . Вважати, що генеральна сукупність нормально розподілена. Відповідь: .

3. За даними 25 незалежних вимірювань деякої фізичної величини з відомим середнім квадратичним відхиленням знайдена вибіркова середня 5,44. Оцінити істинне значення вимірюваної величини з допомогою довірчого інтервалу з надійністю (вважати, що істинне значення співпадає з математичним сподіванням). Вважається, що результати вимірювань розподілені нормально. Відповідь: .

4. Отримано 16 значень нормально розподіленої величини Х з відомим середнім квадратичним відхиленням . Задана точність , з якою потрібно оцінити математичне сподівання за допомогою довірчого інтервалу. Встановити надійність такої інтервальної оцінки. Відповідь: .

5. За даними десяти вимірювань деякої фізичної величини знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань та виправлене середнє квадратичне відхилення . Оцінити істинне значення фізичної величини з надійністю . Відповідь: .

6. З нормально розподіленої генеральної сукупності зроблена вибірка об’єму , що має вигляд

	-3	-2,5	-2	-1,5	-0,5

Оцінити математичне сподівання з надійністю за допомогою довірчого інтервалу. Відповідь: .

7. Випадкова величина розподілена за нормальним законом. На підставі вимірювань знайдені середнє арифметичне результатів вимірювань та вибіркова дисперсія . Знайти довірчий інтервал для математичного сподівання з надійністю .

Відповідь: .

8. У відділі технічного контролю були виміряні діаметри 25 втулок, що виготовлені одним станком-автоматом. Результати відхилення (в мікронах) від номіналу представлені в таблиці

	-3,5	-3	-2,5	-2		2,5	3,5

Знайти довірчі інтервали для оцінки з надійністю 0,9 дисперсії і середнього квадратичного відхилення результатів вимірювання.

Відповідь: .

9. За даними вибірки об’єму з нормально розподіленої генеральної сукупності знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення . Знайти довірчий інтервал, який покриває середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,95. Відповідь: .

10. Результати вимірювання ваги 30 випадково відібраних підлітків мають вигляд

Вага(кг)	35-40	40-45	45-50	50-55	55-60

Знайти довірчі інтервали, що покривають математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення з надійністю 0,95 (за варіанти вибірки взяти середини інтервалів). Відповідь: .

11. Проведено 25 вимірювань одним приладом (без систематичних похибок) деякої фізичної величини, причому виправлене середнє квадратичне відхилення похибок вимірювання виявилось рівним 0,8. Знайти точність приладу з надійністю 0,95.

(Вказівка. Для знаходження точності приладу потрібно відшукати довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення).

Відповідь: .

12. Для визначення врожайності пшениці проводились її вибіркові вимірювання на 20 ділянках. Результати вимірювань приведені нижче. Знайти довірчі інтервали з надійністю 0,95 для генеральної середньої та генерального середнього квадратичного відхилення.

21,4; 22,6; 22,4; 22,8; 20,8; 23,7; 22,4; 22,2; 23,3; 24,2;

23,50; 22,4; 21,9; 24,6; 20,4; 21,5; 21,8; 21,3; 23,9; 21,9.

(Вказівка. Результати вимірювань розбити на 5 інтервалів: 20-21, 21-22, 22-23, 23-24, 24-25 і вибрати за варіанти середини інтервалів).

Відповідь: .

 

 

Практичне заняття 11