Закони розподілу та основні характеристики

ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ. СТАЦІОНАРНІ ВИПАДКОВІ

ПРОЦЕСИ

 

 

Випадкова функція і випадковий процес

Випадкова функція – функція, яка залежно від результату (наслідку) випадкового експерименту приймає той чи інший конкретний вигляд.

 

Вигляд, який функція приймає в результаті досліду, називається реалізацією випадкової функції. Випадкова функція є функцією елементарної події, яка відбувається при здійсненні експерименту. Реалізація випадкової функції є невипадковою.

 

Випадковий процес – це випадкова функція, кожна реалізація якої є функція часу. Випадковий процес можна розглядати як функцію двох змінних – елементарної події і часу .

При випадковий процес перетворюється у випадкову величину , яка називається перерізом випадкового процесу.

Випадкові процеси, в яких множина Т злічена, називаються процесами з дискретним часом. Якщо Т є інтервалом, то маємо процес з неперервним часом.

Якщо – випадковий процес і при є випадковою величиною , то функція розподілу

(1.1)

 

називається одновимірною функцією розподілу випадкового процесу, або одновимірним законом розподілу випадкового процесу.

 

Похідна одновимірної функції розподілу по називається одновимірною щільністю розподілу випадкового процесу.

 

Двовимірний закон розподілу є сумісною функцією розподілу двох перерізів випадкового процесу, взятих відповідно для моментів і :

 

. (1.2)

 

 

п - вимірним законом розподілу випадкового процесу називається функція

 

, (1.3)

 

яка для будь-яких фіксованих значень , що належать множині Т, є (інтегральною) функцією розподілу п- вимірної випадкової величини ().

 

Як правило, в інженерних застосуваннях обмежуються одновимірним, інколи – двовимірним законом розподілу випадкового процесу. Крім того, при розв’язанні багатьох практичних задач взагалі відмовляються від законів розподілу випадкового процесу, а використовують його основні характеристики, аналогічні числовим характеристикам випадкових величин.

 

 

Числові характеристики випадкового процесу

Математичним сподіванням випадкового процесу називається невипадкова функція , яка при кожному значенні аргументу дорівнює математичному сподіванню відповідного перерізу випадкового процесу:

 

. (1.4)

 

Якщо при даному переріз випадкового процесу X (t) є дискретною випадковою величиною з рядом розподілу

 

 

X (t)	x 1(t)	x 2(t)	…	xi (t)	…	, (1.5)
p (t)	p 1(t)	p 2(t)	…	pi (t)	…

 

то його математичне сподівання обчислюється за формулою

 

. (1.6)

 

 

Якщо при даному переріз випадкового процесу є неперервною випадковою величиною, то його математичне сподівання обчислюється за формулою:

 

. (1.7)

 

Наближено значення математичного сподівання обчислюється за формулою:

 

, (1.8)

 

якщо отримано п реалізацій випадкового процесу.

 

Дисперсією випадкового процесу називається невипадкова функція , яка при кожному значенні аргументу дорівнює дисперсії відповідного перерізу випадкового процесу

. (1.9)

 

Якщо переріз випадкового процесу – дискретна випадкова величина з рядом розподілу (1.5), то її дисперсія обчислюється за формулами:

 

, (1.10)

 

або

 

. (1.11)

 

Якщо переріз випадкового процесу – неперервна випадкова величина з щільністю розподілу , то її дисперсія обчислюється за формулами:

 

, (1.12)

 

або

 

. (1.13)

 

Наближене значення дисперсії випадкового процесу за результатами п незалежних дослідів знаходять за формулами:

 

, (1.14)

 

 

або

 

. (1.15)

 

Середнім квадратичним відхиленням випадкового процесу називається невипадкова функція , яка визначається рівністю:

 

. (1.16)

 

Розмірність збігається з розмірністю випадкового процесу .

 

Розглянуті характеристики m_x (t), D_x (t) та s _x (t) випадкового процесу X (t) визначаються одновимірним законом розподілу і не є вичерпними: вони не дозволяють описувати внутрішню структуру випадкового процесу.