Числові характеристики дискретної випадкової величини

Нехай Х – випадкова величина, яка може набувати значень з імовірностями (і= 1, 2, …). Припустимо, що ряд збіжний.

Математичнимсподіванням випадкової величини Х називається сума ряду . У випадку, якщо , кажуть, що випадкова величина не має математичного сподівання.

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата різниці випадкової величини і її математичного сподівання:

.

Дисперсія дискретної випадкової величини має вигляд

Середнім квадратичним відхиленням називається корінь квадратний з дисперсії випадкової величини

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення є мірою розсіювання випадкової величини навколо її математичного сподівання.

 

Основні закони розподілу дискретних випадкових величин

1 .Індикатор випадкової події А.

Проводиться випадковий експеримент, в якому може відбутись випадкова подія А з імовірністю р. Випадкова величина , яка приймає значення 1, якщо подія А відбулась, і значення 0, якщо подія А не відбулась, називається індикатором події А.

Розподіл має вигляд:

Р	1– р = q	р

2. Рівномірний розподіл.

Дискретна випадкова величина може набувати значень з однаковими ймовірностями .

3. Біномний розподіл.

Проводиться серія з п випробувань, в кожному з яких може відбутись подія А з імовірністю р. Випадкова величина Х – число настання події А. Її розподіл:

Х				…		…	п
Р				…		…

 

де ,

4. Розподіл Пуассона.

Випадкова величина Х має розподіл Пуассона, якщо її розподіл має вигляд

Х				…	п	...
Р				…		…

де , причому

5. Геометричний розподіл.

Проводяться незалежні випробування, в кожному з яких може відбутись подія А зімовірністю р. Випадкова величина Х – число проведених випробувань до першого настання події А.

Х				…	п	...
Р	p	pq		…		…

6. Гіпергеометричний розподіл.

Нехай в партії з виробів стандартних (). З партії навмання беруть виробів. Випадкова величина Х – число стандартних виробів серед відібраних. Х приймає можливі значення: 0, 1, 2, … з такими ймовірностями .

 

Опитування з теорії

 

1. Дати означення випадкової величини.

2. Яка випадкова величина називається дискретною?

3. Як задають розподіл дискретної випадкової величини?

4. Що таке функція розподілу (інтегральна функція розподілу) випадкової величини?

5. Навести основні закони розподілу дискретної випадкової величини.

6. Які основні числові характеристики дискретної випадкової величини? Дати їх означення.

 

Задача1. Підкидається монета один раз. Скласти таблицю розподілу випадкової величини – кількість появ герба.

Розв’язання. Якщо монета підкидається один раз, то герб може випасти один раз або ні разу, тому може приймати значення 0 або 1 з однаковими ймовірностями. Таблиця розподілу має вигляд

	0,5	0,5

Тут – індикатор події А – «випав герб».

Задача 2. Підкидається гральний кубик. Скласти таблицю розподілу випадкової величини – кількість очок, що випали.

Розв’язання. Дискретна випадкова величина може приймати значення 1, 2, 3, 4, 5, 6 з однаковими ймовірностями, тобто . Таблиця розподілу

 

Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Це рівномірний розподіл.

Задача 3. В партії з 10 деталей є 5 стандартних. Навмання вибирають 3 деталі. Знайти розподіл випадкової величини Х – кількість стандартних деталей серед 3 відібраних.

Розв’язання. Х може приймати такі значення: 0, 1, 2, 3. Якщо , то вибрані 3 деталі нестандартні, яких всього є 5. Тому .
Якщо , то вибрали 1 стандартну і 2 нестандартних деталі. Тому Якщо , то вибрали 2 стандартні і 1 нестандартну деталі. Відповідна ймовірність Якщо , то 3 вибраних деталі стандартні і Таблиця розподілу:

	0,0833	0,4167	0,4167	0,0833

Тут маємо гіпергеометричний розподіл.

Задача 4. Монета підкидається, поки не випаде герб. Знайти розподіл випадкової величини – кількість підкидань до появи герба.

Розв’язання. Х може приймати такі значення: 0, 1, 2, …(цілі невід’ємні числа). Якщо , то при першому підкиданні з’являється герб, тому . Якщо , то при першому підкиданні з’являється цифра, а при другому – герб, тому . Якщо , то при першому і другому підкиданнях випадає цифра, а при третьому – герб, тому . Якщо , то при перших підкиданнях випадає цифра, а при (наступному) підкиданні – герб, тому . Таблиця розподілу:

				…		…
Р	0,5	0,25	0,125	…		…

Це геометричний розподіл.

Задача 5. Гральний кубик підкидається 5 разів. Знайти розподіл випадкової величини Х – кількість випадань 6 очок.

Розв’язання. Випадкова величина Х може приймати такі значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Якщо , то ні разу 6 не випало за 5 підкидань. Ймовірність, що 6 не випаде при одному підкиданні – , тому . Якщо , то за 5 підкидань 6 очок випало 1 раз і 4 рази не випало, тому . Якщо , то за 5 підкидань 6 випало 2 рази і 3 рази не випало, тому . Аналогічно, . Якщо , то всі 5 разів випаде 6, тому . Таблиця розподілу:

	0,4019	0,4019	0,1608	0,0322	0,0032	0,0001

Це біномний розподіл.

Задача 6. Завод виробляє 90% деталей першого сорту і 10% деталей другого сорту. Навмання відбирається партія із 1000 деталей. Нехай – число деталей першого сорту. Знайти середнє значення і дисперсію випадкової величини .

Розв’язання. Враховуючи, що це біномний розподіл і подія “ А – деталь першого сорту” має ймовірність і , знаходимо

.

Задача 7. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл:

Х	-1
Р	1/3	1/3	1/3

Побудувати функцію розподілу Х; знайти розподіл випадкової величини , її математичне сподівання і дисперсію (), ().

Розв’язання. Функцію розподілу випадкової величини Х будуємо так: якщо то F (x)=0; при -1< x £0 F (x)=1/3; при 0< x £1

F (x)=2/3;при х >1 F (x)=1. Графік функції розподілу має вигляд

 

 

 

Знайдемо розподіл випадкової величини . може приймати два значення – 0 або 1 з такими ймовірностями: . Знайдемо математичне сподівання і дисперсію : ()= ()

Задача 8. Дискретна випадкова величина має розподіл Пуассона з параметром . Знайти ймовірності того, що .

Розв’язання. Підставимо у формулу розподілу Пуассона . Шукана ймовірність . Підставляючи значення і склавши відповідні ймовірності, маємо .

Задача 9. Гральний кубик підкидається, поки не випаде число очок, кратне трьом. Знайти розподіл випадкової величини Х – кількість підкидань до появи числа очок, кратного 3.

Розв’язання. Нехай подія А – випало число очок, кратне 3. Подія А відбувається, якщо випаде число очок 3 або 6, її ймовірність – сума ймовірностей випадання 3 і 6, тобто

Значить, ймовірність протилежної події Якщо Х =0, це означає,що відразу випало 3 або 6 з імовірністю . Якщо Х =1, то перший раз випало число очок,що не ділиться на 3 з імовірністю , другий раз випало число очок, що ділиться на 3 з імовірністю , тому Якщо , це означає, що раз випало число очок, що не ділиться на 3 і після цього випало число очок кратне 3, тому . Таблиця розподілу

Х				…		…
Р				…		…

 

Задача 10. Три рази підкидається гральний кубик. Знайти розподіл випадкової величини – кількість шісток, що випали, .

Розв’язання. Тут ми маємо біномний розподіл, подія А –випадання 6 очок, . може приймати значення 0, 1, 2, 3. Якщо Х =0, то 6 не випало ні разу за три підкидання, тому . Якщо Х= 1, то . Якщо , то . Якщо Х =3, то 6 очок випадали всі 3 рази і . Знайдемо числові характеристики . Підставивши в формулу значення , отримаємо

Задача 11. Випадкова величина Х набуває значень з імовірностями . Обчислити .

Розв’язання. За означенням

Очевидно, що тут є доданки, рівні за абсолютною величиною і з протилежними знаками, вони знищуються і .

Задача 12. Випадкова величина Х має розподіл

Х	-2	-1			2
Р	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2	0,1

Знайти: 1) ; 2) 3) , де .

Розв’язання. 1)

2)

3) Випадкова величина має розподіл

 

Р	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2	0,1

;

 

Задачі для аудиторної та самостійної роботи

1. Випадкова величина Х має розподіл

Х	-1	-0,6	-0,3		0,1	0,2	0,4	0,8	0,9
Р	0,005	0,012	0,074	0,102	0,148	0,231	0,171	0,160	0,081	0,016

Обчислити: 1) ; 2) .

Відповідь: ; ; .

2. Випадкова величина має розподіл

Х	-2	-1
Р	0,4	0,3	0,1	0,2

Обчислити ; побудувати функцію розподілу . Відповідь: .

3. Нехай випадкова величина має розподіл

Х			-1
Р	0,25	0,5	0,25

Знайти розподіл випадкової величини .

Відповідь:

Y			-1
Р	0,25	0,5	0,25

4. Нехай один раз підкидається гральний кубик. Знайти розподіл випадкової величини Х, де Х – індикатор події А «поява простого числа очок» і обчислити .

Відповідь:

Р	0,5	0,5

5. Нехай 3 рази підкидається монета. Знайти розподіл випадкової величини Х – числа гербів при трьох підкиданнях, обчислити (біномний розподіл).

Відповідь: ;

Х
Р	0,125	0,375	0,375	0,125

6. Двічі підкидається гральний кубик. Знайти розподіл випадкової величини Х, де Х – число появ парного числа очок (біномний розподіл). Відповідь:

Х
Р	0,125	0,375	0,375	0,125

7. В урні 4 білих і 6 чорних куль. Навмання взяли одну кулю. Знайти розподіл випадкової величини Х – числа взятих білих куль; побудувати функцію розподілу (індикатор події).

Відповідь:

Х
Р	0,6	0,4

8. В урні 4 білих і 6 чорних куль. Навмання взяли три кулі. Знайти розподіл випадкової величини Х – числа взятих білих куль (гіпергеометричний розподіл).

Відповідь:

Х
Р	0,167	0,5	0,3	0,25

9. В урні 4 білих і 6 чорних куль. Навмання беруть одну кулю, якщо вона не біла, то її повертають в урну і беруть ще раз і т.д. Знайти розподіл випадкової величини Х – числа взятих куль до появи білої кулі (геометричний розподіл).

Відповідь:

Х				…	п	...
Р	0,4	0,24	0,144	…		…

10. По мішені стріляють з гармати. Ймовірність попадання в мішень 0,7. Знайти розподіл випадкової величини Х – числа пострілів до першого попадання в мішень (геометричний розподіл ).

Відповідь:

Х				…	п	...
Р	0,7	0,21	0,063	…		…

11. Випадкова величина Х має розподіл Пуассона з параметром . Яка ймовірність, що ?

Відповідь: ; .

12. В партії 10% нестандартних виробів. Навмання відібрали 5 виробів. Знайти розподіл випадкової величини Х – числа нестандартних виробів серед 5 відібраних; обчислити (біномний розподіл). Відповідь:

Х
Р	0,59	0,328	0,073	0,008	0,00005	0,00001

Практичне заняття 6