Дисперсія випадкової величини. Середнє квадратичне відхилення

Дисперсія випадкової величини або розподіл —це математичне сподівання, або математичне очікування піднесеного до другого степеня відхилення цієї змінної від її очікуваного значення (її математичного очікування). Отже дисперсія є вимірюванням величини розпорошеності значень цієї змінної, беручи до уваги всі її значення і їхні ймовірності або ваги.

Наприклад, ідеальна шестистороння кістка, якщо кинути, має таке очікування

Її очікуване абсолютне відхилення таке

Але її очікуване квадратичне відхилення таке

Як ще один приклад, якщо монету підкинути двічі, кількість іверсів становить: 0 з імовірністю 0.25, 1 з імовірністю 0.5 і 2 з імовірністю 0.25. Отже очікування кількості аверсів таке:

і дисперсія така:

Означення

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія є центральним моментом другого порядку. ^[1]

Нехай випадкова змінна може набувати значення відповідно з ймовірностями причому .

· Дисперсія дискретної випадкової величини має такий вигляд:

,

де

і називається стандартним відхиленням величини від її середнього значення ;

— це оператор дисперсії випадкової величини.

· Якщо випадкова величина задана густиною імовірності, тоді дисперсія виглядає так:^[2]

,

де

, тобто це середнє значення величини ;

— функція густини імовірності.

Твердження

· Якщо є дискретна випадкова величина , сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто , то дисперсія такої величини визначається так:^[3]

.

Теореми

· Дисперсія являє собою різницю математичного очікування квадрата випадкової величини і квадрата середнього значення цієї величини:^[2]

.

· Теорема Чебишова: Ймовірність будь-якої випадкової величини , яка приймає значення в границях стандартних відхилень від середнього значення , не менше , тобто ^[4]

.

· Закон додавання дисперсій: Дисперсія суми дискретних випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі значень коваріаційної матриці системи цих величин:^[5]

Властивості

· Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто , де .

· Додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсії: .

· Константу можна виносити в квадраті за знак дисперсії: .

· Дисперсія випадкової змінної є невід'ємною величиною, тобто .

Середнє квадратичне відхилення є важливою кількісною характеристикою в статистиці, теорії ймовірностей та оцінки точності вимірювань. Згідно з визначенням середнім квадратичним відхиленням називається корінь квадратний з дисперсії. Однак з цього визначення не зовсім зрозуміло - що характеризує ця величина і як порахувати значення дисперсії.

1. Нехай є кілька чисел, що характеризують будь-які однорідні величини. Наприклад, результати ізмерееній, зважувань, статистичних спостережень і т.п. Всі представлені величини повинні вимірюватися однієї і тієї ж одиницею виміру. Щоб знайти середнє квадратичне відхилення, виконайте такі дії.
Визначте середнє арифметичне всіх чисел: складіть всі числа і розділіть суму на загальну кількість чисел.

2. Знайдіть відхилення кожного числа від його середнього значення: відніміть від кожного числа середнє арифметичне значення, порахували в попередньому пункті.

3. Визначте дисперсію (розкид) чисел: складіть квадрати знайдених відхилень і розділіть отриману суму на кількість чисел.

4. Витягніть з дисперсії квадратний корінь. Отримане число і буде середнім квадратичним відхиленням даної множини чисел.

5. Приклад.
У палаті лежать сім хворих з температурою 34, 35, 36, 37, 38, 39 і 40 градусів Цельсія.
Потрібно визначити середнє квадратичне відхилення від середньої температури.
Рішення:
• «середня температура по палаті»: (34 +35 +36 +37 +38 +39 +40) / 7 = 37 ° С;
• відхилення температур від середнього (в даному випадку нормального значення): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, виходить: -3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3 (° С);
• дисперсія: ((-3)?+(- 2)?+(- 1)? +0? +1? +2? +3?) / 7 = (9 +4 +1 +0 +1 +4 + 9) / 7 = 4 (? С?);
• середнє квадратичне відхилення:? 4 = 2 (° С);
Відповідь: В середньому по палаті температура - нормальна: 37? С, але середнє квадратичне відхилення температури дорівнює 2? С, що вказує на серйозні проблеми у пацієнтів.

6. Якщо є можливість скористатися програмою Excel, то обчислення дисперсії, а відповідно і середнього квадратичного відхилення можна істотно спростити.
Для цього додайте дані вимірювань в один ряд (одну колонку) та скористайтесь статистичної функцією ДІСПР. В якості аргументів функції вкажіть діапазон комірок таблиці, де розміщені введені числа.

49. Охарактеризувати початкові та центральні моменти.