Охарактеризувати ряд і перетворення Фур’є.

Ряд Фур'є — в математиці — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших. В загальному випадку кількість таких функцій може бути нескінченною, при цьому чим більше таких функцій враховується при розрахунку, тим вищою стає кінцева точність представлення даної функції. В більшості випадків в якості найпростіших використовуються тригонометричні функції синуса і косинуса. В цьому випадку ряд Фур'є називається тригонометричним, а обчислення такого ряду часто називають розкладом на гармоніки.

Ряди названі на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є.

Перетворення Фур'є — інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Використовується для того, щоби розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (таких як мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році.

Визначення

Перетворення Фур'є функції математично визначається як комплексна функція , яка задається інтегралом^[1]

Обернене перетворення Фур'є задається виразом

Властивості

Якщо задані інтегровні функції , та та їхні відповідні перетворення Фур'є , та , тоді самому перетворенню властиво наступне:

Лінійність

Для довільних комплексних чисел a та b, якщо h (x) = aƒ (x) + bg (x), тоді  

Трансляція

Для довільного дійсного числа x ₀, якщо h (x) = ƒ (x − x ₀), тоді 

Модуляція

Для довільного дійсного числа ξ ₀, якщо h (x) = e ^{2 πixξ} ₀ ƒ (x), тоді  .

Масштабування

Для не рівного нулю дійсного числа a, якщо h (x) = ƒ (ax), тоді  . Випадок a = −1 призводить до властивості "обернення часу", згідно з якою: якщо h (x) = ƒ (− x), тоді  .

Спряження

Якщо , тоді 

Зокрема, якщо ƒ дійсне, тоді має місце "умова дійсності"  

Згортка

Якщо , тоді 

Використання

Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектру неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для представлення сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки.

На практиці, це можна побачити у використанні системами розподіленого обчислення для пошуку можливих сигналів позаземних цивілізацій (проекти SETI і відповідно SETI@Home).

Нехай відгук системи на збурення у вигляді сигналу має вигляд

,

де — певна функція. Такий запис означає, що відгук системи залежить не тільки від моментального значення збурення, а також від того збурення, яке було певний час тому, і, яке, змінило стан системи.

Застосовуючи перетворення Фур'є до обох частин рівняння, отримуємо

Оскільки

,

де — дельта-функція Дірака, інтегрування дає

,

де

.

Важливим висновком з цього перетворення є те, що вихідний спектр отримується з вхідного простим множенням на функцію відклику системи .

Охарактеризувати математичне сподівання.

Перейти до: навігація, пошук

Математи́чне сподіва́ння, середнє значення — одна з основних числових характеристик кожної числової змінної. Воно є узагальненим поняттям середнього значення сукупності чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну "вагу", ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної. ^[1]

Оскільки, випадкова величина може бути дискретною або задана густиною розподілу ймовірностей, тому теорія ймовірностей наводить два означення математичного сподівання.

Нехай дискретна випадкова змінна може набувати значення відповідно з ймовірностями причому .

· Означення Чебишова: Математичним сподіванням будь-якої величини називається сума всіх можливих для неї значень, помножених на ймовірності їх: ^[2]

,

де

— це середнє значення випадкової величини , областю можливих значень якої є множина ;

— оператор математичного сподівання;

— математичне сподівання величини .

Твердження

· Якщо є випадкова величина , сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто , то середнє значення такої величини визначається так: ^[3]

Означення 2

Нехай випадкова змінна задана густиною розподілу ймовірностей: , .

· Математичним сподіванням такої числової змінної , якщо воно існує, називають інтеграл, узятий по області існування її густини розподілу, від добутку цієї випадкової змінної на її густину розподілу, тобто:

.

Сподівання існує, якщо цей інтеграл абсолютно збіжний.

47 Охарактеризувати моменти випадкової величини.

Моментом n-того порядку випадкової величини називається число , якщо .

Величина називається абсолютним моментом випадкової величини .

Перший момент є математичним сподіванням .

Якщо дана випадкова величина визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини називається величина

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

-им факторіальним моментом випадкової величини називається величина

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.