Початкові і центральні теоретичні моменти

 

Розглянемо д. в.в. , задану законом розподілу:

Знайдемо математичне сподівання:

М =1

Закон розподілу

.

Бачимо, що М значно більше М . Це пояснюється тим, що після піднесення до квадрата можливе значення величини яке відповідає значенню х =100 величини , стало рівним 10000, тобто значно збільшилося; імовірність цього значення залишилась. Таким чином, перехід від М до М дає можливість краще врахувати вплив на математичне сподівання того можливого значення, яке досить велике і має малу імовірність.

Якби мала декілька великих і малоймовірних значень, то перехід до ,а тим більше , , дав можливість ще більше «врахувати вклад» цих великих, але малоймовірних значень.

Тому важливо розглядати математичне сподівання цілого додатного степеня випадкової величини (не тільки дискретної, але й неперервної).

Взагалі, початковий момент (starting point) порядку k випадкової величини визначається як математичне сподівання величини:

.

Для дискретної випадкової величини: .

Для неперервної випадкової величини: = ,

так , .

Користуючись цими моментами, формулу для обчислення дисперсії можна записати

Крім моментів в. в. розглядаються моменти відхилення .

Центральним моментом порядку k в. в. називають математичне сподівання центрованої випадкової величини Значить, = М =0, = М = .

Легко одержуються співвідношення, які з’єднують початкові і центральні моменти:

Використовуючи означення центрального моменту та властивості математичного сподівання, отримаємо формулу:

Третій центральний момент дає характеристику асиметрії (скошеності) розподілу (рис. 2.6, а; б). Якщо випадкова величина розподілена симетрично відносно свого математичного сподівання, то третій центральний момент = 0.

50. Охарактеризувати неперервні розподіли

Рівномірний розподіл (неперервний) — в теорії імовірностей розподіл, який характеризується тим, що ймовірність будь-якого інтервала залежить тільки від його довжини.

Кажуть, що випадкова величина має неперервний рівномірний розподіл на відрізку ,де , якщо щільність має вигляд:

Пишуть: . Деколи значення щільності в граничних точках і міняють на інші, наприклад .Так як інтеграл Лебега від щільності не залежить від поведінки останньої на множинах міри нуль, ці варіації не впливають на знаходження зв'язаних з цим розподілом імовірностей.

51. Охарактеризувати систему двох випадкових величин.

ипадкові величини, можливі значення яких визначають-ся двома, трьома,... n числами називаються відповідно двомірними, трьохмірними,... n-мірними. Двомірна випад-кова величина (X, Y) визначається двома складовими або компонентами Х і Y, що утворюють систему двох випадкових величин.

Геометрична інтерпретація двомірної величини – випад-кова точка М(Х; Y) на площині ХОY або як випадковий вектор

ОМ. Якщо складові Х і Y – дискретні, то двомірна величина є дискретною, якщо складові неперервні, то – неперервною.

Законом розподілу імовірностей двомірної дискретної ви-падкової величини називають відповідність пар чисел (xi,yj)

і їх імовірностей p(xi, y j) (і = 1, 2,...., n; j = 1, 2,..., m). Закон

розподілу задають у вигляді: а) аналітично; б) таблиці з по-двійним входом (табл. 4.13.1).

Охарактеризувати центральну граничну теорему

Центральна гранична теорема — теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей. Центральна гранична теорема для незалежних послiдовностей

Формулювання Ліндеберга

Нехай — послідовність взаємно незалежних випадкових величин з однаковими розподілами. Припустімо, що та існують. Нехай . Тоді для довільних фіксованих , ():

Де — нормальна функція розподілу.^[1][2]

Формулювання Ляпунова

Теорема названа на честь російського математика Олександра Ляпунова. У цьому варіанті центральної граничної теореми випадкові величини мають бути незалежними, але не обов'язково однаково розподіленими. Теорема також вимагає щоб випадкові виличини мали скінченні моменти деякого порядку (2 + δ) і швидкість зростання цих моментів має бути обмежена умовою Ляпунова.

ЦГТ Ляпунова^[3]: Нехай { X_i } — послідовність незалежних випадковех величин, таких, що кожна з них має скінченне математичне сподівання і дисперсію . Позначимо . Якщо для деякого виконується умова Ляпунова

Тоді сума прямує за розподілом до стандартного нормального розподілу, при

На практиці зазвичай найлегше перевірити умову Ляпунова для . Якщо послідовність випадкових величин задовольняє умову Ляпунова, то вона задовольняє також умову Лінденберга. Зворотне твердження не правильне.

Формулювання Лінденберга

Докладніше: Умова Лінденберга

Використовуючи ті позначення що й у попередньому параграфі, замінюючи умову Ляпунова на слабшу (запропоновану фінським математиком Ліндебергом у 1920 році) можна отримати нове формулювання центральної граничної теореми.

Якщо для кожного виконуэться

де — характеристична функція. Тоді розподіл стандартизованої суми Z_n прямує до стандартного нормального розподілу N(0,1).

53. Охарактеризувати закон великих чисел.

Закон великих чисел в теорії імовірностей стверджує, що емпіричне середнє (арифметичне сeреднє) скінченної вибірки із фіксованого розподілу близьке до теоретичного середнього (математичного сподівання) цього розподілу. В залежності від виду збіжності розрізняють слабкий закон великих чисел, коли має місце збіжність за ймовірністю, і посилений закон великих чисел, коли має місце збіжність майже скрізь.

Завжди знайдеться така кількість випробувань, при якій з будь-якою заданою наперед імовірністю частота появ деякої події буде як завгодно мало відрізнятися від її імовірності.

Форми ЗВЧ

Нижче описано дві версії ЗВЧ: Слабкий закон великих чисел та Посилений закон великих чисел. Обидва закони стверджують, що з певною достовірністю середнє вибірки

прямує до математичного сподівання

де X ₁, X ₂,... — скінченна послідовність н.о.р. випадкові величини зі скінченним математичним сподіванням E(X ₁) = E(X ₂) =... = µ < ∞.

 

Слабкий закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність однаково розподілених і некорельованих випадкових величин , визначених на одному імовірносному просторі . Їх коваріація . Нехай . Позначимо вибіркове середнє перших членів:

.

Тоді .