Охарактеризувати випадкові величини та функції розподілу

Випадкова величина є одним з основних понять теорії ймовірностей

Означення

· Випадковою величиною є будь-яка (не обов'язково числова) змінна , "значення" якої утворюють множину елементарних подій, або, іншими словами, позначають точки в просторі вибірок. Відповідний розподіл імовірностей називається розподілом випадкової величини . ^[2]

Множина елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини , називається областю значень цієї величини. ^[3]

Властивості

Випадкова величина X — це вимірна функція, визначена на даному вимірному просторі , тобто, вона визначається шляхом зіставлення кожної елементарної події з деякимдійсним числом. Більш формально:

називається випадковою величиною, якщо , де -- -алгебра Борелевих множин на .

Нехай x ₁, x ₂, … — значення випадкової величини X. Одне і те саме значення x _j може відповідати, взагалі кажучи, різним елементарним подіям. Множина усіх цих елементарних подій утворює складену випадкову подію, що полягає в тому, що X = x _j. Ймовірність цієї події позначається . Система рівнянь:

визначає розподіл ймовірностей (слід відрізняти від функції розподілу ймовірностей) випадкової величини X.

Очевидно, що:

та .

Якщо дві або більше випадкових величини X ₁, X ₂, …, X _n визначено на одному просторі елементарних подій, то їх спільний розподіл задається системою рівнянь, в яких всім комбінаціям , і т. д. призначаються визначені ймовірності.

Випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільної комбінації значень , , …, виконується рівність:

Тобто, якщо X _k залежить лише від k -го випробування, то випадкові величини X ₁, X ₂, …, X _n взаємно незалежні.

Ймовірність випадкової величини

· Ймовірність випадкової величини дорівнює інтегралу ймовірностей взятому по її області значень: ^[4]

де

; — граничні значення нормованої величини ;

— це середнє значення величини ;

— cтандартне відхилення цієї величини.

Функція розподілу ймовірностей — В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.

Нехай — ймовірнісний простір, в якому — множина елементарних подій, — сукупність підмножин , що утворюють -алгебру, множини з називаються випадковими подіями, — міра на , що задовольняє умову . Функція , визначена рівністю

,

називається функцією розподілу ймовірностей або кумулятивною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини ξ. Вираз в правій частині рівності є ймовірністю того, що випадкова величина набуває значень менших або рівних .

Функція розподілу ймовірностей — В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.

Нехай — ймовірнісний простір, в якому — множина елементарних подій, — сукупність підмножин , що утворюють -алгебру, множини з називаються випадковими подіями, — міра на , що задовольняє умову . Функція , визначена рівністю

,

називається функцією розподілу ймовірностей або кумулятивною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини ξ. Вираз в правій частині рівності є ймовірністю того, що випадкова величина набуває значень менших або рівних .

21 охарактеризувати основні закони розподілу дискретних випадкових величин

Законом розподілу дискретної випадкової величини на-

зивають відповідність між можливими значеннями і їх імовірностями. Його задають таблично, графічно чи аналітич-но (у виді формул). Сума імовірностей закону розподілу дорівнює 1: ^pi=l або ^ pi = 1, якщо множина можливих

значень дискретної випадкової величини зліченна.

Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла друга величина. В протилежному випадкувипадкові величини є залежними. Декілька випадкових вели-чин називаються взаємно незалежними, якщо закони розпо-ділу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі значення набула решта величин.

Добутком незалежних випадкових величин Х та Y нази-вають випадкову величину ХY, можливі значення якої рівні всеможливим добуткам співмножників Х і Y. Імовірності цих добутків рівні добуткам імовірностей відповідних співмнож-ників. Якщо деякі добутки ХіГі рівні між собою, то імовірність цього добутку рівна сумі імовірностей цих добутків.

Сумою випадкових величин Х і Y називають випадкову величину Х + Y, можливі значення якої рівні всеможливим су-мам з доданків Х та Y. Імовірності цих сум рівні добуткам імовірностей доданків; для залежних величин - добуткам імо-вірностей одного доданку на умовну імовірність другого, якщо деякі суми рівні між собою, то імовірність такої суми рівна сумі відповідних імовірностей доданків.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають суму добутків всіх її можливих значень на їх імовірності:

M(X) = xlpl +х2р2 +... + хпрп =^jxipi (4.1.1).

Якщо дискретна випадкова величина Х приймає зліченну множину можливих значень, то М(Х) = /^ xtpt при умові,

що ряд збігається абсолютно. Математичне сподівання при-близно рівне середньому арифметичному спостережних зна-

чень випадкової величини: М(Х) «X.

Властивості математичного сподівання:

1. Математичне сподівання сталої величини є сама ця стала: М{С) = С.

Сталий множник можна виносити за знак математич-ного сподівання: М(СХ) = СМ(Х).3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: M(XY) = M{X)M{Y).

Наслідок. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань

4. Математичне сподівання суми двох випадкових

величин дорівнює сумі їх математичних сподівань: М(Х + Y) =M(X) + M(Y).

Наслідок 2. Математичне сподівання різниці двох випадкових величин дорівнює різниці їх математичних сподіваньДисперсією D(X) випадкової величини Х називають мате-матичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання М(Х): D{X) =М[Х-М(Х)]2 (4.1.2).

Дисперсія має розмірність квадратних одиниць вимірю-ваної величини. Щоб отримати розмірність міри розсіювання в одиницях вимірюваної величини розглядають квадратний

корінь з дисперсії сг(Х) = -JD(X) (4.1.4), який називають

середнім квадратичним відхиленням, або стандартом. Властивості дисперсії:

1. Дисперсія будь-якої випадкової величини невід’ємна: D(X) > 0.Наслідок. Для будь-якої випадкової величини (M(X))2 <M(X2).

2. Дисперсія сталої дорівнює нулю: D(C) = 0.

3. Сталий множник можна винести за знак дисперсії, під-нісши його до квадрату: D(CX) = C2D(X).

4. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Наслідок 1. Дисперсія суми попарно незалежних випад-кових величин ХиХ2,... Хn незалежних у сукупності, дорівнює сумі їх дисперсій: D{XX + X2 +... + Xn) = D{XX) + D(X2) +... + + D(Xn).

Наслідок 2. Дисперсія суми постійної величини і випад-кової дорівнює дисперсії випадкової величини: D(C + X) = = D(X).

5. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових вели-

чин дорівнює сумі їх дисперсій: D(X - Y) = D(X) + D(Y).

Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми скінчен-ного числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин:

сг(X1+X2+... + Xn) = л/сг2(X1) + сг2(X2) +... + сг2(Xn) (4.1.5).

Якщо декілька випадкових величин мають однакові розподіли, то їх числові характеристики (математичне сподівання, дисперсія, і т. д.) однакові.