При безперервному вимірюванні указуються межі вимірювання випадкової величини.

Функція розподілу випадкової величини х – F(x)= , густина розподілу випадкової величини х – f(x)= швидкість вимірювання F(x).

Крива залежність f(x) має вигляд:

Розподіл ймовірності ризику є критерієм оцінки ризику, але з його допомогою можна встановити лише якісні оцінки: великий розкид ризику, концентрований ризик, область зниженого ризику, безризикова зона. Ці оцінки визначаються по кривій функції F(x) або f(x). Ця крива дає можливість визначити ймовірність ризикованої події Реально ж небезпека ризику виражається величиною (абсолютної або відносної) можливих втрат.

На основі розподілу ймовірності подій можна сформулювати кількісні критерії.

Ймовірність втрат. Хай у області визначення повної групи подій (Ω) вдається виділити область небажаних втрат ω, тоді ймовірність втрат P_n визначиться співвідношенням:

 

Якщо ця область може бути визначена у вигляді нерівності x < Xi – рівень небажаних втрат, то для безперервного розподілу:

Залежно від величини втрат може бути визначений рейтинг ризику проекту, операції, події. Приклад встановлення рейтингу показаний в таблиці:

 

Ймовірність втрат Pn		0,01 –0,09	0,1 –0,24	0,25 – 0,49	0,5 – 0,6	0,61 – 0,8	0,81 – 0,99
рейтинг	Ризику немає	Дуже низький	Низький	Середній	Високий	Дуже високий	Украй високий	Гарантовані втрати

 

Математичне очікування втрат. Якщо відома функція розподілу ймовірності втрат, то використовується показник "математичне очікування втрат". Позначається: М(х) або m_x:

якщо число подій n, то

Для безперервної величини х:

 

або якщо область існування випадкової величини х вимірюється в межах а ≤ х ≤ в.

Середньоквадратичне відхилення втрат (СКВ).

Оскільки рівень ризику асоціюється із ступенем відхилення можливих результатів від їх розрахункового значення (m), то для вимірювання ризику можна використовувати статистичний показник розсіювання випадкової величини – дисперсію (D). Використовуються такі показники: СКВ (σ) варіація (V). При цьому:

 

для безперервної величини або

при а? х? у.

Чим більше СКВ, тим вище ризик. На величину СКВ впливають одиниці вимірювання, тому для порівняння різномасштабних проектів використовується варіація. Але СКВ і варіація – це усереднені оцінки, які можуть привести до відносин в гіршу сторону, особливо при асиметричних розподілах, крім того рідкісний по ймовірності результат може означати катастрофу. Тому існує необхідність вдосконалення кількісних показників ризику.

 

Коефіцієнт, індекс і шкала ризику

Для кількісної оцінки ризику може бути використаний коефіцієнт ризику – це співвідношення середніх очікуваних втрат і середнього виграшу:

де Х – бажаний результат;

Х_втр (Х_вигр) – математичне очікування результатів очікуваних подій, які за гірше (краще або рівно) бажаних.

У разі дискретного розподілу подій:

 

 

 

У разі безперервного розподілу:

Індекс ризику виходить шляхом нормування коефіцієнта ризику:

 

де І – індекс ризику;

е – константа нормування.

е визначається окремо для кожної ситуації, звично е типовий або середній рівень Якщо змінюється в межах, то в межах, але залежить від ситуації.

Крива ризику. Зони ризику.

При аналізі ризикованої часто виникає задача - виділення окремих зон і зображення кривих, що характеризують ризик.

Частіше всього виділяють 4 характеристики зони ризику:

1.Безризикова зона – результат діяльності більше розрахункового прибутку (РП), втрат немає;

2.Зона допустимого ризику – втрати не перевищують розрахунковий прибуток (РП);

3.Зона критичного ризику – втрати знаходяться в межах розрахункової виручки (РВ);

4.Зона катастрофічного ризику – збитки вищі за розрахункову виручку, але нижчі за майновий стан (ринкової вартості) підприємства (МС).

За межами четвертої зони може знаходитися тільки зона банкрутства економічного об'єкту, що означає катастрофу.

Крива ризику зображає ці залежності і може бути побудована двома способами:

а) інтервальний спосіб;

б) кумулятивний спосіб.

При інтервальному способі визначають ймовірність попадання втрат П_j в конкретний інтервал:

Р_без = Р (П_j ≤ 0);

Р_доп = Р (0 < П_j ≤ РП);

Р_крит = Р (РП < П_j ≤ РВ);

Р_кат = Р (РВ< П_j ≤ МС).

 

РВ – розрахункова виручка на об'єкті; МС – майновий стан об'єкту ризику.

При кумулятивному способі (W) визначається ймовірність неперевищення втрат граничного значення:

W_без = Р (П_j < РП);

W_доп = Р(П_j ≥ РП) = 1- W_без;

W_крит= Р(П_j ≥ РВ);

W_кат = Р(П_j ≥ МС).

 

Рекомендується [3,10] витримувати співвідношення: W_доп < 0,1; W_кат < 0,001; W_крит ≤ 0,01.

 

Крива ризику має вигляд:

Рис.2.1. Крива ризику.

Можна також використовувати функцію густини розподілу ймовірності збитків f(x):

Заштрихована площа характеризує катастрофічний ризик.
Показники ризику і надійності взаємозв'язані.

Рис.2.2. Розподіл ймовірності ризику.

 

Неравенство Чебишева

Ймовірність настання ризикової події, математичне очікування, дисперсія (варіація) можливої втрати характеризують ризик з різних точок зору, але всі ці характеристики зв'язані між собою нерівністю Чебишева, яка формулюється таким чином: "Як би ні було позитивне число α, ймовірність того, що величина Х відхиляється від свого математичного очікування не менше ніж на α, обмежена зверху величиною :

де Dх – дисперсія величини х.

У разі, коли величина Х безперервна, нерівність Чебишева визначається аналогічним чином:

Вважаючи в нерівності Чебишева, маємо:

Ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування вийде за межі трьох СКВ, не може бути більше .

Нерівність Чебишева дає тільки верхню межу даної ймовірності. Вище за цю межу ймовірність не може бути. Наприклад, для нормального закону ця ймовірність рівна 0,003.

 

5.Коефіцієнт чутливості Бета β

Аналіз і оцінка співвідношення ризику і доходу (збитків) виконує важливу роль при інвестуванні і покупці цінних паперів.

При цьому як основний показник систематичного фінансового ризику використовується коефіцієнт чутливості β.

Систематичний ризик акції пов'язаний з вірогідністю подій, які впливають на фондовий ринок в цілому, і його не можна уникнути шляхом диверсифікації портфеля цінних паперів.

Показник β характеризує мінливість доходів за певну акцію щодо доходів в середньому по ринку повністю диверсифікованого портфеля, яким в ідеальному випадку є весь ринок цінних паперів.

Вважають, що систематичний ризик для "середньої" акції, динаміка доходів по якій співпадає з динамікою ринку цінних паперів, в цілому рівна 1.

Величина β³ – коефіцієнт систематичного ризику і-го активу (акції). Вона характеризує густину зв'язку між біржовим курсом акцій і-ой компанії і загальним станом ринку і визначається формулою:

 

Cov(R_i, R_m) – коваріація випадкових величин R_i и R_m;

де R_i - прибутковість і-го капітального активу (акції); R_m- загальноринковий середній рівень доходу; σ(R_i), σ(R_m) – середньоквадратичне відхилення відповідно і-го капітального активу і загальноринкової прибутковості; Cov(R_i, R_m) m) – коваріація прибутковості і-го активу і прибутковості ринку;ρ(R_i, R_m) – коефіцієнт кореляції прибутковості і-х цінних паперів і ринкової ставки доходу.

Значення β регулярно публікуються в західній фінансовій періодиці; σ використовується для оцінки якості інвестиційного проекту (ІП), зокрема, наскільки очікуваний дохід компенсує ризиковану внесків в певний вид цінних паперів. Розрахунком β займаються консалтингові фірми.

Показник β =1,35 свідчить про підвищену ризиковану фірми. Якщо фондовий індекс підвищиться на 20%, то у даної компанії – на 27%.