Статистична перевірка гіпотез про закон розподілу 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Статистична перевірка гіпотез про закон розподілу



 

 

Статистичною гіпотезою називається гіпотеза про вигляд неві­домого розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.

Процес використання вибірки для перевірки істинності (хиб­ності) статистичної гіпотези називають статистичною пере­вір­кою цієї гіпотези.

Одна з основних задач статистичної пере­вір­ки гіпотез ставиться так: на підставі тих чи інших даних висувається припущення про вид закону розподілу випадкової величини Х. Потрібно встановити, чи узгоджуються вибіркові значення Х з гіпотезою про те, що ця випадкова величина дійсно має вказаний розподіл.

Для перевірки гіпотези про те, що випадкова величина Х має функцію розподілу F (x), за вибіркою значень Х будують емпіричну функцію розподілу F* (x). Порівняння емпіричного F* (x) і теоре­тичного F (x) розподілів здійснюється за допомогою спеціально підіб­раної випадкової величини – критерію згоди.

Найбільш поширеними є критерій згоди c2 Пірсона і критерій l Колмогорова.

Критерій згоди c2

Нехай маємо результати n незалежних дослідів (вибірка об’єму n). Весь діапазон результатів розбиваємо на l інтервалів D1, D2, …, D l і будуємо інтервальний варіаційний ряд

 

Інтервали D i D1 D2 D i D l
Частоти ni n 1 n 2 ni nl

де .

Для перевірки гі­потези про те, що випадкова величина Х має функцію розподілу F (x), виконують таку послідовність дій.

1. За допомогою гіпотетичної функції розподілу F (x) обчис­лю­ють імовірності pi попадання випадкової величини Х в інтервали D i. Як­що, наприклад, D i = [ xi – 1, xi [, то pi = P (xi – 1 £ X < xi) = F (xi) – F (xi – 1) .

2. Перемножаючи отримані ймовірності pi на об’єм вибірки n, знаходять теоретичні частоти npi для інтервалів D i.

3. Обчислюють вибіркову статистику (критерій) c2:

. (11.1)

4. Визначають число k ступенів свободи за формулою k = lr – 1, де l – число інтервалів, r – число параметрів, які характери­зують гіпотетичний розподіл F (x).

5. За за­даним рівнем значущості a і числом ступенів свободи k знаходять з таблиці додатку 5 критичну точку . Якщо , висунуту гіпотезу відхиляють, тобто вважається, що гіпотетична функція розподілу F (x)не узгоджується з дослідними даними. Якщо ж , то вважається, що гіпо­тетична функція розподілу F (x) узгоджується з дослідними даними.

 

 

Критерій згоди l Колмогорова

 

Нехай висунута гіпотеза, що випадкова величина Х має непе­рервну функцію розподілу F (x). За вибіркою значень Х об’єму n (n ³ 50) перевірку висунутої гіпотези за допомогою критерію згоди l Колмогорова виконують у такій послідовності.

1. За результатами вибірки будують емпіричну функцію розподілу F* (x).

2. За допомогою гіпотетичної функції розподілу обчислюють значення теоретичної функції розподілу, що відповідають вибірковим значенням випадкової величини Х.

3. Знаходять міру D відхилення теоретичної функції розподілу від емпіричної

.

4. Обчислюють значення вибіркової статистики l

. (11.2)

5. За заданим рівнем значущості a з таблиці додатку 4 знаходять критичну точку la. Якщо l спост > la, то висунута гіпотеза відхиляється. Якщо ж l спост < la, то вважається, що гіпотетична функція розподілу F (x) узгоджується з дослідними даними.

 

Опитування з теорії

1. Що називається статистичною гіпотезою про закон розподілу? Як перевіряються гіпотези про закон розподілу?

2. Як перевіряється гіпотеза про закон розподілу за допомогою критерію згоди c2 (критерію Пірсона)?

3. Як перевіряється гіпотеза про закон розподілу за допомогою критерію згоди l Колмогорова?

4. Які умови мають виконуватися при застосуванні критеріїв Пірсона і Колмогорова?

 

Задача 1. З генеральної сукупності Х здійснена вибірка об¢єму n =100, яка задана у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот

Інтервали 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 17-19 19-21
Частоти ni              

Пере­ві­рити за допомогою критерію c2 при рівні значущості 0,05 гіпо­тезу про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Розв¢язання. З умови задачі випливає, що точні значення пара­метрів а = M (X) і s = s(X) гіпотетичного нормального розподілу нам невідомі, тому замість них будемо використовувати їх точкові оцінки і s. Для обчислення цих оцінок визначаємо середини xi* інтервалів і проводимо розрахунки:

=13,8;

.

Обчислюємо теоретичні ймовірності pi попадання випадкової величини Х в часткові інтервали [ xi – 1, xi [за формулою

,

де

– функція Лапласа.

Всі подальші обчислення, необхідні для знаходження значення , зводимо в наступну таблицю

 

Інтервали зміни значень Х ni Нормовані інтервали [ ui – 1; ui [ pi npi
7–9   ]– ¥; – 1,42[ 0,0778 7,78 0,6084 0,0782
9–11   [– 1,42; – 0,83[ 0,1255 12,55 19,8025 1,5779
11–13   [– 0,83; -0,24[ 0,2019 20,19 1,4161 0,0701
13–15   [-0,24; 0,36[ 0,2354 23,54 6,4516 0,2741
15–17   [0,36; 0,95[ 0,1883 18,83 8,0089 0,4253
17–19   [0,95; 1,54[ 0,1093 10,93 1,1449 0,1047
19–21   [1,54; + ¥[ 0,0618 6,18 3,3124 0,536

Контроль: .

З останнього стовпця таблиці отримуємо

.

За таблицею критичних точок розподілу c2 (додаток 5) при рівні значущості a = 0,05 і числі ступенів свободи k = lr – 1 = 7 – 2 – 1 = 4 знаходимо критичну точку .

Оскільки , то нема підстав для відхилення гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Задача 2. Задані результати випробування 1000 елементів на час безвідмовної ро­боти. Перевірити за допомогою критерію c2 при рівні значу­щості 0,01 гіпотезу про те, що час Х безвідмовної роботи елементів розпо­ділений за показниковим законом.

Час в год. 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
Частота              

Розв¢язання. Параметр l гіпотетичного показникового розподілу невідомий, тому замість нього будемо використовувати його точкову оцінку . Вибіркову середню (середній час безвідмовної роботи одного елемента) обчислюємо за допомогою середин інтервалів :

(5×365+15×245+25×150+35×100+45×70+55×45+65×25) = 20.

Отже, і щільність гіпотетичного показникового розподілу має вигляд

(x > 0).

Обчислюємо теоретичні ймовірності pi попадання випадкової величини Х в часткові інтервали [ xi – 1, xi [за формулою

.

Всі подальші обчислення, необхідні для знаходження значення , зводимо в наступну таблицю

Інтервали зміни значень Х ni pi npi
0-10   0,3935 393,5 812,25 2,0642
10-20   0,2386 238,6 40,96 0,1715
20-30   0,1448 144,8 27,04 0,1867
30-40   0,0878 87,8 148,84 1,6952
40-50   0,0532 53,2 282,24 5,3053
50-60   0,0323 32,3 161,29 4,9935
60-¥   0,0498 49,8 475,24 9,543

Контроль: .

Зауваження. Оскільки випадкова вели­чина Х, розподілена за показниковим законом, приймає значення в інтервалі ] 0; + ¥[, то найбіль­ше значення змінної замінено на + ¥.

З останнього стовпця таблиці отримуємо

.

За таблицею критичних точок розподілу c2 (додаток 5) при рівні значущості a = 0,01 і числі ступенів свободи k = lr – 1 = 7 – 1 – 1 = 5 знаходимо критичну точку .

Оскільки , тому гіпотезу про показниковий розподіл генеральної сукупності слід відхилити.

Задача 3. З генеральної сукупності Х здійснена вибірка об¢єму n =100, яка задана у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот

Інтервали 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12 12 - 14 14 - 16
Частоти ni            

Вважаючи відомими a = M (X)=10, s=s(X)=4, перевірити за допомогою критерію l Колмогорова при рівні значущості 0,05 гіпотезу про те, що вибірка здійснена з нормально розподіленої генеральної сукупності.

Розв’язання. Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом з параметрами a = 10, s = 4, має вигляд

, де - функція Лапласа.

 

За вибірковими даними (n = 100) обчислюємо значення емпі­ричної функції розподілу , теоретичної функції розподілу F (x) і абсолютні величини різниць F *(xi) – F (xi). Результати обчислень зводимо в таблицю

 

xi F *(xi) F (xi) | F *(xi) – F (xi)|
    0,0668 0,0668
  0,11 0,1587 0,0487
  0,27 0,3085 0,0385
  0,48 0,5 0,02
  0,71 0,6915 0,0185
  0,9 0,8413 0,0587
    0,9332 0,0668

 

З останнього стовпця таблиці знаходимо

.

Обчислюємо значення вибіркової статистики l

і за таблицею критичних точок розподілу Колмогорова (Додаток 4) при рівні значущості a = 0,05 знаходимо критичну точку la = 1,358.

Оскільки l спост < la, то нема підстав для відхилення гіпотези про нормальний розподіл гене­ральної сукупності.

Задача 4. Результати вимірювання однотипних деталей наведені в таблиці

li, мм ni li, мм ni li, мм ni
40,10 - 40,15   40,25 - 40,30   40,40 - 40,45  
40,15 - 40,20   40,30 - 40,35   40,45 - 40,50  
40,20 - 40,25   40,35 - 40,40   40,50 - 40,55  

Перевірити за допомогою критерію l Колмогорова при рівні зна­чущості 0,01 гіпотезу про те, що вибірка здійснена з генеральної сукупності, рівномірно розподіленої в проміжку [40,10; 40,60].

Розв’язання. Функція розподілу випадкової величини, рівно­мір­но розподіленої в проміжку [40,10; 40,60], має вигляд

За вибірковими даними (n = 80) обчислюємо значення емпі­ричної функції розподілу , теоретичної функції розподілу F (x) і абсолютні величини різниць F *(xi) – F (xi). Результати обчислень зводимо в таблицю

xi F *(xi) F (xi) |F *(xi) – F (xi)|
40,10 40,15 40,20 40,25 40,30 40,35 40,40 40,45 40,50 40,55 40,60 0,162 0,337 0,475 0,550 0,637 0,675 0,788 0,950 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,062 0,137 0,175 0,150 0,137 0,075 0,088 0,150 0,1

З останнього стовпця таблиці знаходимо

.

Обчислюємо значення вибіркової статистики l

і за таблицею критичних точок розподілу Колмогорова (Додаток 4) при рівні значущості a = 0,01 знаходимо критичну точку la = 1,627.

Оскільки l спост < la, підстав для відхилення гіпотези про рівномірний розподіл гене­ральної сукупності нема.

 

Задачі для аудиторної та самостійної роботи

 

1. Результати вимірювання 68 деталей, виготовлених на одному станку, наведені в таблиці

Розмір деталі в мм 2,9-3,9 3,9-4,9 4,9-5,9 5,9- 6,9 6,9-7,9
Частота          

Перевірити за допомогою критерію c2 при рівні значущості 0,01 гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини Х – розмір деталі. Відповідь: Гіпотеза прий­мається.

2. Результати вимірювання вхідного опору 130 електронних ламп наведені в таблиці

Вхідний опір в Ом 3,0-3,6 3,6-4,2 4,2-4,8 4,8- 5,4 5,4-6,0 6,0-6,6 6,6-7,2
Частота              

Перевірити за допомогою критерію c2 при рівні значущості 0,01 гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини Х – вхід­ний опір електронної лампи. Відповідь: Гіпотеза відхиляється.

3. Задані результати випробування елементів на час безвідмовної ро­боти. Перевірити за допомогою критерію c2 при рівні значу­щості 0,01 гіпотезу про те, що час безвідмовної роботи елементів розпо­ділений за показниковим законом.

а) Час в год. 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
Частота            

 

б) Час в год. 0 -10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
Частота              

Відповідь: a) Гіпотеза приймається; б) гіпотеза приймається.

4. За допомогою радіодальноміра проведено 100 вимірювань відстані до орієнтира. Похибки хі вимірювань відстані (в метрах) наведені в таблиці

хі 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40
Частота            

Перевірити за допомогою критерію l Колмогорова при рівні значущості 0,01 гіпотезу про те, що вибірка здійснена з нормально розподіленої генеральної сукупності. Відповідь: Гіпотеза прий­мається.

5. Результати вимірювання однотипних деталей наведені в таблиці

Розмір деталі в мм 20,2-20,3 20,3-20,4 20,4-20,5 20,5-20,6 20,6-20,7
Частота          

Перевірити за допомогою критерію l Колмогорова при рівні зна­чущості 0,01 гіпотезу про те, що вибірка здійснена з генеральної сукупності, рівномірно розподіленої в проміжку [20,2; 20,7].

Відповідь: Гіпотеза прий­мається.

 

 

Практичне заняття 12



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-10; просмотров: 447; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.197.108.187 (0.04 с.)