Статистична перевірка гіпотез про закон розподілу

 

 

Статистичною гіпотезою називається гіпотеза про вигляд неві­домого розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.

Процес використання вибірки для перевірки істинності (хиб­ності) статистичної гіпотези називають статистичною пере­вір­кою цієї гіпотези.

Одна з основних задач статистичної пере­вір­ки гіпотез ставиться так: на підставі тих чи інших даних висувається припущення про вид закону розподілу випадкової величини Х. Потрібно встановити, чи узгоджуються вибіркові значення Х з гіпотезою про те, що ця випадкова величина дійсно має вказаний розподіл.

Для перевірки гіпотези про те, що випадкова величина Х має функцію розподілу F (x), за вибіркою значень Х будують емпіричну функцію розподілу F^* (x). Порівняння емпіричного F^* (x) і теоре­тичного F (x) розподілів здійснюється за допомогою спеціально підіб­раної випадкової величини – критерію згоди.

Найбільш поширеними є критерій згоди c² Пірсона і критерій l Колмогорова.

Критерій згоди c²

Нехай маємо результати n незалежних дослідів (вибірка об’єму n). Весь діапазон результатів розбиваємо на l інтервалів D₁, D₂, …, D _l і будуємо інтервальний варіаційний ряд

 

Інтервали D i	D1	D2	…	D i	…	D l
Частоти ni	n 1	n 2	…	ni	…	nl

де .

Для перевірки гі­потези про те, що випадкова величина Х має функцію розподілу F (x), виконують таку послідовність дій.

1. За допомогою гіпотетичної функції розподілу F (x) обчис­лю­ють імовірності p_i попадання випадкової величини Х в інтервали D _i. Як­що, наприклад, D _i = [ x_{i – 1}, x_i [, то p_i = P (x_{i – 1} £ X < x_i) = F (x_i) – F (x_{i – 1}) .

2. Перемножаючи отримані ймовірності p_i на об’єм вибірки n, знаходять теоретичні частоти np_i для інтервалів D _i.

3. Обчислюють вибіркову статистику (критерій) c²:

. (11.1)

4. Визначають число k ступенів свободи за формулою k = l – r – 1, де l – число інтервалів, r – число параметрів, які характери­зують гіпотетичний розподіл F (x).

5. За за­даним рівнем значущості a і числом ступенів свободи k знаходять з таблиці додатку 5 критичну точку . Якщо , висунуту гіпотезу відхиляють, тобто вважається, що гіпотетична функція розподілу F (x)не узгоджується з дослідними даними. Якщо ж , то вважається, що гіпо­тетична функція розподілу F (x) узгоджується з дослідними даними.

 

 

Критерій згоди l Колмогорова

 

Нехай висунута гіпотеза, що випадкова величина Х має непе­рервну функцію розподілу F (x). За вибіркою значень Х об’єму n (n ³ 50) перевірку висунутої гіпотези за допомогою критерію згоди l Колмогорова виконують у такій послідовності.

1. За результатами вибірки будують емпіричну функцію розподілу F^* (x).

2. За допомогою гіпотетичної функції розподілу обчислюють значення теоретичної функції розподілу, що відповідають вибірковим значенням випадкової величини Х.

3. Знаходять міру D відхилення теоретичної функції розподілу від емпіричної

.

4. Обчислюють значення вибіркової статистики l

. (11.2)

5. За заданим рівнем значущості a з таблиці додатку 4 знаходять критичну точку l_a. Якщо l _спост > l_a, то висунута гіпотеза відхиляється. Якщо ж l _спост < l_a, то вважається, що гіпотетична функція розподілу F (x) узгоджується з дослідними даними.

 

Опитування з теорії

1. Що називається статистичною гіпотезою про закон розподілу? Як перевіряються гіпотези про закон розподілу?

2. Як перевіряється гіпотеза про закон розподілу за допомогою критерію згоди c² (критерію Пірсона)?

3. Як перевіряється гіпотеза про закон розподілу за допомогою критерію згоди l Колмогорова?

4. Які умови мають виконуватися при застосуванні критеріїв Пірсона і Колмогорова?

 

Задача 1. З генеральної сукупності Х здійснена вибірка об¢єму n =100, яка задана у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот

Інтервали	7-9	9-11	11-13	13-15	15-17	17-19	19-21
Частоти ni

Пере­ві­рити за допомогою критерію c² при рівні значущості 0,05 гіпо­тезу про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Розв¢язання. З умови задачі випливає, що точні значення пара­метрів а = M (X) і s = s(X) гіпотетичного нормального розподілу нам невідомі, тому замість них будемо використовувати їх точкові оцінки і s. Для обчислення цих оцінок визначаємо середини x_i^* інтервалів і проводимо розрахунки:

=13,8;

.

Обчислюємо теоретичні ймовірності p_i попадання випадкової величини Х в часткові інтервали [ x_{i – 1}, x_i [за формулою

,

де

– функція Лапласа.

Всі подальші обчислення, необхідні для знаходження значення , зводимо в наступну таблицю

 

Інтервали зміни значень Х	ni	Нормовані інтервали [ ui – 1; ui [	pi	npi
7–9		]– ¥; – 1,42[	0,0778	7,78	0,6084	0,0782
9–11		[– 1,42; – 0,83[	0,1255	12,55	19,8025	1,5779
11–13		[– 0,83; -0,24[	0,2019	20,19	1,4161	0,0701
13–15		[-0,24; 0,36[	0,2354	23,54	6,4516	0,2741
15–17		[0,36; 0,95[	0,1883	18,83	8,0089	0,4253
17–19		[0,95; 1,54[	0,1093	10,93	1,1449	0,1047
19–21		[1,54; + ¥[	0,0618	6,18	3,3124	0,536

Контроль: .

З останнього стовпця таблиці отримуємо

.

За таблицею критичних точок розподілу c² (додаток 5) при рівні значущості a = 0,05 і числі ступенів свободи k = l – r – 1 = 7 – 2 – 1 = 4 знаходимо критичну точку .

Оскільки , то нема підстав для відхилення гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.

Задача 2. Задані результати випробування 1000 елементів на час безвідмовної ро­боти. Перевірити за допомогою критерію c² при рівні значу­щості 0,01 гіпотезу про те, що час Х безвідмовної роботи елементів розпо­ділений за показниковим законом.

Час в год.	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
Частота

Розв¢язання. Параметр l гіпотетичного показникового розподілу невідомий, тому замість нього будемо використовувати його точкову оцінку . Вибіркову середню (середній час безвідмовної роботи одного елемента) обчислюємо за допомогою середин інтервалів :

(5×365+15×245+25×150+35×100+45×70+55×45+65×25) = 20.

Отже, і щільність гіпотетичного показникового розподілу має вигляд

(x > 0).

Обчислюємо теоретичні ймовірності p_i попадання випадкової величини Х в часткові інтервали [ x_{i – 1}, x_i [за формулою

.

Всі подальші обчислення, необхідні для знаходження значення , зводимо в наступну таблицю

Інтервали зміни значень Х	ni	pi	npi
0-10		0,3935	393,5	812,25	2,0642
10-20		0,2386	238,6	40,96	0,1715
20-30		0,1448	144,8	27,04	0,1867
30-40		0,0878	87,8	148,84	1,6952
40-50		0,0532	53,2	282,24	5,3053
50-60		0,0323	32,3	161,29	4,9935
60-¥		0,0498	49,8	475,24	9,543

Контроль: .

Зауваження. Оскільки випадкова вели­чина Х, розподілена за показниковим законом, приймає значення в інтервалі ] 0; + ¥[, то найбіль­ше значення змінної замінено на + ¥.

З останнього стовпця таблиці отримуємо

.

За таблицею критичних точок розподілу c² (додаток 5) при рівні значущості a = 0,01 і числі ступенів свободи k = l – r – 1 = 7 – 1 – 1 = 5 знаходимо критичну точку .

Оскільки , тому гіпотезу про показниковий розподіл генеральної сукупності слід відхилити.

Задача 3. З генеральної сукупності Х здійснена вибірка об¢єму n =100, яка задана у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот

Інтервали	4 - 6	6 - 8	8 - 10	10 - 12	12 - 14	14 - 16
Частоти ni

Вважаючи відомими a = M (X)=10, s=s(X)=4, перевірити за допомогою критерію l Колмогорова при рівні значущості 0,05 гіпотезу про те, що вибірка здійснена з нормально розподіленої генеральної сукупності.

Розв’язання. Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом з параметрами a = 10, s = 4, має вигляд

, де - функція Лапласа.

 

За вибірковими даними (n = 100) обчислюємо значення емпі­ричної функції розподілу , теоретичної функції розподілу F (x) і абсолютні величини різниць F ^*(x_i) – F (x_i). Результати обчислень зводимо в таблицю

 

xi	F ^*(xi)	F (xi)	| F ^*(xi) – F (xi)|
		0,0668	0,0668
	0,11	0,1587	0,0487
	0,27	0,3085	0,0385
	0,48	0,5	0,02
	0,71	0,6915	0,0185
	0,9	0,8413	0,0587
		0,9332	0,0668

 

З останнього стовпця таблиці знаходимо

.

Обчислюємо значення вибіркової статистики l

і за таблицею критичних точок розподілу Колмогорова (Додаток 4) при рівні значущості a = 0,05 знаходимо критичну точку l_a = 1,358.

Оскільки l _спост < l_a, то нема підстав для відхилення гіпотези про нормальний розподіл гене­ральної сукупності.

Задача 4. Результати вимірювання однотипних деталей наведені в таблиці

li, мм	ni	li, мм	ni	li, мм	ni
40,10 - 40,15		40,25 - 40,30		40,40 - 40,45
40,15 - 40,20		40,30 - 40,35		40,45 - 40,50
40,20 - 40,25		40,35 - 40,40		40,50 - 40,55

Перевірити за допомогою критерію l Колмогорова при рівні зна­чущості 0,01 гіпотезу про те, що вибірка здійснена з генеральної сукупності, рівномірно розподіленої в проміжку [40,10; 40,60].

Розв’язання. Функція розподілу випадкової величини, рівно­мір­но розподіленої в проміжку [40,10; 40,60], має вигляд

За вибірковими даними (n = 80) обчислюємо значення емпі­ричної функції розподілу , теоретичної функції розподілу F (x) і абсолютні величини різниць F ^*(x_i) – F (x_i). Результати обчислень зводимо в таблицю

xi	F ^*(xi)	F (xi)	|F ^*(xi) – F (xi)|
40,10 40,15 40,20 40,25 40,30 40,35 40,40 40,45 40,50 40,55 40,60	0,162 0,337 0,475 0,550 0,637 0,675 0,788 0,950	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	0,062 0,137 0,175 0,150 0,137 0,075 0,088 0,150 0,1

З останнього стовпця таблиці знаходимо

.

Обчислюємо значення вибіркової статистики l

і за таблицею критичних точок розподілу Колмогорова (Додаток 4) при рівні значущості a = 0,01 знаходимо критичну точку l_a = 1,627.

Оскільки l _спост < l_a, підстав для відхилення гіпотези про рівномірний розподіл гене­ральної сукупності нема.

 

Задачі для аудиторної та самостійної роботи

 

1. Результати вимірювання 68 деталей, виготовлених на одному станку, наведені в таблиці

Розмір деталі в мм	2,9-3,9	3,9-4,9	4,9-5,9	5,9- 6,9	6,9-7,9
Частота

Перевірити за допомогою критерію c² при рівні значущості 0,01 гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини Х – розмір деталі. Відповідь: Гіпотеза прий­мається.

2. Результати вимірювання вхідного опору 130 електронних ламп наведені в таблиці

Вхідний опір в Ом	3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	4,8- 5,4	5,4-6,0	6,0-6,6	6,6-7,2
Частота

Перевірити за допомогою критерію c² при рівні значущості 0,01 гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини Х – вхід­ний опір електронної лампи. Відповідь: Гіпотеза відхиляється.

3. Задані результати випробування елементів на час безвідмовної ро­боти. Перевірити за допомогою критерію c² при рівні значу­щості 0,01 гіпотезу про те, що час безвідмовної роботи елементів розпо­ділений за показниковим законом.

а)	Час в год.	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30
Частота

 

б)	Час в год.	0 -10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
Частота

Відповідь: a) Гіпотеза приймається; б) гіпотеза приймається.

4. За допомогою радіодальноміра проведено 100 вимірювань відстані до орієнтира. Похибки х_і вимірювань відстані (в метрах) наведені в таблиці

хі	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40
Частота

Перевірити за допомогою критерію l Колмогорова при рівні значущості 0,01 гіпотезу про те, що вибірка здійснена з нормально розподіленої генеральної сукупності. Відповідь: Гіпотеза прий­мається.

5. Результати вимірювання однотипних деталей наведені в таблиці

Розмір деталі в мм	20,2-20,3	20,3-20,4	20,4-20,5	20,5-20,6	20,6-20,7
Частота

Перевірити за допомогою критерію l Колмогорова при рівні зна­чущості 0,01 гіпотезу про те, що вибірка здійснена з генеральної сукупності, рівномірно розподіленої в проміжку [20,2; 20,7].

Відповідь: Гіпотеза прий­мається.

 

 

Практичне заняття 12