Основні закони розподілу неперервних випадкових величин

 

Рівномірний розподіл

Неперервна випадкова величина X називається розподіленою рівномірно на відрізку [ a, b ], якщо її щільність розподілу (диферен­ціальна функція розподілу) має вигляд

(7.1)

Рівномірно розподілена на відрізку [ a, b ] випадкова величина X приймає значення тільки з цього проміжку. Інтегральна функція F (x) рівномірного розподілу визначається так:

(7.2)

Якщо проміжок [a, b] єчастиною відрізка [ a, b ]: [a, b]Ì[ a, b ], то ймовірність Р (a £ X £ b) того, що рівномірно розподілена випадкова величина X прийме значення у проміжку [a, b], обчислюється за формулою

. (7.3)

Математичне сподівання, дисперсія і середнє квад­ра­тичне відхилення випадкової величини X, рівномірно розподіленої на відрізку [ a, b ], обчислюються за формулами

(7.4)

 

Нормальний закон розподілу

Нормальним називається розподіл неперервної випадкової величини X, щільність розподілу якої (диферен­ціальна функція розподілу) має вигляд

, (7.5)

де a і s - па­раметри нормального розподілу (s > 0).

Інтегральна функція нормального розподілу має вигляд

(7.6)

де

функція Лапласа.

Ймовірність того, що випадкова величина X, розпо­ділена за нормальним законом з параметрами а і s,прийме зна­чення з інтервалу ]a, b[, обчислюється за формулою

(7.7)

Справедлива також формула

, (7.8)

за допомогою якої обчислюють ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал, симетричний відносно точки х=а.

Математичне сподівання, дисперсія і середнє квад­ра­тичне відхилення випадкової величини X, розподіленої за нормальним законом, обчислюються за формулами

М (Х) = а, D (Х) = s², s(Х) = s. (7.9)

8) Для нормального розподілу має місце правило “трьох сигм”: якщо випадкова ве­личина розподілена за нормальним законом, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання практично не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення

9) P (| X – a | < 3s) = 0,9973» 1.

Якщо Х ₁, Х ₂,..., Х_n – однаково розподілені неза­лежні випадкові величини з математичним сподіванням М (Х_i) = a і дисперсією D (X_i) = s² (i = ), то при достатньо великих значеннях n (n >10)розподіл су­ми Y = X ₁ + X ₂ + … + X_n близький до нормального з параметрами М (Y) = nа, D (Y) = n s².

Показниковий розподіл

Неперервна випадкова величина Х називається розподіленою за показниковим (експоненціальним) законом, якщо її щільність розподілу має вигляд

(7.10)

де l = const > 0 – параметр показникового розподілу.

Інтегральна функція показникового розподілу має вигляд

(7.11)

Ймовірність того, що випадкова вeличина X прийме значен­ня в інтервалі ]a, b[ (0 < a < b), обчислюється за формулою

10)

P (a < X < b) = e ^–la – e ^–lb. (7.12)

Основні числові характеристики показникового закону розподілу мають вигляд

(7.13)

11) Нехай T - неперервна випадкова величина, що виражає час безвідмовної роботи деякого елемента. В багатьох випадках випадкова величина T розподілена за показниковим законом з інтегральною функцією

12) F (t) = 1 – e ^{–l t} (t ³ 0, l = const > 0).

13) Функція R (t) = 1 – F (t) = e ^{–l t} (t ³ 0) визначає ймовірність безвідмовної роботи елемента протягом часу t і називається функцією надійності.

14) Параметр l визначає інтенсивність відмов (середнє число відмов елемента за одиницю часу), математичне сподівання випадкової величини T - це середня тривалість безвідмовної роботи елемента.

 

Опитування з теорії

1. Який вигляд мають диференціальна та інтегральна функції рівномірного розподілу? Побудувати їх графіки.

2. Навести формули для обчислення ймовірності P (a < X < b) та основні числові характеристики випадкової величини, розподіленої рівномірно.

3. Який вигляд мають диференціальна та інтегральна функції нормального розподілу? Побудувати їх графіки.

4. Навести формули для обчислення ймовірностей P (a < X < b), P (| X-a| < e) та основні числові характеристики випадкової величини, розподіленої за нормальним законом.

5. Сформулювати правило “трьох сигм”.

6. Який вигляд мають диференціальна та інтегральна функції показникового розподілу? Побудувати їх графіки.

7. Навести формули для обчислення ймовірності P (a < X < b) та основні числові характеристики випадкової величини, розподіленої за показниковим законом.

8. Який вигляд має функція надійності у випадку показникового закону розподілу часу безвідмовної роботи елемента? Пояснити зміст цієї функції.

 

Задача 1. Неперервна випадкова величина Х розподілена рівномірно на відрізку [-1; 3]. Записати:

1) щільність розподілу і функцію розподілу Х;

2) обчислити ймовірність потрапляння випадкової величини Х в інтервал ]0,5; 2[;

3) обчислити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.

Розв”язання. Для розв”язання задачі використовуємо формули (7.1) – (7.4), поклавши в них а = -1, b = 3.

1) Щільність розподілу f (x) і функція розподілу F (x) випадкової величини Х мають вигляд

2) Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу ]0,5; 2[ дорівнює

3) Математичне сподівання, дисперсія і середнє квад­ра­тичне відхилення випадкової величини X відповідно дорівнюють

Задача 2. Ціна поділки шкали вимірювального приладу дорівнює 0,1. Дані округлюють до найближчого цілого значення шкали. Вважаючи похибку ок­руглень випадковою величиною, розподіленою рівномірно в інтер­валі між двома сусідніми поділками шкали, знайти ймовірність того, що при зніманні показів приладу буде допущена похибка: а) більша за 0,02; б) менша за 0,04.

Розв”язання. Нехай випадкова величина Х – похибка округлень. За умовою задачі Х розподілена рівномірно в інтервалі ]0; 0,1[. Функція розподілу випадкової величини Х має вигляд (7.2)

а) Похибка вимірювань перевищить значення 0,02, якщо вона потрапить в інтервал ]0,02; 0,08[. Тоді, за формулою (7.3) маємо

б) Похибка вимірювань буде меншою за 0,04, якщо вона потрапить в один з інтервалів ]0; 0,04[ або ]0,06; 0,1[. Шукану ймовірність Р знаходимо за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій

Р = Р (0 < X < 0,04) + Р (0,06 < X < 0,1) =

Задача 3. Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом і має щільність розподілу

.

Записати функцію розподілу F (x), знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х і обчислити ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення: а) з інтервалу ]-1; 3[; б) більше 4; в) менше 1.

Розв”язання. Порівнюючи задану щільність розподілу f (x) із загальним виглядом щільності нормального розподілу (7.5), знаходимо параметри нормального закону розподілу а = 2, s =3. У відповідності з формулами (7.6), (7.9) маємо:

М (Х) = а = 2, D (Х) = s² = 9, s(Х) = s = 3.

За формулою (7.7) обчислюємо потрібні ймовірності:

 

Задача 4. Деталь, виготовлена станком-автоматом, вважається придатною, якщо від­хилення Х контрольованого розміру від проектного значення не пе­ревищує 10мм. Точність виготовлення деталей характеризується стандартним відхиленням s. Вважаючи, що для даної технології s = 5 і величина Х розподілена нормально (s(Х) = s, М (Х) = 0), з’ясувати:

1) скільки відсотків придатних деталей виготовляє автомат?

2) якою має бути точність виготовлення, щоб відсоток придат­них деталей дорівнював 98?

Розв”язання. 1) Деталь, виготовлена станком - автоматом, вважається придатною, якщо виконується умова

| X – M (X) | £ 10 або | X | £ 10.

За формулою (7.8) знаходимо ймовірність цієї події

Таким чином, станок-автомат виготовляє приблизно 95% придатних деталей.

2) Нову точність s виготовлення деталей, при якій станок- автомат буде виготовляти 98% придатних деталей, знаходимо з умови

Маємо , звідки, за таблицею значень функції Лапласа, знаходимо або s =

Задача 4.Норма висіву на 1 га дорівнює 160 кг. Випадкові відхилення фак­тичних витрат насіння на 1га від норми характеризуються серед­нім квадратичним відхиленням 10 кг. Знайти: а) ймовірність того, що витрати насіння на 100га не перевищать 16,05т; б) кількість насіння, яка забезпечить посів 100 га з імовірністю 0,95.

Розв’язання. Нехай Х_і = “фактичні витрати насіння для засіву і- го гектара” . Для незалежних випадкових величин Х_і маємо за умовою M (X_i) = 160 кг, s(X_i) = 10 кг .

Розглянемо випадкову величину X = “ витрати насіння для засіву 100га ”. Очевидно, що . У відповідності з цент­ральною граничною теоремою вважаємо, що ви­падкова величина X має нормальний розподіл. Знаходимо пара­метри цього розподілу.

.

Отже, s = s(X) = 100 кг = 0,1т. Тепер обчислюємо потрібну ймовірність

Р (Х £ 16,05) = Р (-¥ < Х £ 16,05) = Ф – Ф = =Ф(0,5) – Ф(– ¥) = Ф(0,5) + Ф(+ ¥) = 0,1915 + 0,5 = 0,6915.
2) Позначимо шукану кількість зерна, яка забезпечить засів 100га з імовірністю 0,95, через . Величину знайдемо із співвідношення або , звідки матимемо

;

; .

За таблицею значень функції Ф(х) (Додаток 2) знаходимо значення аргументу для одержаного значення 0,45 функції Лапласа. Воно дорівнює 1,64. Тоді

т.

Ця кількість зерна за даних умов забезпечить засів 100га з ймовірністю 0,95.

Задача 6. Випадкова величина Х має показниковий розподіл з функцією розподілу

Записати щільність розподілу f (x), знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х і обчислити ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення з інтервалу ] 1; 2[.

Розв”язання. Враховуючи загальний вигляд (7.11) функції розподілу F (x) для показникового закону розподілу, знаходимо значення параметра l цього розподілу: l = 3. Далі за формулами (7.10), (7.13) знаходимо щільність розподілу

і основні числові характеристики випадкової величини Х

.

Ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення з інтервалу ] 1; 2[, обчислюємо за формулою (7.12)

P (1 < X < 2) = e ^–3– e ^–6 = 0,0498 – 0,00248» 0,047.

Задача 7. Випадкова величина Т - час безвідмовної роботи пристрою – розподілена за показнико­вим законом із щільністю розподілу f (t) = 0,01 e ^{- 0,01 t} (t ³ 0 час в годинах). Знайти ймовірність того, що за час t = 50 годин:

а) пристрій не відмовить; б) пристрій відмовить.

Розв’язання. Параметр l показникового закону розподілу (інтенсивність відмов) дорівнює l = 0,01.

а) Ймовірність того, що пристрій пропрацює без відмов протягом t годин знаходимо за допомогою функції надійності R (t) = Р (Т > t) = e ^{–l t} = e ^{- 0,01 t} (t ³ 0). Отже, R (50) = e ^–0,01·50 = e ^–0,5» 0,61.

б) Ймовірність відмови пристрою протягом 50 годин знаходимо як імовірність протилежної події Р (Т < t) =1- P (T > t) = 1 – R (t).

Отже, Р (Т < 50) = 1 – R (50) = 1 - e ^–0,5» 0,39.

 

Задачі для аудиторної і самостійної роботи

1. Неперервна випадкова величина Х розподілена рівномірно на відрізку [ 2; 8]. Записати: а) щільність розподілу і функцію розподілу Х; б) обчислити ймовірність потрапляння випадкової величини Х в інтервал ]1,4; 5[; в) обчислити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х. Відповідь:

а)

б) 0,6. в) M (X) = 5/3; D (X) = 3; s(X) = .

 

 

2. Автобуси деякого маршруту рухаються строго за графіком з інтер­валом руху 5 хв. Знайти ймовірність того, що пасажир, який підій­шов до зупинки, буде чекати чергового автобуса: а) менше 3хв; б) більше 2хв. Відповідь: a) 0,6; б) 0,6.

3. Записати диференціальну функцію f (x) випадкової величини Х, розподіленої нормально, якщо М (Х) = 3, D (X) = 16.

Відповідь: .

4. Математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення випад­кової величини Х, розподіленої за нормальним законом, відпо­від­но дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті досліду Х прийме значення: а) менше12; б) більше 20; в) з інтервалу ]15; 25[.

Відповідь: a) 0,0548; б) 0,5; в) 0,6826.

5.Контрольована довжина Х деталі, яка виготовляється станком-ав­томатом, розподілена за нормальним законом з математичним спо­діванням (проектна довжина) 50мм. Фактична довжина виготов­лених деталей не менша 32мм і не більша 68мм. Знайти ймовір­ність того, що довжина навмання взятої деталі: а) більша 55мм; б) менша 40 мм.

Відповідь: a) 0,0823; б) 0,0027.

6.Кулька, виготовлена станком-автоматом, вважається придатною, якщо відхилення Х діаметра кульки від проектного розміру менше за абсолютною величиною ніж 0,7 мм. Вважаючи випадкову величину Х розподіленою нормально із середнім квадратичним відхиленням s = 0,4 мм, знайти, скільки придатних кульок буде серед 100 виготовлених. Відповідь: 92.

7. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним сподіванням М (Х) = 10, ймовірність потрапляння Х в інтервал ]10;20[ дорівнює 0,3. Чому дорівнює ймовірність того, що Х потрапить в інтервал ]0;10[? Відповідь: 0,3.

8. Середня вага плодів в одному ящику дорівнює 10кг, а середнє квадратичне відхилення у вазі плодів одного ящика дорівнює 1,5кг. Знайти: а) ймовірність того, що в 100 ящиках буде не менше 970 кг плодів; б) найбільше значення, яке не перевищить вага плодів у 100 ящиках з імовірністю 0,95. Відповідь: 0,9772; б) 1024,7кг.

9. Випадкова величина Х має показниковий розподіл з щільністю розподілу

Записати функцію розподілу F (x), знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х і обчислити ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х прийме значення з інтервалу ] 1; 2[.

Відповідь:

Р (1< Х <2)» 0,22; M (X) = s(X) = 2,5; D (X) = 6,25.

10.Тривалість часу Т безвідмовної роботи першого з двох незалеж­но працюючих елементів має показниковий розподіл F ₁(t) = 1 – e ^{-0,02 t} , другого F ₂(t) = 1 – e ^{-0,05 t} . Знайти ймовірність того, що за час t = 6 годин: а)обидва елементи відмовлять; б) обидва елементи не відмовлять; в) відмовить тільки один елемент; г) відмовить хоч один елемент. Відповідь: а) 0,03; б) 0,66; в) 0,31; г) 0,34.

 

 

Практичне заняття 8