Дати означення системи випадкових величин.

Системою випадкових величин Х1, Х2,...,Хn називають сукупність цих ВВ, які вивчаються або розглядаються одночасно(СВВ).(Х;У), (Х;У;Z)...

Систему n ВВ (Х1, Х2,...,Хn) можна розглядати як випадкову точку в n-вимірному просторі з координатами (Х1, Х2,...,Хn) або як випадковий вектор, напрямлений з початку координат у точку М (Х1,Х2,...,Хn)

Законом розподілу ДВВ називається перелік можливих значень цієї величини (хі, уk) та їх імовірностей р(хі, уk), і=1,2,..., n; k=1,2,...,m

Найбільш часто закон розподілу двв задають у вигляді таблиці з двома входами. Закон розподілу двв дозволяє отримати закони розподілу кожної компоненти.

3.коефіцієнт кореляції –це кількісна характеристика залежності випадкових величин X та Y і часто використовується в статистиці

r XY=

Випадкові величини та звуть некорельованими якщо їх кореляційний момент або коефіцієнт кореляції дорівнює нулю.

Властивості:1.! rXY!≤1

2.Якщо X та Y незалежні то r XY=0

3.якщо між X та Y є лінійна залежність Y=aX+b де а і b–постійні, то!rXY!=1

Вибірковий коефіцієнт кореляції визначається , де x,y –варіанти ознак X та Y, n_xy – частота пари варіант, n –обєм вибірки, σ_x,σ_y –вибіркові середні квадратичні відхилення, , - вибіркові середні. Відомо, що якщо величини Y та X не залежать, то коефіцієнт кореляції r=0, якщо r= -1, то Y та Х зв´язані лінійною функцією начальною залежністю, звідси слідує, що коефіцієнт кореляції вимірює силу лінійного зв´язку між Y та Х. Вибірковий коефіцієнт кореляції r – являється оцінкою коефіцієнта кореляції r генеральної сукупності і тому слугує для виміру лінійного зв´язку між величинами кількісними ознаками Х та Y. Якщо вибірка має достатньо великий об´єм та добре представляє генеральну сукупність, то заключення про щільність лінійної залежності між ознаками, яке отримано за даними вибірки, в відомій степені може бути розповсюджено і на генеральну сукупність. Приклад – для оцінки коефіцієнта кореляції r_y нормально розподіленої генеральної сукупності (при np=50) можна скористатися формулою:

4. Для перевірки правильності основної статистичної гіпотези Но необхідно:

1) визначити гіпотезу Н1, альтернативну до гіпотези Но;

2) обрати статистичну характеристику перевірки;

3) визначити допустиму імовірність похибки першого роду, тобто рівень значущості α;

4) знайти за відповідною таблицею критичну область (критичну точку) для обраної статистичної характеристики.

До критичної області належать такі значення статистичної характеристики, при яких гіпотеза Но відхиляється на користь альтернативної гіпотези Н1.

Якщо гіпотеза Но правильна, то з імовірністю α значення вибіркової функції будуть належати критичній області.

Так, при перевірці гіпотези Но про рівність дисперсій двох нормальних сукупностей при альтернативній

H1: D(X)>D(Y)

Треба знайти спостережене значення критерія Фішера-Снедекора, тобто

Fcn=S1*S1/S2*S2,

А потім з таблиці критичних точок цього розділу по заданому рівню значущості α та степенях вільності k1=n1-1 та k2=n2-1 знайти Fkp (α; k1; k2).

Якщо Fcn<Fkp, то гіпотеза Но приймається.

Якщо Fcn>Fkp, то Но відхиляють.

5.Дати означення ф-ціїї розподілу двв. Основні властивості ф-ції розподілу, її геометричний зміст.

Ф-цією розпділу двв (Х,У) називають ф-цію 2-х змінних F(х,у), яка визначає для кожної пари чисел (Х,У) імовірність виконання нерівностей X<x; Y<y, тобто F(x,y)=P(X<x; Y<y).

Аналогічно визначають ф-цію розподілу n вв: F(х1,х2,…,xn)= P(X<x; Y<y,…, Xn<xn)

Властивості:

0≤ F(x,y)≤1;

F(х,у)не спаднка ф-ція за кожним аргументом, тобто F(x2,y)≥ F(x1,y), якщо x2> x1; F(x,y2) >F(x,y1), якщо у2> у1;

Мають місце граничні співвідношення: F(-∞,y)=0; F(x1,∞-)=0; F(∞,∞)=1;

Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x1 ≤Х ≤х2; у1 ≤У≤ у2}можна знайти за формулою: Р(x1 <Х <х2; у1 <У< у2)= {F(х2,у2)- F(х1,у2)}- {F(х2,у1)- F(х1,у1)}

Геометричний зміст ф-ї розподілу F(х,у) – це імовірність того, що випадкова точка М(Х,У), попаде у нескінченний прямокутник з вершиною в т.(Х,У) і розміщений нижче та лівіше цієї вершини М(Х,У)

6.Дати означення щільності розподілу імовірностей двовимірної випадкової величини. Навести її основні властивості та імовірнісний зміст. Записати формули для обчислення імовірності влучення випадкової точки:а) в довільну двовимірну область Д; б) в прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат. Пояснити зміст позначень.

 

Законом розподілу дискретної двохвимірної випадкової величини називають перелік можливих значень цієї величини (, ) та їх імовірностей p(, ), і=1,2,….,n; k=1,2,…,m. Найбільш часто закон розподілу двохвимірної випадкової величини задають у вигляді таблиці з двома входами. У першому рядку таблиці записують усі можливі значення компоненти Х. У першому стовпчику записують усі значення компоненти У. На перетині k-го рядка та і-го стовпчика записують імовірності p(, )того, що двохвимірна випадкова величина (Х,У) прийме значення (, )і=1,2,….,n; k=1,2,…,m.

Законом розподілу двохвимірної випадкової величини дозволяє отримати закони розподілу кожної компоненти.

Властивість 1: Двовимірна платність імовірності не додатня:

f(x,y)≥0

Доведення: Ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник зі сторонами ∆х і ∆у є не додатнє число;площа цього трикутника позитивне число. Следоватильно, відносини цих двох чисел, а значить і їх приділ (при ∆х 0 і ∆у 0), які рівні f(x,y) є не додатнє число.

f(x,y)≥0

 

Властивість 2: Подвійний несобственний інтеграл з безкінечними приділами від двомірної платності =1

 

f(x,y)dxdy=1

Доведення: Безкінечні приділи інтегрірованія вказують що обласю інтегріровання слугує вся плоскість хОу; поскільки подія состоящач в тому що випадкова точка попаде при експерименті на плоскість хОу, дійсно,то ймовірність цієї події =1.

f(x,y)dxdy=1

А) Переходячи до приділу при ∆х 0 і ∆у 0 отримаєм:

Б)P(

X=

Питання №7