Вивести рівняння лінійної середньоквадратичної регресії y та X (y на X). Пояснити зміст позначень. Дати означення коефіцієнту регресії, залишкової дисперсії та пояснити, що вони характеризують.

Теорема. Лінійна середньоквадратична регресія Y на X має вигляд

де m_x=M(X), m_y=M(Y),

, r = - коефіцієнт кореляції величин Y та X.

Доведення. Розглянемо функцію двох незалежних аргументів і :

(1)

Враховуючи, що М(Х- m_x)=М(Y- m_y)=0, М[(Х- m_x)(Y- m_y)]= , і зробивши викладки отримаємо

Дослідимо функцію на екстремум, для чого прирівняємо до нуля частинні похідні:

, звідси
Легко впевнитися, що при цих значеннях і досліджувана функція приймає найменше значення.

Отже, лінійна середньоквадратична регресіяY та X має вигляд:

, або

Коефіцієнт називають коефіцієнтом регресії Y на X, а пряму

називають прямою середньоквадратичної регресії Y на X.

Підставивши знайдені значення і в співвідношення (1), отримаємо мінімальне значення функції рівне . Величину називають залишковою дисперсією випадкової величини Y відносно випадкової величини X; вона характеризує величину помилки, яку допускають при заміні Y лінійною функцією . При r= 1 залишкова дисперсія дорівнює нулю; іншими словами, при цих крайніх значеннях коефіцієнта кореляції не виникає помилки при представленні Y у вигляді лінійної функції від X.

48. Дати означення генеральної та вибіркової середніх. Довести незміщеність вибіркової середньої як оцінки генеральної середньої. Сформулювати властивість стійкості вибіркових середніх.

Генеральною середньою називають середнє арифметичне значень ознаки генеральної сукупності.

Якщо всі значення х₁,х₂,…,х_N ознаки генеральної сукупності об’єму N різні, то

=(х₁+х₂+…+ х_N)/ N

Якщо значення ознаки х₁,х₂,…,х_k N₁, N₂, …, N_k, причому N₁+ N₂+ …+ N_k=N, то

 

=(х₁N₁+х₂N₂+…+ х_kN_k)/ N,

Тобто генеральна середня є середня зважена значень ознаки з вагами, що рівні відповідним частотам.

Вибірковою середньою називають середнє арифметичне значення ознаки вибіркової сукупності.

Якщо всі значення х₁,х₂,…,х_n ознаки вибіркової сукупності об’єму n різні, то

=(х₁+х₂+…+ х_n)/ n

Якщо значення ознаки х₁,х₂,…,х_k n₁, n₂, …, n_k, причому n₁+ n₂+ …+ n_k=N, то

 

=(х₁n₁+х₂n₂+…+ х_kn_k)/ n, або

 

= ,

Тобто вибіркова середня є середня зважена значень ознаки з вагами, що рівні відповідним частотам.

Нехай з генеральної сукупності (в результаті незалежних спостережень над кількісною ознакою Х) вилучена повторна вибірка об’єму n зі значеннями ознаки х₁,х₂,…,х_{n .}Будемо вважати ці значення ознаки різними. Нехай генеральна середня невідома і необхідно оцінити її за даними вибірки. В якості оцінки генеральної середньої приймають вибіркову середню

=(х₁n₁+х₂n₂+…+ х_kn_k)/ n

Впевнимося, що - незміщена оцінка, тобто покажемо, що математичне сподівання цієї оцінки рівне . Будемо розглядати як випадкову величину і х₁,х₂,…,х_n як незалежні, однаково розподілені випадкові величини Х₁, Х₂, …, Х_n. Оскільки ці величини однаково розподілені, то вони мають однакові числові характеристики, а саме однакові математичні сподівання, яке позначимо через a. Так, як математичне сподівання середнього арифметичного однаково розподілених випадкових величин рівне математичному сподіванню кожної з величин, то

М(Х_в)= М[(X₁+X₂+…+X_n)/n]=a (1)

Прийнявши до уваги, що кожна з величин має той же розподіл, що і генеральна сукупність, значить і числові характеристики цих величин і генеральної сукупності однакові. А саме, математичне сподівання а кожної із величин рівне математичному сподіванню ознаки Х генеральної сукупності, тобто

М(Х)= =а

Замінивши в формулі (1) математичне сподівання а на отримаємо

М(Х_в)=

Тим самим доведено, що вибіркова середня є незміщена оцінка генеральної середньої.

При збільшенні об’єму вибірки n вибіркова середня прямує по ймовірності до генеральної середньої, а це і значить, що вибіркова середня є состоятельная оцінка генеральної середньої. Якщо по декільком вибіркам достатньо великого об’єму із однієї і тієї ж генеральної сукупності будуть знайдені вибіркові середні, то вони будуть приблизно рівні між собою. В цьому і полягає властивість стійкості вибіркових середніх.

49. Записати випадкові величини, які мають розподіли: а) Пірсона; б)Стьюдента; в)Фішера. Записати функції щільності розподілу ймовірностей для цих розподілів. Пояснити зміст позначень.

А) Нехай Х_і(і=1, 2,…, n) – нормальні незалежні випадкові величини, причому математичне сподівання кожної із них рівне нулю, а середнє квадратичне відхилення – одиниці. Тоді сума квадратів цих величин

розподілена по закону с k=n степенями вільності; якщо ж ці величини зв’язані одним лінійним співвідношенням, наприклад , то число вільності k=n-1.

Щільність цього розподілу

, де

- гамма-функція, а саме Г(n+1)=n!

Звідси видно, що цей розподіл визначається одним параметром – числом степенів вільності k. Із збільшенням числа степенів вільності розподіл повільно наближається до нормального.

Б) Нехай Z – нормальна випадкова величина, причому М(Z)=0, , а V – незалежна від Z величина, яка розподілена по закону з k степенями вільності. Тоді величина

має розподіл, який називають t-розподілом або розподілом Стьюдента з k степенями вільності.

Отже, відношення нормованої нормальної величини до квадратного кореня із незалежної випадкової величини, розподіленої по закону з k степенями вільності, діленої на k, розподілено по закону Стьюдента з k степенями вільності.

Із збільшенням числа степенів вільності розподіл Стьюдента швидко наближається до нормального.

В) Якщо U і V – незалежні випадкові величини, розподілені по закону зі степенями вільності k₁ і k₂, то величина

має розподіл, який називають розподілом F Фішера-Снедекора зі степенями вільності k₁ і k₂ (інколи його позначають через V )

Щільність цього розподілу:

, де

 

Розподіл F визначається двома параметрами – числами степенем вільності.

50. Дати означення функції випадкової величини. Записати формулу для знаходження щільностей імовірностей функції неперервного випадкового аргумента. Навести приклади побудови закону розподілу функції двв та щільності імовірностей функції нвв.

Функцією розподілу називають функцію F(x), що определяють ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробування прийме значення, менше х, тобто F(x)=Р(Х<х).

Геометрично це рівність можна истолковать: F(x) це ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі точкою, що знаходиться лівіше від точки х.

Щільність розподілу ймовірностей НВВ Х називають функцію f(x) – першу похідну від функції розподілу F(x)

, з ціого означення випливає, що функція розподілу є першообразною для щільності розподілу

приклад

ДВВ Х задана таблицею розподілу Х 1 4 8\

Р 0,3 0,1 0,6

Знайти функцію розподілу та графік.

Розвязок якщо х<=1, то F(x)=0, Якщо 1<х<=4, то F(x)=0,3. Дійсно, х може прийняти значення 1 с ймовірністю 0,3

Якщо 4<х<=8, то F(x)=0,4. Дійсно, якщо х1 удовлєтворяє нерівності 4<х1<=8, то F(x)=ймовірності події Х<x1, яка може бути здійснене, коли Х прийме значення 1, або значення 4. Ці дві події не совмесні, то по теоремі складання імовірність події Х<х1, дорівнює сумі ймовірностей 0,3+0,1=0,4.

Якщо більше 8, то F(x)=1. Дійсно, подія х<=8 достовірна, тобто його ймовірність = 1.

Приклад2 Дана функція розподілу неперервної випадкової величини Х. знайти щільність.

Зв'язок: f(x)=

51. Записати формули для обчислення математичного сподівання та дисперсії: а) функції д.в.в.; б) фцнкції н.в.в. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.

А) Математичним сподіванням д.в.в. суму добутків всіх її можливих значень на їх ймовірності.

Нехай випадкова величина Х може приймати тільки значення х₁,х₂,…,х_n, ймовірності яких відповідно рівні р₁,р₂, …, р_n. Тоді математичне сподівання М(Х) випадкової величини Х визначається рівністю:

М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_np_n

Якщо д.в.в. Х приймає злічену множину можливих значень, то

М(Х)=

причому математичне сподівання існує, якщо ряд в правій частині рівності сходиться абсолютно.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання в.в. Х, знаючи її закон розподілу

Х 3 5 2

Р 0.1 0.6 0.3

М(Х)= 3*0.1+5*0.6+2*0.3=3.9

Дисперсією випадкової величини х називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання для ДВВ:

D(X)=M[X-M(X)]

Приклад 2. Знайти дисперсію в.в. Х, яка задана наступним законом розподілу:

Х 2 3 5

Р 0.1 0.6 0.3

М(Х )=4*0.1+9*0.6+25*0.3=13.3

D(X)=13,3 – (3,5) =1,05

Б) Математичним сподіванням н.в.в. Х, можливі значення якої належать відрізку [а, b] називається визначений інтеграл:

Якщо можливі значення належать всій осі,то

Дисперсією н.в.в. називають математичне сподівання квадрату її відхилення. Якщо можливі значення Х належать відрізку [а, b], то

 

Якщо можливі значення належать всій осі х, то

52. Дати означення емпіричної та теоретичної частот, записати формулу для обчислення теоретичних частот для розподілу Пуассона.

Емпіричними частотами називають фактично спостерігаємі частоти n_i. Нехай є наміри допустити, що вивчаєма величина Х розподілена по деякому визначеному законом. Щоб перевірити, чи співпадає дане припущення з даними спостереження., вичисляють частоти спостерігаємих значень, тобто знаходять теоретичну частоту n_i кожного з спостерігаємих значень в припущення, що величина Х розподілена по припущеному закону.

Теоретичні, на відміну від фактичних спостережуваних емпіричних частот називають частоти n_i, знайдені теоретично (вичисленням). Теоретичні частоти знаходять за допомогою рівності n_i=Р_і* n.

Для розподілу Пуассона:

У випадку, коли ВВ розподілена нормально, то вирівнюючі частоти можуть бути знайдені за формулою:

Де n- число випробувань (об‘єм вибірки), h-довжина часткового інтервалу, σ-вибіркове середньоквадратичне відхилення, u_i=(x_i- _B)/σ.

Наприклад, для розподілу Пуассона:

xi
ni

Р(0)=0,33469, Р(1)=0,0,251021,….

Вир

Х_в=34,7. σ_в=7,38.