Дати означення генеральної сукупності, вибіркової сукупності (вибірки), об’єму вибірки, повторної, безповторної та репрезентативної вибірок.

Вибірковою сукупністю або просто вибіркою називають сукупність випадково відібраних об'єктів.

Генеральною сукупністю називають сукупність об'єктів, з яких виробляється вибірка.

Об'ємом сукупності (вибіркової або генеральної) називають число об'єктів цієї сукупності.

Наприклад, якщо з 1000 деталей відібрано для обстеження 100, то об’єм генеральної сукупності N=1000, а об’єм вибірки n=100.

Повторною називають вибірку, при якій відібраний об'єкт (перед відбором наступного) повертається в генеральну сукупність.

Безповторною називають вибірку, при якій відібраний об'єкт у генеральну сукупність не вертається.

Для того, щоб за даними вибірки можна було б достатньо впевнено говорити про ту чи іншу ознаку генеральної сукупності, необхідно, щоб об’єкти вибірки правильно її представляли. Іншими словами, вибірка має правильно представляти пропорції генеральної сукупності. Цю вимогу коротко формулюють так: вибірка має бути репрезентативною.

38. Навести умови схеми випробовувань Бернуллі. Записати формулу Бернуллі. Сформулювати граничні теореми у схемі випробовувань Бернуллі: а) теорему Пуассона, б) локальну та інтегральну теореми Лапласа (Муавра-Лапласа). Перелічити основні властивості локальної та інтегральної функцій Лапласа.

Випробовування проводяться за схемою Бернулі, якщо здійснюється n однакових незалежних випадкових експериментів або один і той же експеримент проводиться n раз у незмінних умовах. При цьому в кожному випробовуванні деяка подія може з´явитися з ймовірністю р або нез´явитися з ймовірністю 1-р=q.

Незалежність означає, що ймовірність появи події в кожному випробовуванні не залежить від її появи чи не появи в попередніх випробовуваннях.

Формула Бернулі Нехай треба обчислити ймовірність того, що в n випробовуваннях, проведених за схемою Бернуллі деяка подія А з’явиться к раз (0≤к≤n)

Якщо при проведенні випробувань за схемою Бернулі число випробовувань n достатньо велике (n→∞), а ймовірність р дуже мала(р→0), то використовується теорема Пуассона.

, ,

р<0,1 – мала ймовірність

Якщо при проведенні випробовувань за схемою Бернуллі, число випробовувань n достатньо велике, а ймовірність р суттєво відрізняється від 0 або 1, то має місце локальна теорема Муавра-Лапласа: Якщо вірогідність р появи події А в кожному досліді постійна та відмінна від 0 та1, то вірогідність P_n(k) того, що подія А з’явиться в n випробовуваннях рівно k раз приблизно дорівнює значенню функції

; ;

Існують таблиці, в яких поміщені значення функцій , які відповідають певним додатнім значенням аргумента.

локальна функція М-Л: φ(-х)=φ(х)

х?[0,4]- дод.1; х≥4-φ(х)≈0

 

Інтегральна теорема Лапласа: Якщо вірогідність р появи події А в кожному досліді постійна та відмінна від 0 та1, то вірогідність P_n(k₁, k₂) того, що подія А з’явиться в n випробовуваннях від k₁ до k₂ раз приблизно дорівнює визначеному інтегралу

, де і

 

Існують спеціальні таблиці, які визначають функцію Лапласа Ф(х)

Інтегральна функція Лапласа

х?[0;5)- дод.2; при х≥5-Ф(х)≈0,5; функція непарна.

39. Дати визначення: а)полігону; б)гістограми; в)кумуляти частот та частостей. Назвати їх імовірнісний зміст. Навести приклади побудови.

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки (х₁,n₁),…(x_k,n_k). Для побудови полігону частот на осі абсцис відкладають варіанти x_i, а на осі ординат – відповідні їм частоти n_i. Точки (х_і,n_і) з’єднують відрізками прямих та отримують полігон частот.

Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки (х₁,W₁),…(x_k,W_k). Для побудови полігону відносних частот на осі абсцис відкладають варіанти x_i, а на осі ординат – відповідні їм відносні частоти W_i. Точки з’єднують відрізками прямих і отримують полігон відносних частот.

У випадку непевної ознаки доцільно будувати гістограму, для чого інтервал, в якому містяться всі значення ознаки розбивається на кілька інтервалів довжиною h і знаходиться для кожного інтервалу суму частот варіант, потрапивши в певний інтервал.

Для побудови гістограми частот на осі абсцис відкладають частинні інтервали, а над ними проводять відрізки, паралельні осі абсцис на відстані n_i/h.

Гістограма відносних частот – ступінчата фігура, яка складається з прямокутників, основами яких є частинні інтервали довжиною h, а висоти рівні відношеннюW_i/h.

Для побудови гістограми відносних частот на осі абсцис відкладають частинні інтервали, а над ними проводять відрізки паралельні осі абсцис на відстані W_i/h. Площа гістограми відносних частот дорівнює сумі всіх відносних частот, тобто, одиниці.

Кумулята слугує для графічного зображення кумулятивного варіаційного ряду. Для її побудови на осі абсцис відкладають значення аргумента, а на осі ординат – накопичені частоти або накопичені відносні частоти. Масштаб на кодній осі обирається довільно. Далі будують точки, абсциси яких рівні варіантам (у випадку дискретних рядів) або верхнім границям інтервалів (у випадку інтервальних рядів), а ординати – відповідним частотам (накопиченим частотам). Ці точки з’єднуються відрізками прямої. Отримана ламана є кумулятою.