Сформулювати основні властивості математичного сподівання і дисперсії.

Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній М(С) = С.

Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання М(СХ)=С*М(Х).

Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних дискретних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто М(Х1*Х2*…*Хn) = М(Х1)*М(Х2)*…*М(Хn).

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто М(Х1+Х2+…+Хn) = М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хn)

Основні властивості дисперсії.

1)Дисперсія будь-якої ДВВ Х невід’ємна

Дійсно, (Х – М(Х))2 невід’ємна, тому згідно означення математичного сподівання та властивостей pk, k =1,2, …, n, D(X) також невід’ємна.

2)Дисперсія постійної величини С дорівнює нулеві

D(X) = 0

Дійсно, якщо Х=С, то М(С)= С, тому С – М(С) = 0

3)Постійний множник С можна виносити за знак дисперсії, при цьому постійний множник треба піднести у квадрат

D(СX) = С2 D(X).

Дійсно, СХ – М(СХ) = С (Х – М(Х)), тому

(СХ – М(СХ))2 = С2 (Х – М(Х))2.

Постійний множник С2 можна виносити за знак математичного сподівання, тому з формули D(X) = М((Х – М(Х))2) випливає потрібна рівність D(СX) = С2 D(X).

4) Дисперсія ДВВ Х дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини Х та квадрата її математичного сподівання

D(X) = М(Х2) – (М(Х))2.

Дійсно, D(X) = М((Х – М(Х))2) = М(Х2 – 2ХМ(Х) + М2(Х)) = М(Х2) – 2М2(Х) + М2(Х) = М(Х2) - М2(Х).

5) дисперсія алгебраїчної суми ДВВ Х та Y дорівнює сумі їх дисперсій .

 

2.7.Записати основні закони розподілу д.в.в.: а) біноміальний; б)Пуассона; в)геометричний. Пояснити зміст позначень. Навести приклади д.в.в., розподілених за цими законами.

1. Біноміальний

2.Пуассона

3.Геометричний

.

4. Гіпергеометричний

Біноміальний закон розподілу.

Йм-ті в цьому законі визначаються за формулою P(X=m)=Cmnpm(1-p)n-m, m=0,1,2,…,n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з йм-тю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові х-ки закону: MX=np; DX=np(1-p).

Випадкова величина X називається розподіленою за законом Пуассона (або, що те саме, має пуассонівський розподіл) з параметром λ, якщо для неї виконується рівність:

Пуассонівський розподіл справедливий для подій, які мають малу ймовірність чи трапляються нечасто. Ним, наприклад, можна описати ймовірність того, що футболіст заб'є гол у конкретному матчі. Іноді футболіст забиває один гол, рідше два, ще рідше робить хет-трик, Пеле одного разу забив вісім. Найчастіше футболіст не забиває жодного.

Ймовірність забити k голів за гру визначається параметром λ, що є середньою кількістю голів, які забиває футболіст. Якщо λ велике число, то ймовірність має досягати максимуму при якомусь k. В такому випадку мова йде радше про баскетболіста, який може набирати, наприклад, 22 очка за гру в середньому. Тоді ймовірність набрати 2 очка буде малою. Ймовірність набрати 42 очка теж буде малою, а максимум ймовірності буде в районі саме 22 очок. Геометричний закон розподілу Р(Х=m)=pq, m=1,2,3… Геометр закон розп має частота настання події у схемі незалежних повторних випробувань, якщо вони проводяться до першого настання події. У ф-лі: р– йм-сть настання події в кожному випробу-ванні. Геометричний закон розподілу застосовуєть-ся у задачах статистичного контролю якості і теорії надійності. Числові х-ки: MX=1/p; DX=(1-p)/p2.

2.8.Записати основні закони розподілу н.в.в.: а) рівномірний; б) показниковий; в) нормальний. Пояснити зміст позначень. Навести приклади д.в.в., розподілених за цими законами.

1.Рівномірний. Величина Х розподілена рівномірно у проміжку (a,b), якщо усі її можливі значення належать цьому проміжку і щільність її імовірностей у цьому проміжку постійна, тобто

 

При х (a,b),

При х (a,b).

Величина визначається умовою нормування Р(а< X<b) = C(a - b) = 1

Імовірність влучення Х в інтервал (х1, х2) дорівнює відношенню довжини цього інтервалу до довжини усього проміжку (a,b).

Цей розподіл задовольняють, наприклад, похибки округлення різноманітних розрахунків.
С=const

2. Нормальний. Випадкову величину Х називають розподіленою нормально, якщо щільність її імовірностей має вигляд

, де а та σ – параметри розподілу.

Графік цієї функції називається нормальною кривою або кривою Гаусса. При а=0 та Ϭ=1 нормальну криву називають нормованою Тобто це функція Лапласа яка табульована. Заміна змінної з використанням інтеграла Пуассона.

а)Ймовірність того, що Х прийме значення, яке належить інтервалу (α,β):

-функція Лапласа.
б) Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення менша числа γ:

3. Показниковий. Випадкову величину Х називають розподіленою за показниковим законом, якщо щільність її імовірностей має вигляд

при х 0;

 

при х<0, де λ>0 – параметр.

Показниковому розподілу задовольняють: час телефонної розмови, чс ремонту техніки, час безвідмовної роботи комп’ютера. Якщо НВВ Х розподілена за показниковим законом, то вона має математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення рівні.

Показниковим (експоненціальним) назив розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х, яка описується функцією щільності , λ – постійна додатня величина. Функція розподілу показникового закону Ймовірність попадання в інтервал (а, в):

Властивості ф-ції розподілу:1) ; 2) ; 3) ; 4) Ф-ція розподілу F(X) є неспадною ф-цією ; 5)

Властивості ф-ції щільності розподілу: 1) ; 2) ; 3) ; 4)