Виписати формулу для обчислення імовірності хоча б однієї з декількох подій, незалежних у сукупності.Пояснити зміст позначень. Навести приклади.

Події називаються незалежними якщо імовірність появи однієї не залежить від появи або не появи іншої. P=a/n-імовірність певної події,а-кількісь наслідків єксперименту, коли відбвається певна подія. N-загальна кількість наслідків експерименту.Тож імовірність появи хоча б одієї події буде Р=Р1+Р2...+Рn,де Р1,Р2, Рn імовірності появи незалежних подій. Приклад:кидання двох монет, поява орла чи решки внаслідок киданя однієї монети не залежить від результату кидання другої монети. Потрібно додати що якщо події незалежні то умовна імовірність події дорівнює її безумовнії імовірності.

1.16. Вивести формули: а) повної імовірності; б) Байеса. Пояснити зміст позначень. Навести приклади застосування цих формул.

Імовірність події А, яка може настати лише при умові появи однієї з несумісних подій В1,В2,В3..В_n, які утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків імовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну імовірність події А. P(A)=P(B1)*P_B1(A)+P(B2)*P_B2(A)+...P(B_n)P_Bn(A).

Це формула повної імовірності. P(A)-імовірність події А, P(B1)-імовірність події В1, P_B1(A)-умовна імовірність події А при виконанні події В1.

Приклад: В першій коробці 20 радіоламп, з них 18 стандартних, в другій – 10 ламп, з них 9 стандартних. З другої коробки навмання взята лампа і перекладена в першу.

Формула Байєса:

P_A(B1)=(P(Bi)*P_Bi(A))/(P(B1)*P_B1(A)+P(B2)*P_B2(A)+…+P(Bn)*P_Bn(A)).Пояснення букв як і для повної імовірності. Формули Байєса дозволяють переоцінити імовірність гіпотез, після того, як стає відомим результат випробовування, в результаті якого з’явилася подія А.

Приклад: Деталі потрапляють на перевірку до одного з двох контролерів. Імовірність, що попаде до першого-0,6, що до другого-0,4. Імовірність того що деталь буде признана стандартною першим контролером-0,95. Другим-0,93. Деталь була признана стандартною. Яка імовірність того, що деталь перевірив перший контролер?

Описати схему випробувань Бернулі. Записати формулу Бернулі.Навести приклади її застосування.

Незалежні випробування. Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може відбутись або не відбутись. Якщо ця ймовірність у кожному випробуванні не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називаються незалежними щодо події А. Згідно з означенням випробування також незалежні, якщо в кожному з них імовірність настання події А однакова. Імовірність того, що подія А відбудеться в кожному з незалежних випробувань, позначають а ймовірність настання протилежної події Для розв’язування задач на повторні незалежні випробування застосовують такі формули і теореми.Формула Бернуллі. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо n<=10.

Приклад

Монета кидається 3 рази, Р того, що «герб» випаде один раз

n=3

А-«випадання герба»

Р(А)=р=

Р()= =q

K=1

А + А + А= Р(А)* Р()*Р()+Р()*Р(А)*Р()+Р()*Р()*Р(А)=pqq+qpq+qqp=3pq =

Р (1)= C *(0,5) *(0,5)

 

1.18. С формулювати граничні теореми у схемі випробувань Бернулі. а)Пуассона. б) Локальну та інтегральну Лапласа.

Теорема Пуасона

Нехай проводиться n випробувань, кожному з яких ймовірність настання події А є сталою величиною. Якщо кількість випробувань прямує до нескінченності, а ймовірність настання події А , то ймовірність того, що Р (k) ,де

Зауваження

Якщо кількість випробувань n є дуже велике число n>1000, а р є дуже мале p<0,01, то

Р (к)

Задача

Перевозиться 1000 пляшок від А до В. Імовірність того, що будь-яка пляшка розібьється =0,001. Знайти Р того, що під час перевезення розіб’ється тільки одна пляшка.

Р (1)

Локальна теорема Лапласа(Муавра-Лапласса)

Якщо виконуються умови схеми випробувань Бернуллі:

-проводиться n випробувань,кожному з яких є стала і=р.

-при достатньо великих n ймовірність того,що n випробувань подія А з`явиться рівно к-раз.

Р (k) * (х), де х= ,

а (х)= *е -називається локальною функцією Лапласса.( -парна)

Рівність є тим точнішою,чим більше випробувань n проведено.

Ф-я (х) має такі властивості:

1.Якщо х=0,то (0)= =0,3989( 0,4).

2.Якщо х ,то ф-я (х) .

3.Ф-я є парною ф-ю (-х)= (х)

Ф-я (х) є табульованою ф-єю,тобто значення ф-ї у певних точках міститься у відповідних таблицях.

Приклад.

У пологовому будинку нараховано 100 дітей,яка ймовірність того,що серед цих 100 дітей 60 хлопців. Якщо Р(А)=0,55

n=100.k=60.А= «народження хлопчика».Р=0,55.q=0,45

Р (60)

Х= = =1 (1)

Зауваження: Таке правило локальна теорема Лаппаса використовується якщо кількість випробувань n>50, а ймовірність р 0, р 1.