Поняття та основні властивості ймовірності

Ймовірність події А – це число Р(А), яке характеризує шанси події відбутись чи не відбутись в даному випадковому експерименті.

1) Ймовірність – це число, яке не може бути менше нуля і більше 1.

2) Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.

3) Ймовірність достовірної події дорівнює 1.

 

Класичне означення ймовірності

Кажуть, що дана елементарна подія сприяє події А, якщо подія А відбувається кожний раз, коли ця елементарна подія є результатом випадкового експерименту.

Припустимо, що множина елементарних подій скінченна і всі елементарні події рівноможливі (мають однакові ймовірності).

Ймовірністю події А називається відношення числа елементарних подій, що сприяють події А, до числа всіх елементарних подій експерименту.

 

Відносна частота події

Нехай випадковий експеримент повторювали n разів і при цьому у k іспитах відбулась подія А. Відношення називається відносноючастотою події А і позначається Якщо при великих значеннях n відносна частота мало відрізняється від деякого числа Р, то кажуть що подія А є статистично стійкою і число Р – її ймовірність.

Геометричні ймовірності

Нехай в геометричну область G скінченної міри навмання кинута точка. Ймовірність попадання цієї точки в деяку область називається геометричною ймовірністю і шукається за формулою де – міра відповідної геометричної області.

 

Опитування з теорії

 

1.Що таке випадковий експеримент, випадкові події, елементарні події?

2.Як утворюється простір елементарних подій, як він позначається?

3.Як можна розглядати випадкові події по відношенню до простору

елементарних подій? Що означає, що відбулась випадкова подія?

4.Які операції з подіями можна виконувати? Дати означення цих

операцій.

5.Що таке ймовірність, які її основні властивості?

6.Дати класичне означення ймовірності.

7.Що називається відносною частотою події?

8.Що таке геометрична ймовірність?

 

Задача 1. Випробування полягає в однократному підкиданні симетричного грального кубика і спостереженні числа очок, що випали на верхній грані. Побудувати простір елементарних подій і вказати підмножини , що відповідають випадковим подіям:

1) подія А – випало парне число очок;

2) подія В – випало число очок, що ділиться на 3;

3) подія С – число очок, що випали, більше 3.

В чому полягають події

Розв’язання. Для симетричного грального кубика рівноможливим є випадання на верхній грані чисел 1, 2, …, 6. Позначимо через елементарну подію, що на верхній грані кубика випало очок. Тоді простір елементарних подій буде складатись з 6 елементарних подій:

1)Розглянемо подію А. Вона відбувається, якщо на верхній грані випадуть числа 2, 4, 6. Виберемо з множини відповідні елементарні події, що сприяють події А: .

2) Подія В відбувається, якщо випадають числа 3 і 6. Виберемо з множини відповідні елементарні події, що сприяють події В: .

3) Подія С відбувається, якщо випадають числа 4, 5, 6. Виберемо з множини відповідні елементарні події, що сприяють події С: .

Подія відбувається, коли випадає непарне число очок, а саме: 1, 3, 5, тому Подія відбувається, коли випаде число, що не ділиться на 3, це: 1, 2, 4, 5, тому Подія відбувається, коли випадають числа, не більші за 3,тобто: 1, 2, 3, тому . Подія відбувається, коли випаде число, що ділиться або на 2, або на 3, або і на 2 і на 3 одночасно, тобто випадуть числа 2, 3, 4, 6, тому Подія АВ відбувається, якщо випаде число очок, що ділиться на 2 і на 3 одночасно, це 6, тому Подія відбувається, коли випаде парне число очок, яке більше 3, це 4 і 6, тому Подія відбувається, коли випаде парне число очок, яке не більше 3, тобто число 2, тому подія .

Зауваження. Суму чи добуток подій можна знаходити, використовуючи операції об’єднання чи перерізу відповідних множин: ; .

Задача 2. Нехай А, В, С – випадкові події, що можуть відбутися в одному експерименті. Описати такі події:

1) з подій А, В, С відбулась тільки В (подія D);

2) відбулась хоч одна подія з подій А, В, С (подія Е).

Розв’язання. 1) Подія D полягає в тому, що з трьох подій А, В, С відбулась тільки подія В, це означає, що події А і С не відбулись, тобто одночасно з В відбулись протилежні події до подій А і С. Тому подію D можна представити так: .

2) Подію Е легко представити, використовуючи операцію додавання подій:

Задача 3. Робітник виготовив три деталі. Нехай подія полягає в тому, що i -та деталь має дефект. Використовуючи операції над подіями, записати такі події:
1) жодна з деталей не має дефектів (подія А);

2) хоча б одна з деталей має дефект (подія В);
3) тільки одна деталь дефектна (подія С);

4) точно дві деталі дефектні (подія D);
5) точно дві деталі не дефектні (подія Е);

6) не більше двох деталей дефектні (подія F).

Розв’язання. 1) Подія А полягає в тому, що перша деталь не дефектна, одночасно друга деталь не дефектна і третя деталь не дефектна, тобто .

2) Подія В полягає в тому, що або перша деталь дефектна, або друга деталь дефектна, або третя деталь дефектна, тобто .

3) Подія С полягає в тому, що або перша деталь дефектна, а друга і третя деталі не дефектні, або друга деталь дефектна, а перша і третя не дефектні, або третя деталь дефектна, а перша і друга не дефектні, тому .

4) Подія D полягає в тому, що одна з деталей не дефектна, в той час, як дві інші – дефектні. Не дефектною може бути або перша деталь (дві інші – дефектні), або друга (дві інші – дефектні), або третя (дві інші – дефектні), тому .

5) Подію Е можна отримати так само, як і подію D, якщо видалити риски над тими подіями, де вони є, і поставити риски там, де їх нема: .

6) Подія F полягає в тому, що або зовсім нема дефектних деталей (подія А), або тільки одна деталь дефектна (подія С), або точно дві деталі дефектні (подія D), тому .

Задача 4. Монету підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події: А – принаймні один раз з’явиться герб, В – при другому підкиданні з’явиться герб. Знайти ймовірності подій А та В, вважаючи, що всі елементарні події рівноможливі.

Розв’язання. Будемо випадання герба позначати символом Г, випадання цифри позначати символом Ц, послідовне випадання герба і цифри у вказаному порядку позначати символом ГЦ і т.д. Використовуючи ці позначення, опишемо простір елементарних подій: , маємо 4 елементарні події як можливі наслідки випробування. Опишемо подію А. Подивимось, які елементарні події сприяють події А. Це такі елементарні події, в символічному двохлітерному записі яких літера Г зустрічається або один, або два рази, тому .

Проаналізуємо, які елементарні події сприяють події В. Це такі елементарні події, в символічному двобуквеному записі яких буква Г зустрічається на другому місці, тому . Знайдемо ймовірності подій А і В, використовуючи класичне означення ймовірності. Оскільки є всього 4 рівноможливі елементарні події і події А сприяють три з них, то . Аналогічно, події В сприяють дві елементарні події, тому .

Задача 5. Монету підкидають доти, поки вона не випаде підряд двічі однією і тією ж самою стороною. Описати простір елементарних подій. Описати події: А – експеримент потребує чотири підкидання; В – експеримент закінчиться до четвертого підкидання.

Розв’язання. Випадання герба позначимо символом Г, випадання цифри –символом Ц, послідовне випадання герба і цифри у вказаному порядку позначимо символом ГЦ і т.д. Використовуючи ці позначення, опишемо простір елементарних подій

Подія має вигляд ; подія В описується так .

Задача 6. З цифр 1,2,3,4 спочатку вибирають одну; потім з трьох цифр, що залишились, вибирають другу. Описати простір елементарних подій. Вважаючи, що всі елементарні події рівноможливі, знайти ймовірність події : першого разу вибрали непарну цифру.

Розв’язання. Простір елементарних подій складається з пар чисел , тобто

, всього 12 елементарних подій. Подія має вигляд: , всього 6 елементарних подій. Шукана ймовірність .

Задача 7. Показати, що , де А і В – події, що відбуваються в одному експерименті.

Розв’язання. Подія, яку описує ліва частина рівняння – «не відбулась подія А + В», тобто не відбулись ні А, ні В. Це означає, що відбулись одночасно протилежні події – і , а значить відбулась подія .

Задача 8. Експеримент полягає у вимірюванні двох величин, які набувають значень з відрізка . Описати простір елементарних подій.

Розв’язання. Елементарною подією в даному експерименті є будь-яка пара значень , де , тобто довільна точка на площині хОу, яка попадає в квадрат . Таким чином, простір елементарних подій – це квадрат (див. рис. 1).

Задача 9. В одиничний квадрат навмання кинуто точку. Яка ймовірність, що точка буде віддалена від центра квадрата на відстань менше ніж 1/3, якщо відомо, що від кожної із сторін квадрата вона віддалена більше ніж на 1/6?

Розв’язання. З умови задачі випливає, що точка, кинута навмання в одиничний квадрат, попала в квадрат (див. рис. 2) із стороною Міра цієї області (квадрата) – це його площа . Щоб визначити ймовірність того, що точка буде віддалена від центра одиничного квадрата на відстань менше ніж 1/3, потрібно знайти міру (площу) цієї області (геометричного місця точок з такою властивістю), і далі, використовуючи поняття геометричної ймовірності, поділити її на величину . Знайдемо . Це буде площа круга радіуса Тому шукана ймовірність

Задача 11. Експеримент полягає в однократному підкиданні грального кубика. Представити простір елементарних подій у вигляді об’єднання повної групи подій.

Розв’язання. Таке представлення можна зробити декількома способами. Для можна взяти таку повну групу подій: – випало непарне число очок; – випало парне число очок. Оскільки – це неможлива подія (число може бути або парним, або непарним, але не одночасно), – достовірна подія (завжди випадає або парне, або непарне число), за означенням це повна група подій.

Для можна взяти таку повну групу подій: – випало 1; – випало просте число очок; –випало складене число очок. При цьому виконуються умови: 1) , , – неможливі події (число не може бути одночасно і простим і складеним, також 1 не є простим або складеним числом);
2) + – достовірна подія (завжди випадає якесь число: або 1, або просте, або складене).

Для виберемо за елементарну подію (див. задачу 1). При цьому елементарні події попарно несумісні (їх добуток неможлива подія) і їх сума дає достовірну подію (завжди відбувається одна з елементарних подій).

Задача 12. Для спортсмена відносна частота влучення в ціль 0,9. Скільки було зроблено пострілів, якщо одержано 7 промахів?

Розв’язання. Відносна частота влучень 0,9 означає, що з 10 пострілів буде 9 влучень і 1 промах. Щоб отримати 7 промахів, потрібно зробити 70 пострілів.

 

Задачі для аудиторної та самостійної роботи

 

1. Підкидають монету, а після цього підкидають гральний кубик. Описати простір елементарних подій експерименту. Знайти ймовірності подій: А – випало парне число очок; В – випав герб; С – випали герб і парне число очок. Відповідь:

2. Гральний кубик підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події: А – сума очок, які випали, дорівнює 6; В – принаймні один раз з’явиться 6. Відповідь:

3. Монету підкидають доти, поки не випаде герб. Описати простір елементарних подій. Відповідь: .

4. З цифр 1, 2, 3, 4, 5 навмання вибирають одну цифру. Яка ймовірність, що вибрано парну цифру (подія А), просту цифру (подія В)?

Відповідь:

5. 3 цифр 1, 2, 3, 4, 5 спочатку вибирають одну цифру; потім з чотирьох цифр, що залишились, вибирають ще одну. Описати простір елементарних подій. Вважаючи, що всі події рівноможливі, знайти ймовірності подій: А – перший раз вибрали парну цифру; В – другий раз вибрали парну цифру; С – обидва рази вибрали парні цифри.

Відповідь: ;

6. Нехай А, В, С – випадкові події, що можуть відбутися в одному експерименті. Використовуючи операції над подіями, описати такі події: 1) настали всі три події; 2) настали тільки дві події; 3) настала тільки одна подія; 4) не настала жодна подія; 5) настало не більше двох подій; 6) настало не більше однієї події.

7. Прилад складається з трьох елементів, кожний з яких може працювати або відмовити. Описати простір елементарних подій. Нехай подія А – відмовив перший елемент; подія В – відмовили два елементи; подія С – працює не більше одного елемента. Описати події . Відповідь: ;
; .

8. У круг радіуса навмання кидають точку. Яка ймовірність, що відстань від цієї точки до центра круга не перевищує ?

Відповідь:

9. В квадрат із стороною а вписано круг. Знайти ймовірність того, що точка, навмання кинута в квадрат, попаде в круг. Відповідь:

10. В круг радіуса а вписано квадрат, в цей квадрат вписано круг. Знайти ймовірність того, що точка, навмання кинута в більший круг, попаде в менший круг. Відповідь:

11. При тестуванні електроприладів відносна частота непридатних приладів виявилась рівною 0,03. Скільки було перевірено приладів, якщо виявлено 9 непридатних? Відповідь: 300.

Практичне заняття 2