Випадкові потоки подій. Пуассонівський потік

Означення. Потоком подій називається послідовність подій, що відбуваються у випадкові моменти часу.

Приклади потоків: замовлення, що надходять у довідкові бюро; виклики швидкої медичної допомоги; сигнали, що поступають на АТС; клієнти, що прибувають на підприємства побутового обслуговування; відмови елементів складної технічної системи тощо.

 

Будь-який потік можна розглядати як випадковий процес.

 

Важливими властивостями потоків подій є стаціонарність, відсутність наслідків та ординарність.

Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність появи k подій за проміжок часу тривалістю t залежить лише від k і t і не залежить від початку відліку.

 

Потік подій називається потоком без наслідків, якщо ймовірність появи k подій за будь-який проміжок часу не залежить від того, з’являлись чи не з’являлись події в моменти часу, що передують початку даного проміжку.

 

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність появи більш ніж однієї події за нескінченно малий проміжок часу є нескінченно малою величиною більш високого порядку, ніж імовірність появи тільки однієї події за той же малий проміжок часу.

 

Найпростішим (пуассонівским) називається потік подій, що має властивості стаціонарності, відсутності наслідків та ординарності.

Нехай деяка подія А може наставати у випадкові моменти часу. Позначимо через X (t) число появ цієї події за проміжок часу від 0 до t. Випадковий потік (процес) X (t) буде пуассонівським, якщо виконують такі умови:

1) ймовірність k появ події А за час від T до T + t не залежить від T і не залежить від того, скільки разів наставала подія А до моменту T. Позначимо цю ймовірність через P_k (t). Отже,

 

P_k (t) = P (X (t) = k). (4.1)

 

2) якщо t ® 0, то

P ₁(t) = l t + o (t), P_k (t) = o (t) при k ³ 2, P ₀(t) = 1 – l t + o (t), (4.2)

 

де l > 0 – деяка стала, а o (t) – нескінченно мала вищого порядку порівняно з t, тобто .

При виконанні умов 1, 2 ймовірність P_k (t) визначається формулою:

, k = 0, 1, 2, … (4.3)

 

Кожний переріз пуассонівського процесу X (t) при заданому t є випадковою величиною, розподіленою за законом Пуассона з параметром l t. Стала l визначає середнє число появ події А за одиницю часу. Вона називається інтенсивністю потоку.

 

Розв’язування задач

 

Задача№1

 

Середнє число замовлень таксі (потік пуассонівський) протягом 1 хв дорівнює трьом. Знайти ймовірність того, що за 2 хв надійде п’ять замовлень.

 

Розв’язання

За умовою l = 3, t = 2, k = 5. Скористаємося формулою (4.3). Маємо

.

 

Задача№2

Середня кількість автобусів, що підходять на зупинку протягом години, дорівнює 4 (потік пуассонівський). Яка ймовірність, що людина, що прийшла на зупинку, буде чекати автобуса більше 10 хв?

Розв’язання

Спочатку знайдемо ймовірність протилежної події, що чекати автобуса доведеться не більше 10 хв. Таким чином, за умовою l =4, t = 1/6, k = 1. Скористаємося формулою (4.3). Маємо

.

Тому шукана ймовірність дорівнює:

 

Задача№3

Середнє число катерів, що підходять до річкового причалу протягом години дорівнює 5 (потік пуассонівський). Знайти ймовірність події, що за півгодини підійде до причалу 3 катери.

 

Розв’язання

Скористаємось формулою (4.3). За умовою l =5, t = 1/2, k = 3. Маємо

 

.

 

Задача№4

 

У міське довідкове бюро кожної хвилини надходять 4 телефонні дзвінки. Яка ймовірність, що протягом 2 хв телефон буде мовчати?

 

Розв’язання

Скористаємось формулою (4.3). За умовою l =4, t = 2, k =0. Маємо

 

.

Практичне заняття 17

ЛАНЦЮГИ МАРКОВА

Нехай здійснюється послідовність випробувань, у кожному з яких може настати одна і тільки одна з k попарно несумісних подій
A ₁, A ₂, …, A_k. Позначимо через X_n номер події, яка настала при n -му випробуванні (зокрема запис X_n = i означає, що при n -му випробу­ванні настала подія A_i).

Означення. Послідовність випробувань (або послідовність випад­кових величин X ₁, X ₂, …, X_n, …) утворює ланцюг Маркова, якщо ймовір­ність того, що при n -му випробуванні (n = 1, 2, …) настане певна подія A_j (j = 1, 2, …, k), залежить лише від того, яка подія настала при (n – 1)-му випробуванні і не залежить від результатів інших попередніх випробувань.

 

Згідно з означенням ланцюга Маркова при будь-яких n, i, j
(i, j = 1, 2, …, k; n = 1, 2, …) визначені умовні ймовірності:

 

P (X_n = j  |  X_{n  – 1} = i) = . (5.1)

 

Ланцюг Маркова називають однорідним, якщо умовні ймовірності не залежать від n: . Надалі будуть розглядатися лише однорідні ланцюги Маркова.

Умовну ймовірність p_ij називають імовірністю переходу сис­теми (за один крок) зі стану A_i в стан A_j; це є умовна ймовірність на­стання події A_j при деякому випробуванні за умови, що при попе­редньому випробуванні настала подія A_i. Ймовірності p_ij утворюють квадратну матрицю

 

, (5.2)

 

яку називають матрицею переходу. Елементи матриці (5.2) задоволь­няють такі умови:

0 £ p_ij £ 1, (i = 1, 2, …, k), (5.3)

 

оскільки p_ij – ймовірності і система зі стану A_i обов’язково переходить до одного зі станів A ₁, A ₂, …, A_k.

Для задання ланцюга Маркова, крім матриці переходу потрібно задати ще деякий початковий розподіл імовірностей, тобто ймовір­нос­ті станів системи, що відповідають початку процесу – моменту t ₀:

p_i (0) (5.4)

(p_i (0) – ймовірність того, що в початковий момент t ₀ система пере­бувала в стані A_i).

При розгляді ланцюгів Мар­кова виникає таке питання: яка ймовірність того, що через n кроків система перейде зі стану A_i до A_j, або, інакше, яка ймовірність того, що при (s + n)-му випробу­ванні настане подія A_j, якщо при s -му випробуванні настала подія A_i?

Позначимо цю ймовірність через p_ij (n). Якщо n > 1, m < n, то за формулою повної ймовірності

 

,

тобто

. (5.5)

 

Якщо матрицю (p_ij (n)) позначити через P (n) (при цьому P (1) = P), то рівність (5.5), згідно з відомим з алгебри правилом множення матриць, означає, що коли 0 < m < n, то P (n) = P (m)· P (n – m).

Зокрема при m = 1 ця рівність дає P (n) = P · P (n – 1), звідки ви­пливає, що P (n) = Pⁿ.

При відомих імовірностях (5.4) станів системи у початковий момент t ₀ легко знайти ймовірності p_i (n) того, що система на n -му кроці буде в стані A_i :

, (5.6)

або в матричній формі

, (5.7)

де

,

– транспонована відносно P (n) матриця.

 

Послідовності переходу системи з одного стану в інший, коли зміна стану може відбуватись лише у заздалегідь фік­со­вані моменти часу t ₀, t ₁, t ₂, …, t_n, …, називаються простими ланцюгами Маркова з дискретним часом.

Якщо зміна станів системи може відбуватися в будь-який момент часу t > t ₀, то така послідовність зміни станів утворює простий ланцюг Маркова з неперервним часом. Всі результати, що мають міс­це для ланцюгів з дискретним часом, узагальнюються і для ланцюгів Маркова з неперервним часом.

 

 

Розв’язування задач

Задача №1

Нехай { A ₁, A ₂, A ₃} – множина можливих станів деякої системи. Відомі ймовірності p_ij переходу системи зі стану A_i до стану A_j за один крок: p ₁₁ = 0,5; p ₁₂ = p ₁₃ = 0,25; p ₂₁ = p ₂₂ = 0,25; p ₂₃ = 0,5;
p ₃₁ = p ₃₂ = 0,25; p ₃₃ = 0,5. Ймовірності станів A ₁, A ₂, A ₃ системи у початковий момент мають значення p ₁(0) = 0,5, p ₂(0) = p ₃(0) = 0,25.

Знайти матрицю переходу P (2).

Розв’язання

Матриця переходу при заданих умовах має вигляд:

.

 

Знайдемо матрицю переходу за два кроки P (2), вона має вигляд:

 

Задача№2

 

В умовах попередньої задачі визначити:

а) ймовірність того, що через два кроки система перебуватиме в стані A ₁;

б) ймовірність того, що через два кроки система перебуватиме в стані A ₂;

в) ймовірність того, що через два кроки система перебуватиме в стані A ₃.

 

 

Розв’язання

Якщо ймовірності станів A ₁, A ₂, A ₃ системи у початковий момент мають значення p ₁(0) = 0,5, p ₂(0) = p ₃(0) = 0,25, то ймовірність того, що через два кроки система перейде до стану A ₁ обчислюється за формулою (5.6):

 

p ₁(2) = 0,375·0,5 + 0,3125 · 0,25 + 0,3125 · 0,25 = 0,34375.

 

Аналогічно обчислюємо ймовірності переходу системи за два кроки
в стан А ₂ та А ₃:

p ₂(2) = 0,25 · 0,5 + 0,25·0,25 + 0,25·0,25 = 0,25,

 

p ₃(2) = 0,375 · 0,5 + 0,4375 · 0,25 + 0,4375 · 0,25 = 0,40625.

Задача№3

Фізична система може знаходитись в одному зі станів A ₁, A ₂, A ₃. Задані матриця переходу і початковий розподіл імовірностей:

 

, p ₁(0) = 1, p ₂(0) = p ₃(0) = 0.

 

Знайти: а) матрицю переходу P (2); б) ймовірність того, що через два кроки система перебуватиме в стані A ₂.

 

Розв’язання

 

Знайдемо матрицю переходу за два кроки P (2), вона має вигляд:

 

Визначимо ймовірність того, що через два кроки система перебуватиме в стані A ₂:

 

Задача№4

Кожний водій автопідприємства заправляє свою машину 1 раз на тиждень на одній з трьох автозаправок. На одному з тижнів було опитано 100 водіїв: 50 водіїв заправляються на І заправці, серед них 45 наступного тижня будуть заправлятись на І заправці, 4 – на ІІ і 1 – на ІІІ заправках; 20 водіїв заправляються на ІІ заправці, серед них 8 наступного тижня будуть заправлятись на І, 6 на ІІ і 6 на ІІІ заправках; 30 водіїв заправляються на ІІІ заправці, серед них 21 наступного тижня будуть заправлятись на І, 3 на ІІ і 6 на ІІІ заправках. Потрібно

а) знайти матрицю перехідних ймовірностей Р;

б) знайти кількість водіїв, що будуть заправлятись на кожній заправці через 2 тижні.

 

Розв’язання

Знайдемо матрицю переходу і початковий розподіл ймовірностей:

,

 

p ₁(0) = 50/100=0,5, p ₂(0) = 20/100=0,2, p ₃(0) = 30/100=0,3.

 

Знайдемо матрицю переходу за два кроки P (2), вона має вигляд:

 

За формулою знайдемо розподіл ймовірностей за два кроки:

 

,

Транспонуємо матрицю :

 

Знайдемо :

 

 

Отже, через два тижня 81 водій буде заправлятись на І заправці, 11 водіїв буде заправлятись на ІІ заправці і 8 водіїв буде заправлятись на ІІІ заправці.

Задачі для аудиторної та самостійної роботи

1. Нехай рівномірно розподілена випадкова величина на відрізку . Знайти одновимірну функцію розподілу випадкового процесу , де .

 

2. Для випадкового процесу з попередньої задачі знайти одновимірну щільність розподілу, математичне сподівання.

 

3. Для випадкового процесу , де рівномірно розподілена випадкова величина на відрізку , знайти одновимірну функцію розподілу, (), одновимірну щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення.

 

4. Для випадкового процесу задана двовимірна щільність розподілу при і 0 в інших випадках . Знайти одновимірну щільність розподілу, математичне сподівання, дисперсію, кореляційну функцію. Чи буде такий процес стаціонарним? Яку невипадкову функцію потрібно додати до процесу , щоб він став стаціонарним?

 

5. В умовах попередньої задачі знайти одновимірну та двовимірну функції розподілу випадкового процесу.

 

6. Для випадкового процесу задана двовимірна функція розподілу при . Знайти одновимірну та двовимірну щільності функції розподілу.

 

7. Для цілочисельного випадкового процесу , заданого одновимірним законом розподілу , знайти математичне сподівання, дисперсію.

 

8. Розглядається випадковий процес , де для задано двовимірну щільність розподілу . Знайти числові характеристики цього процесу. Чи буде такий процес стаціонарним? ергодичним?

 

9. Випадковий процес має такі характеристики: , . Знайти відповідні характеристики процесу . Чи буде такий процес стаціонарним? ергодичним?

 

10. Для випадкового процесу задана двовимірна щільність розподілу при і 0 в інших випадках. Знайти числові характеристики для процесу і встановити його стаціонарність.

 

11. Задані характеристики випадкового процесу : , . Знайти характеристики випадкового процесу .

12. Для випадкового процесу , де – незалежні випадкові величини з відомими математичним сподіванням і дисперсією: . Знайти відповідні числові характеристики і кореляційну функцію. Чи буде такий процес стаціонарним?

 

13. Випадковий процес X (t) заданий одновимірною щільністю розподілу

.

Знайти математичне сподівання m_x (t), дисперсію D_x (t) і середнє квадратичне відхилення s _x (t) випадкового процесу X (t).

14. Задані характеристики випадкового процесу X (t): m_x (t) = 2 t + 5, K_x (t ₁, t ₂) = 3 t ₁ + 4 t ₂. Знайти характеристики випадкового процесу Y (t) = 2 t   X (t) – 4.

15. Задані характеристики випадкового процесу X (t): m_x (t) = 3 t ² – 8 t + 1, . Знайти характеристики випадкового процесу Y (t) = t ²  X (t) + 3.

16. Знайти характеристики випадкової гармоніки X (t) = A cos (w t + F), де A і w – невипадкові амплітуда і частота, F – випадкова почат­кова фаза, розподілена рівномірно на відрізку [0, 2p].

17. Довести, що випадковий процес X (t) = Y sin w t + Z cos w t, де Y, Z – некорельовані випадкові величини з характеристиками m_y = m_z = 0, D_y = D_z = D, w – невипадкова величина, є стаціонарним.

18. Кореляційна функція k_x (t) стаціонарного випадкового процесу має вигляд k_x (t) = e ^{–2| t |}. Знайти спектральну щільність S_x (w).

19. Спектральна щільність стаціонарного випадкового процесу задана у вигляді

.

Знайти кореляційну функцію.

20. Випадковий процес X (t) має вигляд X (t) = 3 tY + 4, де Y – випадкова величина, розподілена за показниковим законом з параметром l. Знайти математичне сподівання m_x (t) і дисперсію D_x (t) випадко­вого процесу X (t).

21. Відомі характеристики випадкового процесу X (t): m_x (t) = 5, . Знайти характеристики випадкового процесу Y (t) = 5 X (t) – 7.

22. Випадковий процес X (t) має характеристики m_x (t) = t ² – 3 t + 4, . Знайти характеристики випадкового процесу .

23. Випадковий процес X (t) має характеристики m_x (t) = 6 t – 4,
K_x (t ₁, t ₂) = t ₁ t ₂. Знайти характеристики випадкового процесу

.

24 Фізична система може знаходитись в одному зі станів A ₁, A ₂, A ₃. Задані матриця переходу і початковий розподіл імовірностей

, p ₁(0) = 1, p ₂(0) = p ₃(0) = 0.

Знайти: а) матрицю переходу P (2); б) ймовірність того, що через два кроки система перебуватиме в стані A ₂.

 

Відповіді

1. . 2. ; .

3. ; ; ; 4. ; ; ; ; не буде стаціонарним; додати невипадкову функцію .

5. .

6. .

7. .

8. ; процес стаціонарний та ергодичний.

9. ; ; процес стаціонарний.

10. ; процес стаціонарний.

11. .

12. ; ; ; процес стаціонарний.